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马修·福尔曼（编辑）;秋弘市卡纳莫里（编辑）
[乌里·亚伯拉罕;托梅克·巴托斯津斯基;安德烈亚斯·布拉斯;詹姆斯·卡明斯;帕特里克·德霍诺伊;托德·艾斯沃思;马修·福尔曼;Sy D.弗里德曼。;莫蒂·吉提克;安德烈·哈纳尔;格雷格·霍斯;史蒂夫·杰克逊;托马斯·杰赫;彼得·科勒纳;让·A·拉尔森。;保罗·拉森。;梅纳赫姆·马吉多;威廉·J·米切尔。;伊泰州奈曼;欧内斯特·希默林;拉尔夫·辛德勒;约翰·R·斯蒂尔。;托多尔切维奇，斯特沃;菲利普·韦尔奇。;伍丁·W·休;马丁·泽曼]

集合论手册。分三卷。 （英语） Zbl 1197.03001号

多德雷赫特：施普林格（ISBN 978-1-4020-4843-2/hbk；978-1-4020-5764-9/电子书）。xiv，第1-736页/第1卷；xiv，第737-1447页/第2卷；xiv，第1449-2197页/第3卷。(2010).

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本手册是为研究生和研究人员编写的，因此假设读者已经具备集合论的良好基础知识。这24章和一篇长长的导言是由公认的专家、他们所在领域的主要研究人员撰写的。该手册分为三卷，第一卷专门介绍组合数学、连续统和可构造性，第二卷介绍基本嵌入和奇异基数组合，第三卷介绍内部模型和确定性。
在导言（第1-92页）中，金城明弘为现代集合论和手册提供了历史和组织框架。他概述了导致现代集合论成为数学领域的重要历史发展。他从康托、泽梅洛、哥德尔和科恩的著作开始，描述了影响现代集合论发展的最重要的思想和技术，如无限组合学、强制方法、大基数、确定性、西尔弗定理和覆盖。他处理了20世纪80年代开始的新的扩展，例如大基数的内部模型理论、确定性的一致性、Shelah关于基数运算的工作，以及Todorcevic对组合学和拓扑学的贡献。
在下文中，我们将回顾本手册的各个章节。
1.固定装置。在本章（第93-128页）中，托马斯·杰赫综述了直接涉及平稳集的工作，并提供了正则不可数基数平稳子集的基本理论。他描述了平稳集反射的可能性，并考察了非平稳理想饱和和陡峭的可能性。他研究了\（\mathcal上的闭无界滤波器｛P｝_{\kappa}\lambda\）并处理过滤器的应用｛P｝_布尔代数理论中的{\omega_1}A\）。他表明反射在马丁最大值的应用中起着重要作用，并简要描述了固定塔的作用力。
2.分区关系。 安德烈斯·哈伊纳尔和让·A·拉尔森本章（第129-213页）以经典的拉姆齐定理和厄尔德定理开始。他们发展了Baumgartner、Hajnal和Todorcevic的方法，并建立了他们对Erdõs-Rado定理的推广。这种方法涉及到采用形式为（langle H（lambda），in，<^{*}，dots\rangle）的基本子结构链。本文介绍了Shelah对该理论的几个重要贡献，其中包括一个涉及强紧基数的最近结果和另一个引用其pcf理论的结果。作者研究了小可数序数的配分关系。他们给出了Darby和Schipperus的结果，推广了Chang的结果，即（ω^{ω}longrightarrow（ω，3）^2）是真的（带序数指数）。
3.相干序列。 斯特沃·托多切维奇（第215-296页）系统地描述了他对不可数秩序结构的坚持分析，其中（ω1）既是一个特殊的例子，也是一个典型的例子。对于\（\omega_1\），分析以\（C\）-序列\（\langle C_{\alpha}\mid\alpha<\omega_1\rangle\）开始，其中\（C_{\ alpha+1}=\{\ alfa\}\），对于极限\（\alpha\），\（C_（\alfa}\）是顺序类型\（\amega\）的子集。这提供了一个梯子系统，可以爬上或走下。作者证明了步行对于各种距离函数具有大量的结构。给出了特殊Aronszajn树的系统版本，以及Shelah的结果，即添加Cohen实数会添加Suslin树。他给出了Hausdorff间隙、Banach空间、模型理论、图论和划分关系的应用。后来，他与红衣主教打交道。本文提供了一系列应用，包括原理（平方{\kappa}）、更高的Kurepa树和Jensen矩阵。
4.Borel等价关系。 格雷格·霍尔思（第297–332页）概述了波兰空间上的Borel等价关系。对于波兰空格\（X\）和\（Y\），如果任何Borel集的前像是Borel，则函数\（f:X\rightarrow Y\）就是Borel。如果是Borel作为\（X\乘以X\）的子集，则（X\）上的等价关系为Borel。Borel等价关系有一个自然顺序（<_B\）。作者从开创性的Harrington-Kechris-Louveau“Glimm-Effros二分法”开始，讨论了各种结构定理，并以他关于湍流的工作结束。他调查了可数等价关系的结果，并处理了分类问题。
5.适当施压。在本章（第333–394页）中，乌里·亚伯拉罕清楚地说明了谢拉的正确强迫。他从基本的强制概念开始，并激发适当的强制。他证明了在可数支持迭代中保持适当性，并且在CH下，（aleph_1）-大小的长度（leq\omega_2）迭代满足（aleph_2）-链条件。他提出了在可数支持迭代中保持（{}^{ω}ω）-边界性质。由此，Shelah证明了在\（\omega \）上有两个可数的基本等价结构，它们没有同构超幂。作者证明了弱（{}^{ω}ω）-定界性质的保持性。通过这一点，Shelah证明了与（2^{\aleph_0}=\aleph_2\）一致的是，边界数\（\mathfrak{b}\）小于分裂数\（\ mathfrak{s}\）。
6.连续统的组合基本特征。 安德烈亚斯·布拉斯研究（第395-489页）连续体的组合基本特征。他以支配数\（\mathfrak{d}\）、边界数\（\ mathfrak{b}\）和分裂数\（\fathfrak}\）开始。他描述了Galois-Tukey的联系和二元性。他介绍了与给定理想（mathfrak{I}）相对应的几个推广特征：咖啡（\（\mathfrak{I}）\）。这些数字是为贫集和空集的理想而研究的。他讨论了最大几乎不相交的族和独立的族。他发展了滤波器的近相干原理，这一原理被Shelah证明是一致的。他调查了当一个人迭代地邻接一种类型的许多通用实数时，处理以下实数时，特征会发生什么：Cohen、random、Sacks、Hechler、Laver、Mathias和Miller。
7.度量和类别的不变量。 托梅克·巴托斯津斯基介绍（第491-555页）关于基数不变量的度量和范畴的最新研究。他使用与理想不变量相对应的各种准则来定义不同的集合类。他发展了Borel态射，导致了这些类之间的包含关系。给出了这些类中隶属度的组合特征。作者建立了Shelah的结果，即（text{cf（textbf{cov}}（mathfrak{L}））=\omega\）是一致的。他提供了一种系统化的方法，将Cichonn图中的每个不变量与一个通用实数关联起来，以便使用可数支持的迭代增加该不变量，但不增加其他不变量。
8.可施工性和等级强制。 西·弗里德曼（Sy D.Friedman）提供了类强制的基本理论和应用（第557-604页）。类强制一般不会保存ZFC，因此驯化的一阶性质是孤立的，这对于这种保存是必要的和充分的。本课题中最重要的技术是Jensen编码技术。作者提供了Jensen编码定理的一个证明，假设（0^{\sharp}）不存在。他给出了广泛的应用程序和一个很好的开放问题列表。
9.精细结构。 拉尔夫·辛德勒和马丁·泽曼提供（第605-656页）Jensen原始精细结构理论的精辟、完整的说明。该理论是对可构造层次层次上的可定义性的深入研究。它由延森发明，由延森、米切尔、斯蒂尔和其他人进一步发展。精细结构理论对于核心模型的构建是不可避免的。作者讨论了精细结构理论的纯粹部分，即与任何特定类型的可构造模型无关的部分。他们使用Mitchell-Steel（r \Sigma_n）公式讨论迭代项目和嵌入。作者分析了精细超能力。在没有（0^{sharp}）的情况下，它们给出了（L）的可数闭弱覆盖性质的证明和（kappa>omega）的（平方{kappa}）证明。
10\（\西格玛^*\）精细结构。 菲利普·D·韦尔奇介绍了（第657–736页）Sigma的精细结构。他从公式和超幂的（Sigma^*）层次结构开始，发展了伪超幂理论。这些伪超幂用于许多组合结构。他研究了\（\square\）原理，并导出了\（L\）中的全局\（\square\）序列。他讨论了精细结构内部模型中（平方）的变体和泛化。Jensen指出，（V=L\）意味着\（\square）的全局类版本。在这里，作者给出了这个结果的\（\ Sigma ^*\）伪超幂证明。在本章的最后，作者对有关沼泽的大量工作进行了综述。
11.初等嵌入和代数。 帕特里克·德霍诺伊研究（第737-774页）非常强的初等嵌入的代数特征。库恩表明，一个特别强烈的大尺度假设是不一致的。因此，调查较弱的假设是很自然的。一个是存在一个非恒等元嵌入（j:V_{lambda}\rightarrowV_{lambda}\），用于某个极限（\lambda\）。Martin证明，如果存在一个可迭代初等元素（j:V{\lambda}\rightarrowV{\lambda}\），那么（{\boldsymbol\Pi}^1_2）-确定性成立。让\（\mathcal{电子}_{\lambda}\）是所有这些基本嵌入的集合\（\mathcal{电子}_{\lambda}）在合成\（\circ\）和应用\（[\；]\）下是闭合的，由\（j[k]=\bigcup_{j<\lambda}j（k\cap V{\lampda}，）\定义。这些运算满足左分配律（j[k[l]]=j[k][j[l]]）。拉沃尔开始了对马特拉卡尔的系统研究{电子}_{\lambda}\）。他建立了一个服从左分配律的子代数的自由度。通过此分析，Laver表明左分配律的相应单词问题是可以解决的（相对于一个生成器）。Dehornoy消除了导致Artin编织组出现意外结果的大范围假设。
12.反复强制和基本嵌入。 詹姆斯·加明斯（第775-883页）概述了集合论中迭代强制与初等嵌入相互作用的领域。他从初等嵌入的基本事实开始，描述了初等嵌入是如何用超幂和扩展器（一种特殊的极限超幂）逼近的。他介绍了强制和迭代强制的基础知识，描述了如何在足够封闭的内部模型上构建泛型对象，并讨论了泛型基本嵌入。他提出了许多申请。仅举两个例子，他建立了Magidor的结果，即最小强基数是最小可测基数，这与Baumgartner的结果是一致的：如果存在一个超紧基数，那么存在一个强制扩展，其中\（\kappa=\omega_2）和PFA成立。
13.理想和通用基本嵌入。本章（第885-1147页）由马修·福尔曼涵盖通用基本嵌入技术。与经典的基本嵌入不同的是，它们可以在\（V）的泛型扩展中定义，而不是在\（V\）本身中定义。临界点可以小到\（\omega_1\）。初等嵌入的强度可以用三个参数来描述：（j）如何移动序数；有多大且闭合（M\）；提供\（j）的强制性质。强制是由理想决定的：首先从基数上的理想（I）开始，然后用（mathcal{P}（\kappa）\set减去I）进行强制，然后在地面模型上产生一个超滤器（mathcal{P}（\kapba）），最后得到地面模型的通用初等嵌入到相应的超幂中。作者提供了丰富的方法和结果。我们只提到几个：Shelah-Gitik的结果是，如果\（\kappa\）是正则的，并且\（\delta^{+}<\kappa \）则由\（\text）生成的理想｛NS｝_{\kappa}\）和\（\{\alpha<\kappa \mid\text{cf}（\alpha）=\delta\}\）不饱和；Kunen从一个大基数得到（aleph_1）-完全（aleph_2）-饱和理想的技巧；Foreman迭代得到每个正则\（\ kappa>\ omega \）的\（\ kappa ^+\）-完全\（\ kappa ^+\）-饱和理想；伍丁（aleph_1）-完全（aleph_1）-从一个几乎巨大的基数出发，在（omega_1）上的稠密理想。
14.基数算术。 乌里·亚伯拉罕和梅纳希姆·马吉多提供（第1149–1227页）谢拉的pcf理论及其在基数运算中的应用的广泛说明。他们从基数函数模理想及其余尾序列的一般理论开始。pcf理论中的主要定义是为每一组正则基数定义的可能余终结集的集合（text{pcf}（A）），作为带超滤子的超积（prod A/D）在（A）上的所有余终结的集合。虽然可以通过强制轻松更改功率设置，但很难更改\（\text{pcf}（A）\）。作者研究了精确上界，并处理了俱乐部猜测序列。他们研究了理想（J{<lambda}[A]\），并证明了（J{<lambda}[A]）是由（J{<lambda{[A]\]）与单个集合（B_{lambda \substeq A\）生成的。当（aleph{omega}）是强极限时，他们建立了Shelah的结果，即（2^{\aleph{\omega}}<\aleph_{\omega 4}），并给出了Shelah's修正的GCH结果。
15.单数基数的继任者。 托德·艾斯沃思（第1229-1350页）对单数红衣主教继任者的现代理论进行了系统阐述。在现代集合论中，研究奇异基数的后继函数的组合性质已成为一个独特的课题。设\（text{Refl}（\kappa）\）是每个静止\（S\subseteq\kappa\）反映的断言，即存在一个\（\alpha<\kappa/），使得\（S\cap\kappa-）在\（\阿尔法\）中是静止的。作者讨论了（平方{\kappa}）如何否认（文本{Refl}（kappa{+}）并建立Magidor的结果：如果有无限多个超紧基数，那么在一个强制扩展中，它们成为（aleph_n）s，（文本{Refl}。他详细研究了理想（I[\kappa]\），并对尺度和弱平方原理进行了广泛的探索。他讨论了平方拍配分关系，并讨论了奇异基数的后继Jónsson代数的存在性。
16.Prikry-type强制。 Moto Gitik公司介绍了（第1351-1447页）Prikry强迫及其应用。奇异基数问题是一个寻找描述奇异（kappa）s函数（kappa\rightarrow2^{\kappa}）行为的完整规则集的问题。处理该问题的主要工具有三种：pcf理论、内模理论和涉及大基数的强制。在本章中，作者介绍了处理奇异基数幂的主要强制工具。在前半部分中，作者讨论了可数共结局。他从基本的Prikry强迫开始。然后，他提出了基于Gitik-Magidor扩展器的对相邻多个Prikry序列进行强制的最优假设。在后半部分，作者讨论了不可数的共终结性。他提出拉丁强迫。他研究了一般Prikry-type力的迭代，并给出了Magidor结果的简化证明：一致的是，最小强紧基数是最小可测基数。
17.开始内部模型理论。本章（第1449-1495页）由威廉·米切尔是关于内部模型理论的几章中的第一章。作者从（L[U]\）和（K^{DJ}\）到强基数的内部模型阐述了理论，粗理论不需要精细结构。他提出了迭代、比较、连贯和重复。他考虑了（0^{\sharp}）和其他一般的sharp，并介绍了鼠标和连贯的（非重叠）扩展器序列。他讨论了涉及精细结构的进一步发展。
18.被膜。在这里，威廉·米切尔介绍了覆盖引理的变体及其应用（见第1497-1594页）。Jensen对覆盖引理的发现源于对奇异基数问题的研究。（L\）的覆盖引理如下：如果（0^{\sharp}\）不存在，那么对于任何序数集（x\），都有一个集合（y\ in L\），即（y\supseteq x\）和（|y|=|x|+\aleph_1\）。（L）的覆盖引理的Jensen论证刺激了新的内部模型的形成。作者讨论了覆盖引理的变体及其应用。他概述了Jensen和Dodd-Jensen覆盖\（L\）和\（L[U]\）结果的证明。进一步，作者给出了超滤子相干序列（mathcal U）的Mitchell核模型（K[mathcal U]）的覆盖证明。
19.内部模型理论概述。 约翰·R·斯蒂尔介绍（第1595-1684页）目前已知的最普遍的基本内部模型理论。因此，这里提出的理论可以应用于那些可能满足像“有一个伍丁基数是伍丁基数的极限”这样的大范围假设的模型。他从扩展器的基本知识开始，然后继续迭代树。它们是处理重叠延长线的中心。他研究了多德-詹森引理、固体和凝聚。他提供了（K^C）结构，并在描述性集合理论中给出了应用。因此，证明了在（L（mathbb{R}）中遗传顺序可定义的所有集合的模型（text{HOD}^{L（mathbb{R{）}）本质上是一个扩张模型。
20.核心模型工具箱和指南。 欧内斯特·希默林本文（第1685-1751页）在涉及迭代树的层次上讨论了核心模型理论。他从（K）的基本理论开始，讨论了它在集合论中的组合应用。除了最后一节，他假设了反大范围的假设：没有合适的伍丁红衣主教阶级模型。他提供了一个工具部分。在这里，他列出了在应用程序中有用的\（K\）的属性。它们包括覆盖性、绝对性、复杂性和正确性、嵌入性和组合原理。在最后一节中，他介绍了（K）的应用。
21.AD的结构性后果。 史蒂夫·杰克逊对描述性集合理论的最新进展进行了综述（第1753-1876页）。他从事基础理论ZF+DC。他首先概述了一些基本概念，如尺度和周期、编码引理、射影序数和Wadge可约性。在下一节中，他发展了Suslin基数的AD理论，最终形成了分类定理。他继续使用“平凡”描述理论，给出了（黑体符号{\Pi}_3^1）的Kechris-Martin定理的新证明。他介绍了现代射影集理论。
22.（L（mathbb{R}）中的确定性。 伊泰·尼曼研究（1877-1950页）结构（L（mathbb{R}））。伍丁表明，AD与无限多伍丁基数的存在是等价的。在这里，作者给出了这一结果的完整证明。他从Martin-Steel的迭代树理论开始。他引入了齐次Souslin集，并从可测量基数给出了\（\boldsymbol｛\Pi｝_1^1\）集的确定性证明。然后，他从伍丁基数给出了射影确定性的证明。通过减少普适Baire集确定性所需的大规模假设，该结果得到了改进。他表明，具有Woodin基数的模型可以在\（L（{mathbb{R}）\）中迭代并导出AD。
23.来自确定性的大基数。 彼得·科勒纳和W·休·伍丁在这里（第1951–2119页）介绍了伍丁从确定性假设中导出大尺度强度的技术。这些结果首次出现在这里。本章的核心是生成定理，它提供了一个从精确确定性假设生成伍丁基数的模板。他们首先证明了Solovay的结果，即在ZF+AD下，（ω_1）是可测的。当他们证明（在某种强确定性上下文中）HOD可以包含许多Woodin基数和中心生成定理时，就达到了高度。他们引入了战略确定性的概念。据此，他们建立了生成定理和一些瞬时情况。他们表明，生成定理可以迭代地应用于生成无穷多个伍丁基数。他们描述了二阶皮亚诺算法的简化。
24.对确定性模型的强制。 保罗·拉森描述了（第2121–2177页）伍丁关于强迫确定性模型的工作。伍丁指出：如果存在一个大于无穷多个伍丁基数的可测基数，则确定性公理成立于L（mathbb{R}）。伍丁还证明了以下几点：如果（δ）是伍丁基数的极限，并且存在一个大于（δ）的可测基数，那么（V{delta}）中的强制结构不能改变（L（mathbb{R}）上的理论。伍丁作品的中心是偏序（{mathbb{P}}_{text{max}}）。这个偏序产生了一个L（{mathbb{R}}）的扩张，其H（omega_2）是满足每个可执行理论的模型的结构H（omega _2）的直接极限。在这里，作者给出了对（mathbb）的基本分析的完整说明｛P｝_相对于已发布的结果，\（L（\mathbb{R}）\）的扩展名。然后他研究了\（mathbb的变化｛P｝_{\text{max}}）并强制使用更大的确定性模型。他还简要介绍了伍丁（Omega）逻辑。
该手册由一个广泛的索引（第2179–2197页）完成。
审核人：马丁·韦斯（波茨坦）

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MSC公司：

03-00 与数学逻辑和基础有关的一般参考书（手册、词典、书目等）
03埃克斯 集合论
00B15号机组 杂项特定利益物品的收集
03E02号 分区关系
04年3月 有序集及其余终结性；pcf理论
03E05号 其他组合集合论
03E10年 序数和基数
03E15年 描述性集合论
03E17年 连续体的基本特征
03E35号 一致性和独立性结果
03E40型 强制模型和布尔值模型的其他方面
03E45型 内部模型，包括可构造性、顺序可定义性和核心模型
03E55型 大型红衣主教
03E60年 确定性原则

关键词：

固定集;分区关系;理想;pcf理论;相干序列;连续体的基本特征;测度不变量与范畴不变量;Borel等价关系;基本嵌入;迭代强制;适当的强制;类强制;Prikry强制;可建造性;精细结构;内模理论;基数运算;大红衣主教;单数基数的后继;伍丁红衣主教;确定性;堆芯模型;覆盖引理
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\textit{M.Foreman}（编辑）和\textit{A.Kanamori}（编），集合论手册。分三卷。多德雷赫特：施普林格（2010年；兹bl 1197.03001）
全文： 内政部