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多米尼克·哈费梅尔;弗洛里安·曼内尔;伊拉·奈泽尔;鲍里斯·韦克斯勒

基于BV-函数的一维椭圆最优控制的有限元误差估计。 （英语） Zbl 1465.65137号

数学。控制关系。领域 10，编号2，333-363（2020）.
摘要：我们考虑一个由一维椭圆方程控制的最优控制问题，其中包含一元有界变差函数作为控制。对于状态方程的离散，我们使用线性有限元；对于控制离散，我们分析了两种策略。首先，我们使用控制的变分离散化，并证明了状态和伴随状态的（L^2）-和（L^ infty）-误差是有序的（mathcal{O}（h^2）），并且控制的（L_（^1）-误差也类似于（mathcal{O}（h^ 2））。这些结果依赖于一个结构假设，该结构假设意味着原始问题的最优控制是分段常数，并且伴随状态在控制的跳点处具有非均匀的一阶导数。如果第二，使用分段常数控制离散化，我们得到了状态的（L^2）-阶误差估计（mathcal{O}（h））和伴随状态的（W^{1，infty}）-阶错误估计。在与之前相同的结构假设下，我们导出了控制的阶（mathcal{O}（h））的（L^1）-误差估计。我们讨论了优化算法，并提供了两种离散格式的数值结果，表明误差估计是最优的。

引用于三文件

MSC公司：

65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法
65奈拉 偏微分方程边值问题的误差界
49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论
49平方米25 最优控制中的离散逼近
49米41 PDE约束优化（数值方面）
26B30码 多变量绝对连续实函数，有界变差函数

关键词：

最优控制;BV-功能;最优性条件;数值分析;有限元
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Hafemeyer}等人，数学。控制关系。字段10，编号2，333--363（2020；Zbl 1465.65137）
全文： DOI程序 arXiv公司

参考文献：

[1] W.Alt；R.Baier；F.Lempio；M.Gerdts，用bang-bang解逼近线性控制问题，最优化，62，9-32（2013）·Zbl 1263.49028号 ·doi:10.1080/02331934.2011.568619
[2] W.Alt；U.Felgenhauer；M.Seydenschwanz，控制线性出现的一类非线性最优控制问题的Euler离散化，计算。最佳方案。申请。，69, 825-856 (2018) ·Zbl 1388.49018号 ·doi:10.1007/s10589-017-9969-7
[3] H.Attouch，G.Buttazzo和G.Michaille，Sobolev和BV空间中的变分分析。PDE和优化应用，第二版。MOS-SIAM优化系列，17。SIAM，宾夕法尼亚州费城，数学优化学会，2014年·Zbl 1311.49001号
[4] H.Attouch、G.Buttazzo和G.Michaille，Sobolev和BV空间中的变分分析。偏微分方程和优化的应用，第二版。关于优化的MOS-IAM系列，17。SIAM，宾夕法尼亚州费城，数学优化学会，2014年·Zbl 1257.65067号 ·doi:10.1137/11083277X
[5] S.Bartels，有限元全变分最小化：收敛和迭代解，SIAM J.Numer。分析。，50, 1162-1180 (2012) ·Zbl 1365.65178号 ·doi:10.1137/11083277X
[6] S.Bartels；M.Milicevic，约束全变分正则化模型问题的迭代有限元解，离散Contin。动态。系统。序列号。S、 101207-1232（2017）·Zbl 1420.49024号 ·doi:10.3934/cdss.2017066
[7] 博尼法西乌斯（L.Bonifacius）；K.Pieper；B.Vexler，带bang-bang控制的抛物线时间最优控制问题时空离散化的误差估计，SIAM J.control Optim。，57, 1730-1756 (2019) ·Zbl 1437.35680号 ·doi:10.1137/18M1213816
[8] K.Bredies和D.Vicente，pde-constrained total-variation minimization的完美重构性质及其在定量敏感性映射中的应用，ESAIM控制优化。计算变量。，已接受出版·Zbl 1135.65042号
[9] S.C.Brenner和L.R.Scott，有限元方法的数学理论，第三版，应用数学课文，15。施普林格，纽约，2008年·Zbl 1246.49028号 ·数字对象标识码：10.1137/10081928X
[10] J.Casado-Díaz；C.卡斯特罗；M.Luna-Laynez；E.Zuazua，一维椭圆优化设计问题的数值近似，多尺度模型。同时。，9, 1181-1216 (2011) ·Zbl 1343.49048号 ·数字对象标识码：10.1137/10081928X
[11] E.卡萨；C.克莱森；K.Kunisch，测度空间中椭圆控制问题的稀疏逼近，SIAM J.控制优化。，50, 1735-1752 (2012) ·Zbl 1266.49037号 ·doi:10.1137/110843216
[12] E.卡萨；C.克莱森；K.Kunisch，稀疏解测度空间中的抛物线控制问题，SIAM J.控制优化。，51, 28-63 (2013) ·Zbl 1341.35075号 ·数字对象标识代码：10.1137/120872395
[13] E.卡萨；P.Kogut；G.Leugering，（p）-拉普拉斯方程系数中最优控制问题的近似。I.收敛结果，SIAM J.Control Optim。，54, 1406-1422 (2016) ·Zbl 1365.35077号 ·数字对象标识代码：10.1137/15M1028108
[14] E.卡萨；F.Kruse；K.Kunisch，BV-函数对半线性抛物方程的最优控制，SIAM J.控制优化。，55, 1752-1788 (2017) ·Zbl 1306.90172号 ·doi:10.1137/16M1056511
[15] E.卡萨；K.Kunisch，测度空间中半线性椭圆方程的最优控制，SIAM J.控制优化。，52, 339-364 (2014) ·Zbl 1343.49036号 ·doi:10.1137/13092188X
[16] E.卡萨；K.Kunisch，时空测度空间中的抛物线控制问题，ESAIM控制优化。计算变量，22，355-370（2016）·Zbl 1421.35124号 ·doi:10.1051/cocv/2015008
[17] E.卡萨；K.Kunisch，用BV函数分析半线性椭圆方程的最优控制问题，集值变量分析。，27, 355-379 (2019) ·Zbl 0942.49014号 ·doi:10.1007/s11228-018-0482-7
[18] E.卡萨；K.Kunisch；C.Pola，有界变差函数的正则化及其在图像增强中的应用，应用。数学。最佳。，40, 229-257 (1999) ·Zbl 1391.49038号 ·doi:10.1007/s002459900124
[19] E.卡萨；M.Mateos；A.Rösch，具有促进方向稀疏性的目标的抛物型控制问题的改进近似率，Comput。最佳方案。申请。，70, 239-266 (2018) ·Zbl 1403.49017号 ·doi:10.1007/s10589-018-9979-0
[20] E.卡萨；D.Wachsmuth；G.Wachsmuth，bang-bang双线性控制问题的二阶分析和数值逼近，SIAM J.control Optim。，56, 4203-4227 (2018) ·Zbl 1142.49319号 ·doi:10.1137/17M1139953
[21] I.Chryssoverghi，最优控制问题的一般离散格式的近似梯度/惩罚方法大规模科学计算，计算机课堂讲稿。科学。，柏林施普林格，3743（2006），199-207·Zbl 1397.49056号 ·doi:10.1051平方米/2017061
[22] C.克莱森；F.Kruse；K.Kunisch，多材料拓扑优化的全变分正则化，ESAIM，数学。模型。数字。分析。，52, 275-303 (2018) ·Zbl 1213.49041号 ·doi:10.1051/m2安/2017061
[23] C.克莱森；K.Kunisch，非自反Banach空间中椭圆控制问题的基于对偶性的方法，ESAIM控制优化。计算变量，17，243-266（2011）·Zbl 1239.49006号 ·doi:10.1051/cocv/201003
[24] K.Deckelnick；M.Hinze，关于用bang-bang控件逼近椭圆控制问题的注记，计算。最佳方案。申请。，51, 931-939 (2012) ·Zbl 0851.49023号 ·doi:10.1007/s10589-010-9365-z
[25] A.L.Dontchev，非线性最优控制中离散近似的先验估计，SIAM J.control Optim。，34, 1315-1328 (1996) ·Zbl 0968.49022号 ·doi:10.1137/S036301299426948X
[26] A.L.Dontchev；W.W.Hager；V.M.Veliov，控制约束最优控制中的二阶龙格库塔近似，SIAM J.Numer。分析。，38, 202-226 (2000) ·Zbl 1059.65103号 ·doi:10.1137/S0036142999351765
[27] A.Ern和J.-L-Germond，有限元理论与实践《应用数学科学》，第159页。施普林格，纽约，2004年·Zbl 0545.49018号
[28] E.朱斯蒂，极小曲面与有界变差函数《数学专著》，80。Birkhäuser Verlag，巴塞尔，1984年·Zbl 0545.49018号
[29] M.Hinze和T.Quyen，用有限元方法重建椭圆系统源项的迭代全变分正则化，预印本，arXiv:1901.10278·Zbl 1326.49035号 ·doi:10.1137/140959055
[30] K.Kunisch；K.Pieper；B.Vexler，抛物线最优控制问题的测度值方向稀疏性，SIAM J.控制优化。，52, 3078-3108 (2014) ·Zbl 1343.35239号 ·doi:10.1137/140959055
[31] K.Kunisch；P.Trautmann；B.Vexler，带测量值控制的无阻尼线性波动方程的最优控制，SIAM J.control Optim。，54, 1212-1244 (2016) ·Zbl 1322.90004号 ·doi:10.1137/141001366
[32] J.Peypouquet，赋范空间中的凸优化：理论、方法和实例，Hedy Attouch的前言，《Springer优化简报》，Springer，Cham，2015年·Zbl 1322.90004号
[33] K.Pieper，B.Quoc Tang，P.Trautmann和D.Walter，有界域上亥姆霍兹方程的反向点源定位，预印本，arXiv:1805.03310·Zbl 1357.49121号 ·doi:10.1137/120889137
[34] K.Pieper；B.Vexler，测度空间中稀疏椭圆最优控制问题离散化的先验误差分析，SIAM J.control Optim。，51, 2788-2808 (2013) ·Zbl 1407.65203号 ·doi:10.1137/120889137
[35] P.Trautmann；B.韦克斯勒；A.Zlotnik，由变系数一维波动方程控制的测值最优控制问题的有限元误差分析，数学。控制关系。Fields，8，411-449（2018）·Zbl 1235.49001号 ·doi:10.3934/mcrf.2018017年
[36] M.Ulbrich，函数空间中变分不等式和约束优化问题的半光滑牛顿方法，关于优化的MOS-IAM系列，11。宾夕法尼亚州费城SIAM，数学优化协会，2011年·Zbl 0885.49024号 ·网址：10.1137/S0363012995288987
[37] V.Veliov，《关于控制系统的时间离散化》，SIAM J.control Optim.著。，35, 1470-1486 (1997) ·Zbl 1167.49318号 ·网址：10.1137/S0363012995288987
[38] V.M.Veliov，Bangbang最优控制问题离散近似的误差分析：线性情况，control Cybern。，34, 967-982 (2005) ·Zbl 1167.49318号
[39] D.Walter，偏微分方程参数辨识问题的稀疏传感器布置，博士论文，慕尼黑工业大学，2018年·Zbl 0266.65061号 ·数字对象标识代码：10.1137/0710077
[40] M.F.Wheeler，两点边值问题解的Galerkin逼近的最佳（L_{infty}）误差估计，SIAM J.Numer。分析。，10, 914-917 (1973) ·Zbl 0692.46022号 ·数字对象标识代码：10.1137/0710077
[41] W.P.Ziemer，弱可微函数，Sobolev空间和有界变分函数。数学研究生课文，120。施普林格，纽约，1989年·Zbl 0692.46022号
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