J·卡森。;V·哈里扎诺夫。;J·奈特。;兰格，K。;C·麦考伊。;莫罗佐夫，A。;奎因，S。;萨夫兰斯基，C。;瓦尔鲍姆，J。 描述自由群。 （英语） Zbl 1302.03045号 事务处理。美国数学。Soc公司。 364，第11期，5715-5728（2012）. 已知不同有限秩（n>1）的所有自由群（F_n）基本等价。因此，用一种更具表现力的语言描述特定的自由群是很有意思的。作者使用无限语言（L_{\omega_1\omega}），其中包含可计算的可枚举析取和连词，但仅包含有限的量词字符串。等级为（\aleph_0）的组（F_n）和组（F_\infty）都有可计算的副本。结构的可计算索引是一个数字，使得（varphi_e）是原子图的特征函数。结构的索引集（I（{mathcal A}）是同构于结构的可计算索引集。结构类（K）的索引集（I（K））是（K）元素的可计算索引集。索引集的可计算性理论复杂性与语言（L_{\omega_1\omega}）中一个结构或一类结构的最简单描述的复杂性之间存在联系。设\（\Gamma\）是一个复杂度类。如果有一个集合（C\ in\Gamma\），使得\（A=C\cap B\），则集合\（A\）位于较大集合\（B\）中的\（\Gamma \）中。一个集合\（A\）是\（\Gamma\）-在\（B\）内是\（\Gamma\）-如果对于任何集合\（S\in\Gamma\），存在一个可计算函数\（f:\omega\ to B\），使得\（f（n）\ in A\）iff\（n\in S\）。如果（A\）位于\（B\）中的\。本文证明了以下结果：（I（F_1）在自由群的类（mathrm{FrGr}）内（即在（I（mathrm{FrGr}））内）是完全的（Pi^0_1）。集合\（I（F_2）\）是\（\mathrm｛FrGr｝\）内的\（m\）-完备\（\Pi^0_2\）。对于\（n>2），集合\（I（F_n）\）是\（mathrm{FrGr}\）中的\（m）-完成\（d）-（Sigma^0_2）。集合\（I（F_\infty）\）是\（mathrm{FrGr}\）中的\（m\）-完成\（Pi^0_3\）。对于有限的（n），集合（I（F_n））是（m）-完全的（d）-（Sigma^0_2）（在所有群的类中）\（I（F_\infty）是（Pi^0_4）。所有有限生成群的类\（\mathrm{FinGen}\）的索引集是\（\mathrm{FrGr}\）中的\（m\）-完全\（\Sigma^0_3\）。所有局部自由群类的索引集是\（mathrm{Gr}\）中的\（m\）-完全\（\Pi^0_2\）。（F_\infty）的每个可计算副本都有一个\（\Pi^0_2）基，该基的\（\Pi^0_2。对于每一个\（n\geq2 \），作为\（F_n \）基础的语句\（x_1，dots，x_n）由无限公式\（theta（x_1，dotes，x_n）\）表示，它是公式\（forall\baru\，psi（x_1,dots，x_n，\baru）\）的可计算可枚举连词，其中\（\psi\）是有限量词自由的。审核人：瓦列里·普利斯科（莫斯科） 引用于三评论引用于18文件 MSC公司： 03C57号 可计算结构理论 03C75号 其他无穷逻辑 2015年3月1日 计算复杂性（包括隐式计算复杂性） 20K20码 无挠群，无限秩 20E05年 自由非贝拉群 关键词：自由群;无限语言;索引集;可计算性理论复杂性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Carson}等人，翻译。美国数学。Soc.364，No.11，5715--5728（2012；Zbl 1302.03045） 全文： 内政部 参考文献： [1] C.J.Ash和J.Knight，《可计算结构和超算术层次结构》，《逻辑和数学基础研究》，第144卷，北霍兰德出版公司，阿姆斯特丹，2000年·Zbl 0960.03001号 [2] M.Bestvina和M.Feighn，“自由群的可定义和可忽略子集”，正在进行中·Zbl 1348.20028号 [3] V.Kalvert、V.S.Kharizanova、D.F.Naĭt和S.Miller，可计算模型的索引集，代数逻辑45（2006），第5期，538–574，631–632（俄语，附俄语摘要）；英语翻译。，《代数逻辑》45（2006），第5期，306–325·Zbl 1164.03325号 ·doi:10.1007/s10469-006-0029-0 [4] D.Grove和M.Culler，私人信件。 [5] Olga Kharlampovich和Alexei Myasnikov，自由非阿贝尔群的基本理论，J.Algebra 302（2006），第2期，451-552·Zbl 1110.03020号 ·doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 [6] 罗杰·林登（Roger C.Lyndon）和保罗·舒普（Paul E.Schupp），组合群理论，《数学经典》（Classics in Mathematics），柏林，2001年。1977年版重印·Zbl 0997.20037号 [8] C.McCoy和J.Wallbaum，“描述自由基，第二部分：（Pi^0_4）硬度和无（Sigma^0_2）基”，Tran。阿默尔。数学。Soc.，这个问题·Zbl 1325.03037号 [9] G.Metakides和A.Nerode，《场论的有效内容》，《数学年鉴》。逻辑17（1979），第3289-320号·Zbl 0469.03028号 ·doi:10.1016/0003-4843（79）90011-1 [10] 阿南德·皮莱（Anand Pillay），《论自由群的一般性和重量》（On genericity and weight in the free group），Proc。阿默尔。数学。Soc.137（2009），编号11，3911–3917·Zbl 1184.03023号 [11] 布鲁诺·波扎特（Bruno Poizat），《群居马厩，avec types génériques réguliers》，《符号逻辑杂志》48（1983），第2期，第339-355页（法语）·Zbl 0525.03024号 ·doi:10.2307/2273551 [12] 达娜·斯科特，《具有可数长公式和有限量词串的逻辑》，《模型理论》（1963年出版，《国际交响乐》，伯克利），荷兰北部，阿姆斯特丹，1965年，第329-341页。 [13] Z.Sela，论文系列，“群I上的丢番图几何：Makanin-Razborov图”，《数学出版物》，高等科学研究所，第93卷（2001年），第31-105页；组II上的丢番图几何：完备性、闭包和形式解”，以色列数学杂志。，第134卷（2003年），第173-254页；Z.Sela，“组III上的丢番图几何：刚性和固体解”，以色列数学杂志，第147卷（2005），第1-73页；“第四组上的丢番图几何：句子验证的迭代过程”，以色列数学杂志。，第143卷（2004年），第1-130页；“群V上的丢番图几何：量词消去I”，以色列数学杂志，第150卷（2005），第1-197页；“V群上的丢番图几何：量词消除II”，《几何与函数分析》，第16卷（2006），第537-706页；“群VI上的丢番图几何：自由群的基本理论”，《几何与泛函分析》，第16卷（2006年），第707-730页。 [14] R.Sklinos，“关于自由群的一般类型”，发表在《符号逻辑杂志》上·Zbl 1213.03047号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。