斯蒂芬·拉蒙·加西亚;文森特·塞尔霍斯特·琼斯;丹尼尔·普尔（Daniel E.Poore）。;诺亚·西蒙 商集和丢番图方程。 （英语） Zbl 1254.11012号 美国数学。周一。 118，第8号，704-711（2011）. 设\（mathbb U，\mathbb V）是正整数的子集。作者定义了所谓的商集（mathbbU/mathbbV={U/V:U\in\mathbbU，V\in\MathbbV\}），并研究了（mathbb R^+=（0，\infty）中的处处密度他们的研究是基于这样一个事实：对于（a，b，c，d\in\mathbb N），（ad-bc=1），这两个Diophantine方程（i）（ax+by=u）和（cx+dy=v）有整数解（x，y\in\mathbb N）当且仅当（b/d<u/v<a/c）。因此，如果（mathbb U/mathbb V）处处稠密，那么（i）对于无限多的（U）和（V）有解（x，y，in mathbb N）。设\（mathbbP_{m，r}\）是与\（r\）模\（m\）同余的素数集。除其他外，作者证明了如果（m，r）=1，则（mathbb P_{m，r}/mathbb V）对于任意无限集（mathbbV\subset\mathbbN）是稠密的。然后证明了如果（mathbb U/mathbb V）是稠密的，那么对于每个整数多项式，（f（U）/g（V）：U in mathbb U，V in mathbbV）也是稠密的。例如，作为应用，他们给出了形式为（21x+17y=7p^3+2p^2+8p+1）、（p\equiv83\pmod{97}）和（58x+47y=13q^3+5q^2+6q+2）、（q\equiv 59\pmod}）的丢番图方程（i）具有无穷多解（x，y\in\mathbbN）和素数（p，q\）。评论家认为，商集的密度可能是由什叶派[阿里斯学报.15，273–278（1969；Zbl 0177.07001号)]，动机是H.斯坦豪斯[基金数学.193-104（1920；JFM 47.0179.02号)]差异定理。他称之为比率集的商集，用\（R（\mathbb U，\mathbbV）\）表示。可以在评审员和J.T.托斯[《阿里斯学报》第87卷第1期，第67-78页（1998年；Zbl 0923.11027号)].审核人：奥托·斯特劳赫（布拉迪斯拉发） 引用于1审查引用于13文件 MSC公司： 11个B05 密度、间隙、拓扑 2004年11月 线性丢番图方程 关键词：商集合;处处密度;渐近密度;线性丢番图方程 引文：Zbl 0177.07001号;Zbl 0923.11027号;JFM 47.0179.02号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.R.Garcia}等人，《美国数学》。周一。118，第8号，704--711（2011；Zbl 1254.11012） 全文： DOI程序