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莱尼·福克珊斯基;尼古拉·莫什切维汀

关于Kronecker近似定理避开代数集的一个有效变分。 （英语） Zbl 1464.11066号

程序。美国数学。Soc公司。 146，第10号，4151-4163（2018）.
Kronecker经典定理的某一版本指出，对于给定的（varepsilon>0），向量（boldsymbol{A}=（A_1，dotsc，A_t）在mathbb{R}^t中是线性形式\[L_j（x_1，\dotsc，x_n）=b_{1j}×1+b条_{2j}x2+\dotsb+b_{nj}xn\在\mathbb{R}[x_1，\dotsc，x_n]，\；\；1\leq j \leq t，\]这样，（1）和所有系数（b{ij}）在（mathbb{Q}）上线性无关，那么在mathbb}Z}^n中有一些（boldsymbol{x}=（x_1，dotsc，x_n），满足\[\|L_j（粗体符号{x}）-a_j\|<\varepsilon，\；\；\对于所有j，1，\]其中，\（\|\cdot\|\）表示到最近整数的距离。
在本文中，作者考虑了关于sup范数的\（\boldsymbol{x}\）的有效界，即。，\[|\粗体符号{x}|=\max_{1\leqj\leqn}|xj|，\]当\（\boldsymbol｛x｝\）属于避免有限多个代数变种或有限多个全秩子格的代数格时。设置如下：
(1)我们考虑一个格\（\Lambda\subet\mathbb｛R｝^n\），它是在一个\（\mathcal）的标准Minkowski嵌入下得到的{O} K（_K）\)-模块，例如\（\mathcal{M}\）；包含（mathbb{Q}）和（Lambda）元素坐标的最小字段是（K_1）。
(2)\（1）和实线性形式（L_j）的系数（1）在（K_1）上线性无关；包含\（K_1）和这些系数的最小字段用\（E）表示。
然后，给定\（\varepsilon>0）和\（\mathbb{R}^t中的\boldsymbol{a}），则在\Lambda\中存在满足\[\|L_j（粗体符号{x}）-a_j\|<\varepsilon，\；\；\对于所有j，1，\]其中，\（\boldsymbol{x}\）避免了有限多代数簇的并集或\（\Lambda\）的有限多满秩子格的并集。在这两种情况下，它们都提供了范数\（|\boldsymbol{x}|\）的显式上界；这些上界取决于（varepsilon）和几个结构常数，涉及上述数域、维数（n）、线性形式数（t）、模（mathcal{M}）、上述变量中涉及的多项式的次数或子格的行列式。
主要工具有N.阿龙的组合Nullestellensatz[Comb.Probab.Comput.8，No.1-2，7-29（1999；兹伯利0920.05026)]Minkowski关于连续极小值的定理，Liouville型不等式，以及通过M.亨克和C.泰尔[太平洋数学杂志269，第2期，341-354（2014；Zbl 1314.11046号)]. 本文属于涉及几何数论和丢番图逼近中经典结果的有效界的思想圈，例如关于二次型小零点的Siegel引理或Cassels定理，第一作者对此做出了大量贡献。
审核人：Romanos Diogenes Malikiosis（塞萨洛尼基）

引用于4文件

MSC公司：

2006年11月 晶格和凸体（数论方面）
11国集团50 高度
11J68型 代数数的逼近
11D99号 丢番图方程

关键词：

多项式;丢番图近似;克罗内克定理;格子;高度

引文：

Zbl 0920.05026号;Zbl 1314.11046号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Fukshansky}和\textit{N.Moshchevitin}，Proc。美国数学。Soc.146，No.10，4151--4163（2018；Zbl 1464.11066）
全文： 内政部 arXiv公司

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