迈克尔五世·克里巴诺夫。;李靖之 逆问题和Carleman估计。全局唯一性、全局收敛性和实验数据。 （英语） Zbl 1481.35008号 反问题和不适定问题系列63.柏林：De Gruyter（ISBN 978-3-11-074541-2/hbk；978-3-12-074548-1/电子书）。xvi，第325页。(2021). 本书主要致力于Carleman估计及其应用。第一章描述了这本书的内容。第二章讨论了椭圆、抛物和双曲算子的Carleman函数（psi（x））的构造，并证明了相应的稳定性估计。设（L）是定义在域（G\subset\mathbb{R}^{n}）中的二阶微分算子，并且设（psi（x））是一个足够光滑的函数，使得（|\nabla\psi（x）|\neq0）（G中的x\）。逐点Carleman估计是形式不等式\[ \varphi^{2}（Lu）^{2{\geq C（\lambda^{3}|u|^{2neneneep \varphi^}2}{div}U，对于Omega{h}中的所有x，对于C^{2}（上划线{Omega_{h}}）中的所有u，\] 其中，\（x\in\Omega_{h}=\{x\ in G:\psi（x）\geq-h\geq0}\），\（\varphi（x）=e^{\lambda\psi（x）}\）、\（|U|\leqC_{1}（|U|^{2}+|\nabla-U|^}）\）和\（\lambda \geq\lambda_{0}\ in \mathbb{R}\）。上述函数\（\psi\）称为Carleman函数。这些估计实际上不依赖于微分算子的形式和该算子中的低阶项，并允许以统一的方式证明全局唯一性定理。设（u）是满足边界条件的微分不等式（|Lu|\leqc_{1}|u|+c_{2}|\nablau|+|f|\）的解，其中（Gamma_{h}=g_{0}）和）是边界的法线。形式（1）的估计确保了形式的稳定性估计\[ \|u\|_{W_{2}^{1}（\Omega_{h+3\varepsilon}）}\leqC_{1}（1+\|u\|_{W_{2}^{1}（\Omega_{h+\varepsilon}）}\delta^{\beta}，\\delta=\|f\|_{L_{2}（\Omega_{h}）}+\|g_{1}\|_{L_{2}（\Gamma_{h}）}+\|g_{0}\|W_{2｝^｛1｝（\伽马_｛h｝）｝，\\β\在（0,1）中。\]第三章利用第二章的结果，建立了系数反问题的唯一性定理。除了初始条件和边界条件外，还给出了椭圆情况下边界上的Cauchy数据，以及抛物线和双曲线情况下圆柱体侧边界上的（（x，t）G次（0，t））。问题是找到方程的解并恢复方程的系数（在抛物线和双曲线情况下仅取决于\（x））。此外，在本章中，在抛物线情况下，当施加最终的超定条件时，证明了恢复系数和初始数据的唯一性。第四章讨论了Lions和Lattes关于不适定Cauchy问题和线性偏微分方程的拟可逆数值方法。QRM是针对含有无界偏微分算子的类Tikhonov泛函的极小化问题而提出的。具有Carleman函数的类Tikhonov泛函数的一种典型形式如下：（J（w）=e^{-\lambda\delta}\int_{\Omega}（Lw（x））^{2}\varphi^{2{，dx+\gamma\|w\|{w_2}^{s}（\Omega）}^{2neneneep，其中\（\varphi=e^｛\lambda\psi｝\），\（\gamma＞0\）是正则化参数，这里的乘数\（e^｛-\lambda\delta｝\）允许在右侧的第一项和第二项之间保持一些平衡。建立了该泛函极小值的存在唯一性，进行了收敛性分析，发现了当数据中的噪声水平趋于零时，极小值对精确解的收敛速度。该证明是通过应用Carleman估计得到的。证明了QRM可以应用于线性偏微分方程的一类不适定Cauchy问题，即QRM是一种通用的正则化方法。它适用于Carleman估计适用的PDE。第5章至第11章专门介绍了Klibanov M引入的凸化方法。与前几章不同的是，所考虑的方程通常是拟线性的。在第五章中，我们证明了在Carleman估计存在的情况下，第二章中所有不适定问题的构造近似解可以归结为一些严格凸泛函的最小化。证明了梯度投影法的收敛性，并建立了收敛速度。众所周知，基于最小二乘代价泛函极小化过程的非线性不适定问题的传统数值方法通常存在局部极小和沟壑现象。在这种情况下，情况大不相同，且极小值的唯一性成立。在本章的最后，给出了一维情况下的一些数值例子。第六章研究了二阶微分算子中恢复低阶系数的问题。附加数据是受限Dirichlet-to-Neumann映射，它是Dirichlet和Neumann-数据的集合（（u|_{Gamma}，frac{partial-u}{partial\nu}|_{Gamma}），取决于一个参数（x_{0}in[0,1]\），并定义在域内的一些非特征表面（Gamma\）上，该区域可以与（mathbb{R}^{n}重合\)或者是有界域（在后一种情况下，解满足边界上的Dirichlet边界条件）。为了解决这个问题，构造了一个特殊的正交基。得到了稳定性估计，并在一定条件下证明了数据的唯一性定理。构造了一个加权的类Tikhonov严格凸泛函来数值求解该问题。构造了一个收敛到极小值的函数序列，并估计了收敛速度。显示了抛物线和双曲线情况下的示例。接下来五章中的论述遵循相同的方案。他们致力于解决数学物理的一些经典问题。第7章讨论了利用受限Dirichlet-to-Neumann映射恢复电导率分布的电阻抗层析成像问题（如前一章所述）。获得了唯一性定理和稳定性估计，构造了加权Tikhonov样严格凸泛函，并描述了它们的性质。给出了数值实验结果。在第8章中，对于点源位于单一位置的双曲方程的系数反问题，也得到了相同的结果。第九章讨论了系数和初始数据的同时恢复，给出了圆柱侧边界上的柯西数据和某一时刻解（u（x，t{0}）的值。在第十章中，我们考虑了在无限远的索末菲辐射条件下，亥姆霍兹方程（-\Delta+c（x）k^{2}=\Delta（x-x_{0}）中函数（c（x））的恢复。超定条件的形式为：（u（x，x{0}）=F（x，x{0}），其中（x{0{）位于某条直线上，（x\in\Gamma），其中\（Gamma=\partial\Omega）和\（sigma（x）\equiv1）位于\（mathbb{R}^n}\setminus\Omega\）上。在第11章中，作者基于Tikhonov类泛函的构造，提出了一种全局收敛的数值方法，用于求解具有形式确定的不完全数据的三维旅行时间层析成像问题。不完整性意味着数据仅在感兴趣域边界的一部分上进行测量。给出了一些唯一性和稳定性结果。第12章给出了线性化问题的数值算法和数值实验结果。审核人：谢尔盖·彼得科夫（坎提·曼西斯克） 引用于39文件 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 35兰特 PDE的反问题 35年2月25日 PDE的不良问题 35A02型 偏微分方程的唯一性问题：全局唯一性、局部唯一性、非唯一性 关键词：Carleman估计;稳定性估计;唯一性;准可逆性数值方法;类Tikhonov函数;电阻抗成像问题;加权类Tikhonov严格凸泛函 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.V.Klibanov}和\textit{J.Li}，逆问题和Carleman估计。全局唯一性、全局收敛性和实验数据。柏林：De Gruyter（2021；Zbl 1481.35008） 全文： 内政部