哈姆贾姆·阿布巴卡尔;让-克洛德·坎冈;莱昂汀·恩卡格·恩坎巴;丹尼尔·蒂乌乔 虫媒病毒病传播动力学中的分叉阈值和最优控制。 （英语） Zbl 1393.37098号 数学杂志。生物。 76，编号1-2，379-427（2018）。 作者提出并分析了一个用于虫媒病毒动力学和控制的10维宿主-矢量室常微分方程模型。人类种群的动力学由SEIR模型描述，成年媒介种群的动力学由SEI模型描述，而对于未成熟媒介，考虑了三个阶段，即卵、幼虫和蛹。该模型假设易感人群的招募是恒定的，蛹以恒定的速度成虫。此外，所有死亡率都与密度无关。已确定存在两种无病平衡，一种是平凡的平衡（没有疾病和媒介的人类人口），另一种是更现实的平衡（无疾病但没有媒介的人口）。无病平衡点的局部稳定性由两个参数决定，即基本繁殖数{R} _0（0）\)以及净再现数\（\mathcal｛N｝\）。在这种情况下获得的稳定性结果的生物学解释是，当{R} _0（0）<1），社区中的少量病媒不会引发大规模疫情，尽管该疾病可能仍会持续。该模型也被发现最多有两个地方性平衡（这发生在{R} _0（0）<1），在某些条件下），然后调查分岔的可能发生。后向分岔发生的有效阈值是根据人-矢量传输速率确定的，这些结果通过数值研究加以补充。研究还表明，在没有疾病相关死亡的情况下，系统不会出现分岔现象。提出了五种与时间相关的控制方法：（不完善的）疫苗接种、蚊虫保护、治疗、蚊虫杀灭和其他通用病媒控制措施，目的是尽可能减少感染病例（有症状的人类感染）的数量，同时保持控制成本尽可能低。利用庞特里亚金原理，得到了最优控制满足的必要条件。研究了结合两种或两种以上控制方法的六种控制策略，通过数值模拟确定了对疾病传播的影响和病媒种群的大小，并通过定义的效率指数进行了效率分析特别的也正在执行。审核人：保罗·乔治斯库（伊拉斯基） 引用于13文件 MSC公司： 37N25号 生物学中的动力系统 34C23型 常微分方程的分岔理论 92天30分 流行病学 关键词：虫媒病毒病;分叉，分叉;最优控制;蓬特里亚金最大值原理;效率分析 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Abboubakar}等人，J.Math。生物学76，编号1--2，379--427（2018；Zbl 1393.37098） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abboubakar H、Kamgang JC、Nkamba LN、Tieudjo D、Emini L（2015）从疫苗接种的角度模拟虫媒病毒疾病的动力学。生物数学4（1507241）：1-30。doi:10.11145/j.bimath.2015.07.241·Zbl 1373.92116号 ·doi:10.11145/j.biomath.2015年7月24日 [2] Abboubakar H、Buonomo B、Chitnis N（2016a），疟疾感染对蚊子叮咬行为和人类吸引力的影响建模。Ric Mat.doi:10.1007/s11587-016-0293-9·Zbl 1354.92078号 [3] Abboubakar H，Kamgang JC，Tieudjo D（2016b）虫媒病毒疾病传播动力学中的向后分叉和控制。数学生物科学278:100-129·Zbl 1347.34073号 [4] Adams BM，Banks HT，Kwon H，Tran HT（2004）艾滋病毒的动态多药疗法：最佳和sti控制方法。数学生物科学工程1（2）：223-241·Zbl 1060.92034号 ·doi:10.3934/mbe.2004.1.223 [5] Ai S，Li J，Lu J（2012）蚊子阶段结构疟疾模型及其全球动力学。SIAM应用数学杂志72（4）：1213-1237·兹比尔1267.34076 ·数字对象标识代码：10.1137/10860318 [6] Alcaraz C，García-Berthou E（2007）入侵食蚊鱼（Gambusia holbrooki）沿盐度梯度的生活史变化。生物保护139:83-92·doi:10.1016/j.biocon.2007.06.006 [7] Aldila D，Götz T，Soewono E（2013）登革热传播模型引起的最优控制问题。数学生物科学242:9-16·Zbl 1316.92079号 ·doi:10.1016/j.mbs.2012.11.014 [8] Antonio M，Yoneyama T（2001）登革热疫情的最优和次优控制。Optim Control应用方法63（22）：63-73·Zbl 1069.92519号 [9] Brasseur A（2011）《法国南部地区白纹伊蚊传播限制因素分析》（Analyse des pratiques actuelles destinéesálimiter la propagation d'aedes albopictus dans la zone sudest de la france et propositions d'améliration）。圣普利克高等教育博士论文（EHESP） [10] Bellan SE（2010）《年龄依赖性死亡率和外源性潜伏期在蚊媒疾病传播和控制模型中的重要性》。公共科学图书馆ONE 5（4）:e10165·doi:10.1371/journal.pone.0010165 [11] Blayneh K，Cao Y，Kwon HD（2009），媒介传播疾病的最佳控制：治疗和预防。离散连续动态系统B 11（3）：587-611·Zbl 1162.92034号 ·doi:10.3934/dcdsb.2009.11.587 [12] Blayneh KW，Gumel AB，Lenhart S，Clayton T（2010）西尼罗河病毒传播动力学中的反向分岔和最优控制。《公牛数学生物学》72:1006-1028。doi:10.1007/s11538-009-9480-0·Zbl 1191.92024号 ·doi:10.1007/11538-009-9480-0 [13] Bosc P、Boulet V、Echaubard M、Corre ML、Quilici S、Quod JP、Rochat J、Ribes S、Salamolard M、Thybaud E（2006年）《总理比兰·苏勒（Premier Bilan sur les）对悲剧和反住房的影响》，《基孔肯亚（Chikungunya）镇（dans le cadem de la lutte Contre le）》，《埃斯佩塞（sur les Espèces et les Milieux de l’âle de la Réunion） [14] Buonomo B（2011）风疹疫苗接种策略的简单分析。数学生物科学工程8（3）：677-687·Zbl 1260.92103号 ·doi:10.3934/mbe.2011.8.677 [15] Buonomo B（2015）《模拟itns的使用：最佳推广计划与纯自愿收养》。数学3（4）：1241-1254·Zbl 1369.92113号 ·doi:10.3390/math3041241 [16] Cannon JR，Galiffa DJ（2012）黄热病提出的流行病学模型。数学方法应用科学35:196-206·Zbl 1232.92056号 ·doi:10.1002毫米/毫米.1556 [17] Carvalho SA、da Silva SO、da Cunha Charret I（2015）登革热疫情的数学建模：控制方法和疫苗接种策略。arXiv:1508.00961v1第1-11页 [18] Chippaux A（2003年）《虫媒病毒与虫媒病毒表面的Généralit s sur arbovirus et arboviroses-虫媒病毒和虫媒病毒概述》。Med Mal感染33:377-384·doi:10.1016/S0399-077X（03）00204-X [19] Chitnis N，Hyman JM，Cushing JM（2008）通过数学模型的敏感性分析确定疟疾传播的重要参数。公牛数学生物学70:1272-1296·Zbl 1142.92025号 ·doi:10.1007/s11538-008-9299-0 [20] Coutinho FAB，Burattini MN，Lopez LF，Massad E（2006）描述登革热人口动态的非自治流行病系统的阈值条件。公牛数学生物学68:2263-2282·Zbl 1296.92226号 ·数字对象标识代码：10.1007/s11538-006-9108-6 [21] Cruz-Pacheco G、Esteva L、Montaño-Hirose JA、Vargas C（2005）西尼罗河病毒感染的季节性和爆发。公牛数学生物学67:1157-1172·Zbl 1334.92397号 ·doi:10.1016/j.bulm.2004.11.008 [22] Cruz-Pacheco G，Esteva L，Vargas C（2009），西尼罗河病毒感染的季节性和爆发。公牛数学生物学71:1378-1393·Zbl 1171.92338号 ·doi:10.1007/s11538-009-9406-x [23] Cushing JM（1998）《结构化人口动态导论》，第71卷。费城SIAM·Zbl 0939.92026号 ·doi:10.137/1.9781611970005 [24] Darriet F、Marcombe S、Corbel V（2007）《杀虫剂杀幼虫剂和成虫替代品在法国的应用》，综合书目。IRD，第1-46页 [25] de Pinho M，Nogueira FN（2017）《最优控制在SEIR归一化模型中的应用：利弊》。数学生物科学工程14（1）：111-126。doi:10.3934/mbe.2017008年·Zbl 1351.49054号 [26] Derouich M，Boutayeb A（2006）登革热：数学建模和计算机模拟。应用数学计算177（2）：528-544·Zbl 1121.92056号 [27] Dias WO，Wanner EF，Cardoso RTN（2015）使用化学和生物交替步长控制对抗埃及伊蚊的多目标优化方法。数学生物科学269:37-47·Zbl 1351.92049号 ·doi:10.1016/j.ms.2015.08.019 [28] Diekmann O，Heesterbeek JAP（2000）传染病的数学流行病学。建模、分析和解释。奇切斯特·威利·Zbl 0997.92505号 [29] Djamila M（2011）《数学建模与分析》（Modélisation et analysis matique de systèmes dynamicques enépidémiologie）。应用程序au cas du chikungunya。阿弗尔大学博士论文 [30] Djiomba Njankou SD，Nyabadza F（2016）埃博拉病毒病的最佳控制模型。生物系统杂志24（01）：29-49·Zbl 1343.92509号 ·doi:10.1142/S0218339016500029 [31] Dumont Y，Chiroleu F（2010）《基孔肯雅病的媒介控制》。数学生物科学工程7:313-345·Zbl 1259.92071号 ·doi:10.3934/mbe.2010.7.313 [32] Dumont Y，Thuillez J（2016）人类行为：对蚊子控制的威胁？数学生物科学281:9-23·Zbl 1352.92149号 ·doi:10.1016/j.mbs.2016.08.011 [33] Dushoff J，Huang W，Castillo-Chavez C（1998）致命疾病简单模型中的向后分叉和灾难。数学生物学杂志36:227-248·Zbl 0917.92022号 ·doi:10.1007/s002850050099 [34] Eshita Y、Takasaki T、Takashima I、Komalamisra N、Ushijima H、Kurane I（2007）日本蚊子对登革热和西尼罗河病毒的媒介能力，第23章。农药化学，第260-268页·Zbl 0397.92025号 [35] Esteva L，Vargas C（1998）登革热传播模型分析。数学生物科学150:131-151·Zbl 0930.92020号 ·doi:10.1016/S0025-5564（98）10003-2 [36] Esteva L，Vargas C（1999），人口可变的登革热模型。数学生物学杂志38:220-240·Zbl 0981.92016号 ·doi:10.1007/s002850050147 [37] Feng Z，Velasco-Hernadez V（1997）登革热病媒宿主模型中的竞争排斥。数学生物学杂志35:523-544·Zbl 0878.92025号 ·doi:10.1007/s0028500050064 [38] Fleming WH，Rishel RW（1975）确定性和随机最优控制。柏林施普林格·Zbl 0323.49001号 ·doi:10.1007/978-1-4612-6380-7 [39] Freedman H（1979）具有相互干扰和密度依赖死亡率的捕食者-食饵系统的稳定性分析。公牛数学生物学41（1）：67-78·Zbl 0387.92016号 ·doi:10.1007/BF02547925 [40] Garba SM、Gumel AB、Bakar MRA（2008）登革热传播动力学中的反向分支。数学生物科学215:11-25·Zbl 1156.92036号 ·doi:10.1016/j.mbs.2008.05.002 [41] Goh BS（1978）一类捕食模型的全局稳定性。公牛数学生物学40（4）：525-533·Zbl 0378.92009号 ·doi:10.1007/BF02460776 [42] Greenhalgh D，Griffiths M（2009）三阶段扩展brsv流行病模型中的向后分岔、平衡和稳定性现象。数学生物学杂志59（1）：1-36·Zbl 1204.92059号 ·doi:10.1007/s00285-008-0206-y [43] Gubler DJ（2001）《全球人类虫媒病毒感染》。Ann N Y科学院951:13-24·doi:10.1111/j.1749-6632.2001.tb02681.x [44] Gurtin ME、MacCamy RC（1974），非线性年龄依赖人口动力学。拱比力学分析54（3）：281-300·兹伯利0286.92005 ·doi:10.1007/BF00250793 [45] Gurtin ME，MacCamy RC（1979）非线性年龄相关人口动力学的一些简单模型。数学生物科学43（3-4）：199-211·Zbl 0397.92025号 ·doi:10.1016/0025-5564（79）90049-X [46] Hadinegoro SR、Arredondo-García JL、Capeding MR、Deseda C、Chotpitayasunondh T、Dietze R、Hj Muhammad Ismail H、Reynales H、Limkittikul K、Rivera-Medina DM等（2015）登革热疫苗在地方病地区的疗效和长期安全性。《英国医学杂志》373（13）：1195-1206·doi:10.1056/NEJMoa1506223 [47] Hale JK（1969）常微分方程。纽约威利·Zbl 0186.40901号 [48] Hotez PJ、Remme JH、Buss P、George G、Morel C、Breman JG（2004）《防治热带传染病：发展中国家疾病控制优先项目报告》。临床传染病38（6）：871-878·doi:10.1086/382077 [49] Jung E，Lenhart S，Feng Z（2002年），两组结核病模型中治疗的最优控制。离散连续动态系统Ser B 2（4）：473-482·Zbl 1005.92018年 ·doi:10.3934/dcdsb.2002.2473 [50] Kane H（2015）《小疾病的研究》（Négocier la guérison du petit malade）。努瓦克肖特的配置和可访问性。麻省大学诺伯特·埃利亚斯中心EHESS-Paris博士论文，邮编8562·Zbl 1351.92049号 [51] Karabatsos N（1985）国际虫媒病毒目录，包括脊椎动物的某些其他病毒。美国热带医学与卫生学会，德克萨斯州圣安东尼奥（2001年更新）·Zbl 1259.92071号 [52] Kassa SM，Hove-Musekwa SD（2014年），资源分配的最佳控制和艾滋病毒感染社区的经济增长。Optim Control应用方法35（6）：627-646·Zbl 1308.49038号 ·doi:10.1002/oca.2088年 [53] LaSalle JP（1968）常微分方程的稳定性理论。J Differ Equ差异Equ 4:57-65·Zbl 0159.12002号 ·doi:10.1016/0022-0396（68）90048-X [54] LaSalle JP（1976）动力系统的稳定性。费城工业和应用数学学会·Zbl 0364.93002号 ·doi:10.1137/1.9781611970432 [55] 《世界经济报》：赛诺菲兰斯子疫苗控制登革热。于2015年12月9日16:30访问，于2015年10月12日11:26更新·兹比尔1334.92397 [56] Lenhart S，Workman JT（2007），生物模型的最优控制。查普曼和霍尔，纽约·Zbl 1291.92010年 [57] Lord CC，Woolhouse MEJ，Heesterbeek JAP（1996），媒介传播疾病和基本繁殖数量：非洲马病案例研究。医学兽医昆虫学10:19-28·doi:10.1111/j.1365-2915.1996.tb00077.x [58] Lukes DL（1982）微分方程：经典到受控。纽约学术出版社·Zbl 0509.34003号 [59] Maidana NA，Yang HM（2011）考虑几种共存鸟类种群的西尼罗河病毒传播动态。数学计算模型53:1247-1260·Zbl 1217.34095号 ·doi:10.1016/j.mcm.2010.12.008 [60] Moulay D、Aziz-Alaoui MA、Cadivel M（2011）《基孔肯雅病：建模、媒介和传播全球动力学》。数学生物科学229:50-63·兹比尔1208.92044 ·doi:10.1016/j.mbs.2010.10.008 [61] Moulay D、Aziz-Alaoui MA、Hee-Dae K（2012）《基孔肯雅病的最佳控制：幼虫减少、治疗和预防》。数学生物科学工程9（2）：369-393·Zbl 1260.92068号 ·doi:10.3934/mbe.2012.9.369 [62] Ngwa GA，Shu WS（2000）不同人类和蚊子种群的地方性疟疾数学模型。数学计算模型32（7）：747-763·Zbl 0998.92035号 ·doi:10.1016/S0895-7177（00）00169-2 [63] Nishiura H（2006）登革热传播的数学和统计分析。登革热公牛30:51-67 [64] Okosun KO，Ouifki R，Marcus N（2011）疟疾传播模型的最优控制分析，其中包括免疫力下降的治疗和疫苗接种。生物系统106:136-145·doi:10.1016/j.biosystems.2011.07.006 [65] Parks W，Lloyd L（2004）《规划登革热预防和控制的社会动员和传播》。日内瓦世界卫生组织 [66] Parola P、de Lamballerie X、Jourdan J、Rovery C、Vaillant V、Minodier P、Brouqui P、Flahart A、Raoult D、Charrel RN（2006）《印度洋岛屿返回旅客中的新型基孔肯亚病毒变种》。突发传染病12（10）：1-12·doi:10.3201/eid1210.060610 [67] Paupy C、Delate H、Bagny L、Corbel V、Fontenille D（2009）白纹伊蚊，一种虫媒病毒载体：从黑暗到光明。感染微生物1（1177）：14-15 [68] Poletti P、Messeri G、Ajelli M、Vallorani R、Rizzo C、Merler S（2011）《基孔肯亚病毒的传播潜力和控制措施：意大利案例》。公共科学图书馆ONE 6（e18860）：1-12 [69] Pontryagin LS、Boltyanskii VG、Gamkrelidze RV、Mishchenko EF（1962）《优化过程的数学理论》。纽约威利·Zbl 0102.32001号 [70] Rivero Esquivel E，Avila Vales E，García-Almeida G（2016）饱和发病率和饱和治疗的SIR模型的稳定性和分叉分析。数学计算模拟121:109-132·Zbl 1519.92298号 ·doi:10.1016/j.matcom.2015.09.005 [71] Rodrigues HSF（2012）最优控制和数值优化应用于流行病学模型。阿韦罗大学马特马提卡分校博士论文·Zbl 1260.92103号 [72] Rodrigues HS，Monteiro MTT，Torres DFM（2014）登革热疫苗接种模型和最佳控制策略。数学生物科学247:1-12·Zbl 1282.92022 ·doi:10.1016/j.mbs.2013.10.006 [73] Sabchareon A、Wallace D、Sirivichayakul C、Limkittikul K、Chanthavanich P、Suvannadabba S、Jiwariyavej V、Dulyachai W、Pengsaa K、Anh Wartel T、Moureau A、Saville M、Bouckenoohe A、Viviani S、Tornieporth NG、Lang J（2012）重组、减活CYD四价登革热疫苗对泰国学童的保护效力：一项随机研究，对照2b期试验。《柳叶刀》380:1559-1567·doi:10.1016/S0140-6736（12）61428-7 [74] Safan M、Kretzschmar M、Hadeler KP（2013）基于疫苗的SIRS模型再感染控制：特别参考百日咳。数学生物学杂志67:1083-1110·Zbl 1278.92030号 ·doi:10.1007/s00285-012-0582-1 [75] 赛诺菲P（2013）登革热疫苗，全球卫生的优先事项。http://www.sanofibasteur.com/en/Documents/PDF/Dengue_Priority_for_Global_Health_en_2013-09.PDF ·Zbl 1316.92079号 [76] 赛诺菲P（2014）公报：新的《英格兰医学杂志》公布了赛诺菲巴斯德登革热疫苗第三阶段的疗效 [77] Schättler H，Ledzewicz U（2012）《几何最优控制：理论、方法和示例》，第38卷。柏林施普林格科技与商业媒体·Zbl 1276.49002号 [78] Scott TW，Morrison AC（2010），登革热病毒的媒介动力学和传播：对登革热监测和预防战略的影响：媒介动力学和登革热预防。Curr Top微生物免疫学338:115-128 [79] Sharomi O，Podder C，Gumel A，Elbasha E，Watmough J（2007），发病率函数在某些HIV模型中疫苗诱导的后向分叉中的作用。数学生物科学210:436-463·Zbl 1134.92026号 ·doi:10.1016/j.mbs.2007.05.012 [80] Sota T，Mogi M（1992）温带伊蚊滞育卵和非滞育卵的存活时间和抗脱水能力。昆虫学实验应用63:155·doi:10.1111/j.1570-7458.1992.tb01570.x [81] Stuckey EM、Stevenson J、Galactionova K、Baidjoe AY、Bousema T、Odongo W、Kariuki S、Drakeley C、Smith TA、Cox J等人（2014）《肯尼亚西部高地疟疾控制干预措施成本效益建模》。公共图书馆综合频道9（10）：e107700·doi:10.1371/journal.pone.0107700 [82] Stukalin EB，Aifuwa I，Kim JS，Wirtz D，Sun SX（2013）用于理解连续培养细胞中群体波动的年龄依赖性随机模型。J R Soc接口10（85）：20130325·doi:10.1098/rsif.2013.0325 [83] Suaya JA、Shepard DS、Chang MS、Caram M、Hoyer S、Sochait D、Chantha N、Nathan MB（2007）柬埔寨针对登革热媒介埃及伊蚊的年度目标杀幼虫活动的成本效益。Trop Med国际健康12（9）：1026-1036·doi:10.1111/j.1365-3156.2007.01889.x [84] 边缘：登革热疫苗可以保护九岁或九岁以上的人，但会伤害更小的孩子。2015年7月27日。2016年10月21日访问。http://www.theverge.com/2015/7/27/9048425/dengue-vaccine-side-effects-risks儿童 [85] Thonnon J、《明镜周刊》A、《迪亚洛M》、《迪亚洛A》、《丰特妮尔D》（1999），《基孔肯亚病毒流行》1996年和1997年，澳大利亚。公牛Soc致病性外显子92（2）：79-82 [86] Togora M，Kpozèhouen A，Saizonou J，Sossa C，Ouégraogo L，MakoutodéM（2014）事实上，在Zogbodomey Bohicon Zakpota au bénin的卫生区，女性接种了抗tanique疫苗。马里梅德29（3）：40-48 [87] van den Driessche P，Watmough J（2002），疾病传播分区模型的生殖数和亚阈值地方病平衡。数学生物科学180:29-48·Zbl 1015.92036号 ·doi:10.1016/S0025-5564（02）00108-6 [88] Villar L、Dayan GH、Arredondo-García JL、Rivera DM、Cunha R、Deseda C、Reynales H、Costa MS、Morales-Ramrez JO、Carrasquilla G、Rey LC、Dietze R、Luz K、Rivas E、Montoya MCM、Supelano MC、Zambrano B、Langevin E、Boaz M、Tornieporth N、Saville M、Noriega F（2015）四价登革热疫苗在拉丁美洲儿童中的疗效。N Eng J Med医学杂志372（2）：113-123·doi:10.1056/NEJMoa1411037 [89] Wangari IM，Davis S，Stone L（2015），流行病模型中的向后分岔：技术说明。应用数学模型。doi:10.1016/j.apm.2015.07.022·Zbl 1446.92027号 ·doi:10.1016/j.apm.2015.07.022 [90] Wilder-Smith A、Foo W、Earnest A、Sremulanathan S、Paton NI（2004）《新加坡成年人群登革热血清流行病学》。Trop Med国际健康9（2）：305-308·数字对象标识代码：10.1046/j.1365-3156.2003.01177.x [91] 世界卫生组织（2009）登革热和登革热出血热。www.who.int/mediacentre/factsheets/fs117/en [92] 世界卫生组织（2016）登革热疫苗。每周流行病学记录（4月）·Zbl 0286.92005号 [93] 世界卫生组织（2013）《登革热和严重登革热》。www.who.int/mediacentre/factsheets/fs117/en（9月更新） [94] Yaméogo T、Kyelem C、Poda G、SombiéI、Ouédraogo M、Millogo A（2011）《梅宁吉特：布基纳法索地区卫生局的监视与叛变评估》。公牛Soc致病性外显子104（1）：68-73·文件编号：10.1007/s13149-010-0123-3 [95] Yang HM，Ferreira CP（2008）评估媒介控制对登革热传播的影响。应用数学计算198:401-413·Zbl 1133.92015年 [96] Yébakima A、Charles C、Mousson L、Vazeille M、Yp-Tcha MM、Failloux AB（2004）马提尼克岛登革热媒介埃及伊蚊的遗传异质性。Trop Med国际健康9（5）：582-587·doi:10.1111/j.1365-3156.2004.01241.x [97] Yusuf TT，Benyah F（2012）SIR流行病学模型的疫苗接种和治疗的最佳控制。世界J模型模拟8（3）：194-204 [98] Zaman G，Kang YH，Jung IH（2008）SIR流行病模型的稳定性分析和最优接种。生物系统93:240-249·doi:10.1016/j.biosystems.2008.05.004 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。