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诺亚·克拉维茨;阿什温·萨赫

元素偏序集的线性扩展数。 （英文） Zbl 1485.06001号

订单 38，编号1，49-66（2021）.
设（P）是一个顶点为（n）的偏序集。（P）的线性扩张数，即（P）顶点集的总阶数，与定义它的部分阶数一致，是（P）一个重要的不变量，在某种松散的意义上是对（P）复杂性的度量。因此，了解线性扩展数的可能值是很有意义的。（它明显介于当原始偏序集根本没有比较时获得的\（n！\）和当初始偏序集已经是全序时获得的1之间）。
设（mathbf{LE}（n））表示顶点偏序集的线性扩张的可能数目集。本文的主要结果是存在一个正常数，使得（[1，exp（cn/\log（n）]]）中的每个整数都是某些顶点偏序集的线性扩张数。聪明的证明依赖于递归地构造一个宽度为2的偏序集序列，其线性扩展的数量与所谓的Stern-Brocot树的属性有关，而该树本身与Farey树紧密相连）。这意味着这个问题可以简化为证明以下可能具有独立意义的数论结果：存在一个常数（c>9），在给定的（n，geq 2）中，存在一些（1，leq d，leq n-1），使得当欧几里德算法在（n，d）上运行时，商之和最多为\)其中，\（\phi\）通常是Euler的目标函数。作者推测因子（frac{n}{phi（n）}\log\log（n。
这个结果表明，从1到（n！）范围内的小值将具有具有相同数量线性扩展的（n。作者证明，对于（n\geq8），我们有（vert\mathbf{LE}（n）\cap[（n-1）！，n！]\vert<（n-3）！）。还提到了关于扩展这些结果的各种未决问题。
审核人：David B.Penman（科尔切斯特）

MSC公司：

06A07年 偏序集的组合数学
2005年11月 乘法结构；欧几里德算法；最大公约数

关键词：

部分有序集;线性延伸数;欧几里德算法;Stern-Brocot树
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{N.Kravitz}和\textit{A.Sah}，订单38，编号1，49--66（2021；Zbl 1485.06001）
全文： 内政部 arXiv公司

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