伊凡·纳姆金 非线性Klein-Gordon方程混合初边值问题的修正散射。 （英语） Zbl 1435.35222号 非线性 33，第1号，276-324（2020年）. 本文致力于研究具有初始和边界条件的半线上的Klein-Gordon方程：\[\开始{对齐}&v{tt}+v-v{xx}=\muv^3，\qquad t>0，\qqquad x>0，\\&v（0，x）=v_0（x），\qquad v_t（0，x）=v_1（x），\qquad v（t，0）-\βv_x（t，0）=h（t）。\结束{对齐}\标记{1}\]这里，（mu，beta\in\mathbb{R}）是一些常量，（v_0）、（v_1）和（h）是实值函数。表示\（\langle x\rangle:=\sqrt{1+x^2}\）和\（L^p:=L^p（\mathbb{右}_+)\). 定义以下加权空间\开始{align*}&L^{p，k}:=\left\{\phi:\，\|\phi\|_{L^{p，k}}:=\ |\langle x\rangle ^k\phi |_{L^{p}}<\infty\right\}\\&H^{m，k}:=\left\{phi:\，\|\phi\|_{H^{p，k}}:=\sum_{j=0}^{m}\|\partial^j\phi\| _{L^{2，k}{<\infty\right\}\结束{align*}和（L^2（mathbb）上的正弦傅里叶变换{右}_+)\盖子L^1（\mathbb{右}_+)\):\[\数学{F}\phi（p）：=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\ph（x）\sin-px\，dx。\]让\[\数学{H}（H）：=\sqrt{\frac{2}{\pi}}（1+\beta\partial_x）\int_{0}^{t}\mathcal{F} _秒左（frac{p\sin（langle-prangle）（t-\tau）}{（1+beta^2p^2）langle-p-rangle}右）h（\tau，d\tau）。\]本文的第一个结果是以下定理，它说明了局部存在性。定理1。让H ^1（mathbb）中的（v_0{右}_+)\)，L^2（\mathbb）中的\（v_1\{右}_+)\)，\（h\在h^{1，s}（\mathbb{右}_+)\)，\（s>1/2 \）。问题（1）与积分方程等价\开始{multline*}v（t，x）=（1+\beta\partial_x）\mathcal{F}\Bigg（\frac{\cos\langlep\ranglet}{1+\beta^2p^2}\mathcal{F} _秒（（1-\beta\partial_y）v_0）+\frac{\sin\langlep\ranglet}{1+\beta^2p^2}\mathcal{F} _秒（（1-\beta\partial_y）\langle p_x\rangle^{-1}第1版) \\+\mu\int_{0}^{t}\frac{\sin\langle-p\rangle（t-\tau）}{（1+\beta^2p^2）\langle_p\rangle}\mathcal{F} _秒（1-）v^3，d\tau\Bigg）+\mathcal{H}（H）。\结束{multline*}此外，存在（T>0）使得问题（1）在C（[0，T]；H^1（mathbb{右}_+))\).下一个结果提供了全局一致估计。定理2。设（β>0）和H^{2,1}（mathbb）中的初始和边界数据{右}_+)\)H^{1,1}（\mathbb）中的，\（v_1{右}_+)\)，\（h\在h^｛2中，\frac｛1｝｛2｝+\eta｝（\mathbb{右}_+)\)，\（eta>0\），满足关系\（（1-\beta\partial_y）v_0）（0）=h（0）\）。然后存在（\varepsilon_0>0），对于（0<varepsilen\leqslead\varepsiln_0），问题（1）在C（[0，+infty）中有唯一的全局解（v（t））；H^{2,1}（\mathbb{右}_+))\)一致范数的衰减率由下式给出\[\|v（t）{L^\infty（mathbb{右}_+)}\leqslide C\varepsilon\langle范围^{-\frac{1}{2}}。\]第三个结果描述了全局解的大时间行为。表示\[\θ（x）：=\开始{cases}1，&0\leq倾斜x<1\\0，&x\geqslead 1。\结束{cases}\]定理3。在定理2的假设下，设C（[0，+infty）；H^{2,1}（mathbb{右}_+))\)是（1）的解。然后在L^\infty（\mathbb）中存在一个唯一的函数{右}_+)\)这样的话\[\|v（t，\cdot）-\mathcal{v}（t，\ cdot）\|_{L^\infty（\mathbb{右}_+)}\leqsland C\varepsilon^\压裂{3}{2}t^{-\压裂{1}{2}-\eta}，\qquad\eta>0，\]哪里\开始{align*}&\mathcal{V}（t，x）：=\frac{1}{\sqrt{t}}\theta\left（\frac}t}{x}\right）\mathrm{Im}\，e^{-i\frac[\pi}{4}}\Lambda\left）\ln t）}\\&\Phi（t，x）=\frac{3\mu}{8}\langle ixt^{-1}\rangle\left|\Lambda\left（\frac{xt^}{\langle ix t^{-1-}\range}\right）\right|。\结束{align*}审核人：丹尼斯·鲍里索夫（乌法大学） 引用于1文件 MSC公司： 35L20英寸 二阶双曲方程的初边值问题 35L71型 二阶半线性双曲方程 35B40码 偏微分方程解的渐近行为 35A01型 偏微分方程的存在性问题：全局存在、局部存在、不存在 35A02型 偏微分方程的唯一性问题：全局唯一性、局部唯一性、非唯一性 关键词：远距离散射;半线上的Klein-Gordon方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.Naumkin}，非线性33，No.1，276--324（2020；Zbl 1435.35222） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Barab J E 1984非线性薛定谔方程渐近自由解的不存在性J.Math。物理25 3270-3·Zbl 0554.35123号 ·doi:10.1063/1.526074 [2] 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