Richard克兰德尔;卡尔·迪尔彻;卡尔，蓬梅兰斯 搜索Wieferich和Wilson素数。 （英语） Zbl 0854.11002号 数学。计算。 66，No.217，433-449（1997）. 摘要：奇素数（p\）称为Wieferich素数，如果\[2^{p-1}\equiv1\pmod{p^{2}}；\]或者，如果\[（p-1）！\相等-1\pmod{p^{2}}。\]迄今为止，已知的唯一Wieferich素数是（p=1093）和（3511），而已知的唯一Wilson素数是。我们报告了不存在新的Wieferich素数（p<4乘10^{12}）和新的Wilson素数（p<5乘10^}）。基本上，上面定义的同余都只适用于（mod），有时根据启发式的理由估计，（p）是Wieferich（独立地：（p）就是Wilson）的“概率”大约是（1/p）。我们提供了一些与相关费马商和威尔逊商（mod）的小值出现相关的统计数据。 引用于5评论引用于56文件 MSC公司： 11A07号 同余；原始根；残渣系统 2004年11月 与数论有关的问题的软件、源代码等 1999年11月 计算数论 关键词：Wieferich素数;Wilson素数;费马商;威尔逊商;因子评价 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛R.Crandall｝等人，数学。计算。66，第217、433--449号（1997；Zbl 0854.11002） 全文： 内政部 整数序列在线百科全书： a（n）=（素数（n）-1）！+1 10^9以上的Near-Wieferich素数：素数p>10^9，使得2^（（p-1）/2）==+-1+A*p（mod p^2）与|A|<=100，即p=素数（i），使得A258367（i）<=100。 具有|A|<10的Near-Wieferich素数（满足2^（（p-1）/2）==+-1+A*p（mod p^2）的素数p）。 B的值，使得p=素数（n）满足（p-1）！==-1-B*p（mod p^2），即p是近威尔逊素数。 Near-Wilson素数（p=素数（n）满足（p-1）！==-1-A250406（n）*p（2型））。 区间[10^n，10^（n+1）]中所有素数的最小近Wieferich A值（绝对值）。 abs（A）<2的Near-Wieferich素数。 参考文献： [1] T.Agoh，K.Dilcher和L.Skula，复合模量的费马和威尔逊商，预印本（1995）·Zbl 1024.11003号 [2] N.G.W.H.Beeger，关于同余的奎尔奎斯再婚\（r^｛p-1｝\equiv 1\pmod｛p^｛2｝｝）et \（（p-1）！\equiv-1\pmod{p^{2}}），《数学信使》43（1913-1914），72-84。 [3] B.Berndt、R.Evans和K.Williams、Gauss和Jacobi合著的《Wiley-Interscience》即将出版·Zbl 0906.11001号 [4] 乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）和彼得·B·博文（Peter B.Borween），《Pi和AGM》，加拿大数学学会专著和高级文本系列，约翰·威利父子公司，纽约，1987年。解析数论与计算复杂性研究；Wiley-Interscience出版物·Zbl 0611.10001号 [5] S.Chowla、B.Dwork和Ronald Evans，《论现代》²；《（-1）/2top（-1）/4）的测定》，《数论》24（1986），第2期，188-196·Zbl 0596.10003号 ·doi:10.1016/0022-314X（86）90102-2 [6] D.Clark，私人通信。 [7] Matthijs Coster，高斯同余的推广，《数论》29（1988），第3期，300-310页·Zbl 0651.10004号 ·doi:10.1016/0022-314X（88）90108-4 [8] 理查德·克兰德尔和巴里·费金，《离散加权变换和大整数算术》，数学。公司。62（1994），第205、305–324号·Zbl 0839.11065号 [9] Richard E.Crandall，科学计算项目，TELOS。加州圣克拉拉电子科学图书馆；施普林格出版社，纽约，1994年。带有一张Macintosh/IBM-PC软盘（3.5英寸）·Zbl 0791.65001号 [10] -，《高级科学计算专题》，TELOS/Springer Verlag，加利福尼亚州圣克拉拉，1995年。 [11] R.Evans，二项式系数的同余，未出版手稿（1985年）。 [12] Zachary Franco和Carl Pomerance，关于Crandall关于\？\？的一个猜想+一道题，数学。公司。64（1995），第211、1333–1336号·Zbl 0833.11003号 [13] R.H.Gonter和E.G.Kundert，所有18876041之前的素数都经过了测试，但没有发现新的Wilson素数，Preprint（1994）。 [14] A.Granville，模素数幂的二项式系数，预印本·Zbl 0903.11005号 [15] Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》。第2卷：半数值算法，Addison-Wesley Publishing Co.，Reading，Mass.-London-Don-Mills，Ont，1969年·Zbl 0191.18001号 [16] D.H.Lehmer，《论费马商，基数二，数学》。公司。36（1981），第153、289–290号·兹比尔0452.1001 [17] E.Lehmer，《关于涉及伯努利数和费马和威尔逊商的同余》，《数学年鉴》。39 (1938), 350-360. ·Zbl 0019.00505号 [18] R.McIntosh，私人通信。 [19] Peter L.Montgomery，新解决方案^{\？-1}\equiv 1\pmod{\？²；}，数学。公司。61（1993），第203、361–363号·Zbl 0788.11002号 [20] J.M.Pollard，因子分解和素性检验定理，Proc。剑桥菲洛斯。Soc.76（1974），521-528·Zbl 0294.10005号 [21] 保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），关于费马最后定理的13次讲座，斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），纽约海德堡，1979年·Zbl 0456.10006号 [22] 保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录之书》（The book of prime number records），斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），纽约，1988年·Zbl 0642.10001号 [23] Volker Strassen，Einige Resultateüber Berechnungskomplexität，Jber。德国。数学-维莱因。78（1976/77），编号1，1-8·Zbl 0361.68070号 [24] 孙志宏、孙志伟，斐波那契数和费马最后定理，亚里士多德学报。60（1992），第4期，第371–388页·Zbl 0725.11009号 [25] D.D.Wall，斐波纳契级数模？，阿默尔。数学。《月刊》第67期（1960年），525–532页·Zbl 0101.03201号 ·doi:10.2307/2309169 [26] A.Wieferich，Zum letzten Fermat’schen定理，J.Reine Angew。数学。136 (1909), 293-302. [27] 威廉姆斯，计算机对数论发展的影响，计算。数学。申请。8（1982），第2期，75-93·Zbl 0486.10001号 ·doi:10.1016/0898-1221（82）90026-8 [28] 杨建明，《二项式系数的同余关系》，《数论》33（1989），第1期，第1-17页·Zbl 0682.10007号 ·doi:10.1016/0022-314X（89）90056-5 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。它的项目与zbMATH标识符启发式匹配，并且可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。