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马克·欣德里;约瑟夫·西尔弗曼

关于椭圆曲线上有理扭点的个数。（扭力原理的名称为Sur le nombre de points de torsion rationnels Sur une courbe elliptique。） （法语。英文简写版） 兹比尔0993.11028

C.R.学院。科学。，巴黎，Sér。一、 数学。 329，第2期，97-100（1999）.
引言：Soient（K）un corps de nombres de degré（d）sur（mathbb{Q}）et（E）une courbe elliptique sur（K）。关于音符\（E（K）\）（分别为\（E（K）_｛\text｛tor｝｝\））上的点理性群\（分别为\（E（K）\）上的扭转群）。Il existe une constante\（B_d\），indépendante de \（E\）telle que\（\text{card}E（K）_{text{tor}}\leq B_d）；ce-resultat aétédémontrépar B.Mazur（d=1）、S.Kamienny（d=2）、B.Mazure et S.Kamicenny（（d\leq 8）、d.Abramovich（d\ leq 14）et L.Merel（cas général）。梅雷尔·普鲁夫（Merel prouve que si\（p\）premier divise \（operatorname{card}E（K）_{text{tor}}\）et \（d>1），alors \（p\leq d^{3d^2}\）（Oesteléa raffineéla majoriation en \（3^{d/2}+1）^2）et d.p.父级问题解决方案pour les points d’ordre une puissance de \（p~））））。最本质的需求者存在唯一的多项式en（d）。切特问题est déjásouleve parM.屈肌et（等）J.Oestrelé[《阿斯特里斯克》183，25-36（1990；Zbl 0737.14004号)（再版3，第27页）]pour les courbes ayant bonne réduction partout。据观察，这是一个生产添加剂的位置，也就是（操作员名称｛card｝E（K）_｛\text｛tor｝｝\leq 48d\）mais，在生产部分的情况下，这是一个负担（操作员名称｛card｝E（K）_｛\text｛tor｝｝\leq 5.2^d\）。Le but de cette Note est de démontrer que les méthodes“分析”développees dansM.欣德里et（等）J.西尔弗曼[发明数学.93，419-450（1998；Zbl 0657.14018号); 塞米·塞奥尔（Sémin Théor）。Nombres，巴黎，1988-89，Prog。数学。91, 103-116 (1990;Zbl 0741.14013号)]关于Flexor和Oestrelé的问题。加上公关，诺伊斯·德蒙特隆斯·勒·苏瓦特（nus démontrons le résultat suivant）：
第1部分：Soit（E）une courbe elliptique définie sur（K）de degré\（d），possédant bonne reduction partout。独自一人\[\操作员姓名{card}E（K）_{text{tor}}\leq 1977408 d\log d。\]最有可能的是，我要明确地表达我的意思，尤其是诺伊斯·蒙特朗斯·库恩·普伦德雷（498240 d \log d \）的《大调音乐》（d \geq 25 \）和《大调舞曲》（5.2 d \）。大联盟（operatorname{card}E（K）_{text{tor}}\leq cd\log d\），avec une constante（c）dépender de（E），est valable pour toute courbe d’après d.W.Masser，néanmoins les méthodes exceptives dévelopees par s.David donnent des résultats arsake a notre theéorème mais o \ les constantes ne sont pas cisées。《J.-P.Serre permettent méme d’obtenir de meilleures》的作者是lorsque（E）n’admet pas de multiplication complexe，mais toujours avec des constantes dépelle de la courbe elliptique。Pair ailleurs，dans le cas oóle corps de base est le corps de-fonctions\（F\）'une courbe de genre \（g\），on sait que\（operatorname{card}E（F）_{text{tor}}\）admet une borned多项式en \（g \），lorsque la courbe n'est pas constante。
Notons que，sans hypohèses supplémentaires，la majoration du theéorème est preque opuisque，si\（E\）est une courbeá乘法复合体，关于peut avoir\（\ operatorname{card}E（K）_{text{tor}}\geq cd\sqrt{log\log d}\）（oɋ（c>0\）dépend de\（E\mais pas de\（d\））））。
La démonstration使用了La-hauteur canonique dé）finie par Néron et Tate quiest une forme quadrique（\widehat{h}:E（K）\to\mathbb{R}\）qui induit une formes définie positive sur（E（K）\otimes\mathbb{R}），尤其是（\wide hat{h}（P）=0\iff P \in E（K，_{text{tor}}\）。《巴黎圣母院原则》（Le principe de la preuve est de montrer que parmi un nombre assez grand de points，il en existe toujours un de hauteur strictention positive.）。
诺顿（E^0（K））l’ensemble des points quis’etendent en une section de la composante neutore du modèle de Néron de（E）（ou encore qui，sur un modéle de Weierstrass minimal，se réduisent en un point non-singulier）。特别是，在a（E（K）=E^0（K）\）上，这是一个生产部分。关于巴黎圣母院院长：
命题：Soit\（E\）une courbe elliptique définie-sur\（K\）de degré\（d\），et soient\（A=1/41472\）et \（B=498240\）si\。单独讨论：\[\文本｛card｝\｛P\ in E^0（K）\ mid\ widehat｛h｝（P）\ leq A/d\｝\ leq B d\log d。\]

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引用于11文件

理学硕士：

11G05号 全局场上的椭圆曲线
11国集团50 高度
14G05年 有理点

关键词：

处处具有良好约化的椭圆曲线;扭转点数量;Nero-Tate标准高度;多项式界

引文：

Zbl 0737.14004号;兹比尔0657.14018;Zbl 0741.14013号
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\textit{M.Hindry}和\textit{J.Silverman}，C.R.Acad。科学。，巴黎，Sér。I、 数学。329，第2号，97--100（1999；Zbl 0993.11028）
全文： 内政部