佩德罗·J·米亚纳。;Hideyuki大冢;纳塔利娅·罗梅罗 加泰罗尼亚三角形数的幂和。 （英语） Zbl 1367.05013号 离散数学。 340，第10号，2388-2397（2017）. 摘要：在本文中，我们考虑组合数（（C_{m，k}）{m\geq1，k\geq0}），称为加泰罗尼亚三角数，其中。这些数字统一了加泰罗尼亚三角形（B_{n，k}）和（A{n，k}）的条目，用于参数（m）和（k）的适当值，即（B_}n，k{=C_{2n，n-k}和（A_{n、k}=C_2n+1，n+1-k}。事实上，这些数字是对已知选票数字的适当重排，其中一些数字是众所周知的加泰罗尼亚数字，即（C_{2n，n-1}=C_{2 n+1，n}=C_n）。我们给出了（C_{m，k}）的和（和交替和）、（C_}m，k{）的正方形和立方体的恒等式，从而给出了（B_{n，k}\）和（A_{n、k}\。特别是，其中一个身份解决了[J.M.古铁雷斯等【《数学与分析杂志》，Appl.341，No.1，52-61（2008；兹比尔1147.05003)]. 我们还给出了（（C_{m，k}）{m\geq1，k\geq0}）与调和数（（H_n）{n\geq1}）之间的一些恒等式。最后，在最后一节中，我们猜想了涉及（C_n）{n\geq0}的新的开放问题和恒等式。 引用于2评论引用于8文件 MSC公司： 19年5月 组合恒等式，双射组合学 05A10号 阶乘、二项式系数、组合函数 关键词：加泰罗尼亚数字;组合恒等式;二项式系数;加泰罗尼亚三角 引文：兹比尔1147.05003 软件：组织环境信息系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.J.Miana}等人，《离散数学》。340，第10号，2388--2397（2017；Zbl 1367.05013） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 德布鲁因的s（3，n）：（3n）/（n！）^3。 按行读取三角形；第0行为0；n>0的第n行包含（1-x）*（1+x）^（n-1）展开式中的系数。 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 三角形T（n，k）表示三角形A071919连续项对的差值。 a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，k）^2。 L.g.f.：求和{n>=1，k>=0}CATALAN（n，k）^2*x^（n+k）/n=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n，其中CATALAN。 参考文献： [1] Aigner，M.，Catalan-like numbers and determinates，J.Combinan.Theory Ser.加泰罗尼亚式数字和行列式。A、 87、33-51（1999）·Zbl 0929.05004号 [2] Aigner，M.，《通过选票数字进行枚举》，《离散数学》。，308, 12, 2544-2563 (2008) ·Zbl 1147.05002号 [3] A.T.本杰明。；Quinn，J.，（《真计数的证明》，《真计数证明》，Dolciani数学博览会，第27卷（2003年），美国数学协会）·Zbl 1044.11001号 [4] 陈，X。；Chu，W.，《加泰罗尼亚数字的矩》，J.Math。分析。申请。，349, 2, 311-316 (2009) ·Zbl 1168.11004号 [5] Chu，W.，涉及调和数的求和公式，Filomat，26，1，143-152（2012）·兹比尔1289.05019 [6] 德国E。；夏皮罗，L.，《精细数字调查》，《离散数学》。，241, 241-265 (2001) ·Zbl 0992.05011号 [7] Eplett，W.J.R.，关于加泰罗尼亚三角形的注释，离散数学。，25, 289-291 (1979) ·兹伯利039305014 [8] Gosper，R.W.，不定超几何求和的决策过程，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，75，40-42（1978）·Zbl 0384.40001号 [9] 郭文伟。；Zeng，J.，《加泰罗尼亚三角的二项式和因子》，《数论》，130，1，172-186（2010）·Zbl 1185.05006号 [10] 郭文伟。；Zeng，J.，涉及二项式系数和整数幂的和因子和交替和，国际数论，71959-1976（2011）·Zbl 1235.05009号 [11] 古铁雷斯，J.M。；Hernández，医学硕士。；Miana，P.J。；罗梅罗，N.，《加泰罗尼亚三角洲的新身份》，J.Math。分析。申请。，341, 1, 52-61 (2008) ·Zbl 1147.05003号 [12] Miana，P.J。；罗梅罗，N.，组合数和加泰罗尼亚数的矩，《数论》，130，8，1876-1887（2010）·Zbl 1214.11033号 [13] 大冢，H。；Tauraso，R.，问题11844，Amer。数学。月度，122，5，501（2015），解决方案http://www.mat.uniroma2.it网站/tauraso/AMM/AMM11844.pdf [14] Paule，P。；Schneider，C.，调和数恒等式新族的计算机证明，Adv.Appl。数学。，31, 2, 359-378 (2003) ·Zbl 1039.11007号 [15] Petkovsek，M。；Wilf，H.S。；Zeilberger，D.，（A=B（1997）），A K Peters Ltd.Wellesley [16] 夏皮罗，L.W.，《加泰罗尼亚三角》，离散数学。，14, 83-90 (1976) ·Zbl 0323.05004号 [17] Slavík，A.，二项式系数平方的恒等式，Ars Combin，113，377-383（2014）·Zbl 1313.05023号 [19] 斯隆，N，《整数序列手册》（1973），学术出版社：新泽西学术出版社·Zbl 0286.10001号 [20] Spies，J.，《涉及调和数的一些恒等式》，数学。公司。，55, 839-863 (1990) ·Zbl 0724.05005号 [21] Stanley，R.P.，《枚举组合数学》，第2卷（1999），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社·Zbl 0928.05001号 [22] Stanley，R.P.，《加泰罗尼亚数字》（2015），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社·兹比尔1317.05010 [23] 威尔夫，H。；Zeilberger，D.，有理函数证明组合，J.Amer。数学。《社会学杂志》，3，1，147-158（1990）·Zbl 0695.05004号 [24] 张，Z。；Pang，B.，《加泰罗尼亚三角中的几个身份》，印度J.Pure Appl。数学。，41, 2, 363-378 (2010) ·Zbl 1223.05009号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。