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杜克，W。;R·豪。;李，J.-S。

估计Siegel模形式的Hecke特征值。 （英语） Zbl 0766.11026号

杜克大学数学。J。 67，第1期，219-240（1992）.
研究尖点形式空间上Hecke算子的特征值是自守形式理论的基本问题之一。算术应用特别感兴趣的是对大\（p\）的Hecke算子\（T（p）\）的这种特征值的估计。在Siegel模形式的情况下，与椭圆模形式相比，对这个问题的了解要少得多，在椭圆模形式中，Deligne对积分权重的Ramanujan-Petersson猜想和半积分权重的Shimura对应的证明给出了最好的可能解。
本文用一种新的方法来解决Siegel尖点形式关于全模群的这一问题，结果表明它比简单的估计给出了更好的结果[W.科恩，Abh.数学。塞明。Hanb大学。57, 33-36 (1986;Zbl 0641.10022号)和R.魏索尔，数学。《年鉴》268，357-377（1984；Zbl 0524.10022号)]（|\lambda_p|\leq p^｛nk/2｝\）（其中\（n\）是Hecke本征形式\（f\）的阶和\（k\）的权重），用于\（T（p）\）下\（f\）的本征值\（\lambda_p\）。事实上，正如作者所指出的，他们的估计比通过估计傅里叶系数（f）可以得到的任何估计都要好。这种新方法的关键步骤是观察到，（p）-adic表示的矩阵系数的可积性可以用来推导Hecke特征值（lambda_p）的估计。
更准确地说，如果对应于\（f）的一个辛群上的自守形式\（\varphi_f）生成不可约表示\（\pi=\otimes\pi_p\），并且如果\（\p_p\）具有\（L^r）矩阵系数，则\（|\lambda_p|<2^np^{nk/2-n（n+1）/2r}\）。然后利用Howe的结果证明了对于具有（n>1）的（GSp_n（mathbb{A}）的任何不可约的尖点自守表示（pi），局部分量具有（L^{6+varepsilon}）矩阵系数，如果（n）是2的幂，则用4代替6。在特殊情况下（n=2），只需查看（GSp_n（mathbb{问}_p）\）由于F.罗迪尔[公牛社会数学，Fr.116，15-42（1988；Zbl 0662.22011号)]; 这给出了（lambdap）。这是最好的指数，因为它是在MaaßSpezialschar中获得的形式。作者指出，他们的方法具有相当大的通用性。特别是对于Hecke群（Gamma0（N））和素数（p）不除（N）的结果似乎是正确的。
审核人：R.Schulze-Pillot（波恩）

引用于1审查
引用于15文件

MSC公司：

11层46层 Siegel模群；Siegel和Hilbert-Siegel模和自守形式
11楼60 Hecke-Petersson算子、微分算子（多变量）
11楼70 表征理论方法；局部域和全局域上的自守表示
22E50型 局部域上Lie和线性代数群的表示

关键词：

Hecke算子的特征值;Siegel模块化形式;Siegel尖角形状;自守表示

引文：

Zbl 0544.10022号;兹伯利0641.10022;Zbl 0524.10022号;Zbl 0662.22011号
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\textit{W.Duke}等人，杜克数学。J.67，第1号，219-240（1992年；Zbl 0766.11026）
全文： 内政部

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