纳迪亚·亨宁格;雷恩斯，E.M。;新泽西州斯隆。 关于生成函数第n根的完整性。 （英语） Zbl 1203.94138号 J.库姆。理论，Ser。A类 113，第8期，1732-1745（2006）. 摘要：由于发现\（E_8\）格的θ级数的第八根和Leech格的θ级数的第二十四根都有整数系数，我们研究了任意元素\（f\in\mathcal R\）（其中\（\mathcal R=1+x\mathbb Z[[x]]\））何时可以写成\（f=g^n\）的问题对于\（g \ in \ mathcal R \），\（n \ geq 2 \）。Let（mathcal P_n:=\{g^n\mid g\in\mathcal R\}）和Let（mu_n:=n\prod_{P|n}P\）。除此之外，我们还证明了（i）对于（f\in\mathcal R\）\（f\in\mathcal P_n\Leftrightarrow f\pmod{\mu_n}\in\mathcal P-n），以及（ii）如果（f\in \mathcall P_n），则存在唯一的系数为mod\（\mu_n/n\）的\。特别是，如果\（f\equiv 1\pmod{\mu_n}\），那么\（f\ In\mathcal P_n\）。后一个断言意味着，如果（n）的形式为（2^i3^j5^k），则（mathbb R^n）（例如，（mathbbR^8）中的（e_8））中任意极值偶幺模格的θ级数为（mathcal P_n）。虽然我们证明了长度为（2^m）的第（r）阶Reed-Muller码的权重枚举数在（mathcal P_{2^r}）中（类似于Barnes-Wall格的θ级数｛BW｝_{2^m}\）位于\（\mathcal P_{2^m}\）中。我们给出了一些其他的结果和猜想，并建立了Paul D.Hanna的一个猜想，即存在唯一的元素（f\in\mathcal P_n）（（n\geq 2）），其系数限制在集合（{1,2，\dots，n\}）内。 引用于1审查引用于8文件 MSC公司： 94B25型 组合码 2015年1月5日 精确枚举问题，生成函数 11层27 Theta系列；Weil表示；θ对应 11小时71分 与编码理论的关系 关键词：形式幂级数;级数的平方根;分数幂;整数序列;θ级数;Barnes–墙格;\（E_8\）格;水蛭格子;重量计数员;BCH代码;Kerdock代码;准备工作代码;Reed–Muller代码 软件：组织环境信息系统;枫树 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Heninger}等人，J.Comb。理论，Ser。A 113，编号8，1732--1745（2006年；Zbl 1203.94138） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 纤维系数。 [8,4,4]汉明码的权重分布。 [8,4,4]汉明码的权重分布。 唯一的26维单模格T_26的Theta级数没有根（和最小范数3）。 Borcherds 27维单模格U_27的Theta级数。 E_6晶格的θ级数。 Eisenstein级数E_4（q）的展开（交替约定E_2（q））；E_8格的θ级数。 12维Coxeter-Todd晶格K_12的Theta系列。 D_4晶格的Theta级数；Eisenstein级数E_{gamma，2}的傅里叶系数。 极小范数为6且det=3^12的极值3-模偶24维格的Theta级数。 14维单模格的Theta级数（E7+E7）+。 15维单模晶格A15+的Theta系列。 Theta系列23维较短水蛭晶格。 维数为32的极偶幺模格的Theta级数。 维数为48的极偶幺模格的Theta级数。 维数为56的极偶幺模格的Theta级数。 {E_6}*格的Theta级数。 [128，99，8]四阶Reed-Muller码RM（4，7）的重量分布。 水蛭晶格的Theta级数。 16维Barnes-Wall格子的Theta系列。 将n写成两个三角形数之和的方法的数量。 五个双重二进制[32,16,8]码（二次剩余、Reed-Muller等）中任意一个码的权重分布。 二进制（16256,6）非线性Nordstrom-Robinson码的权重分布。 [32,21,6]BCH代码的重量分布。 GF（4）上[18,9,8]自对偶码的重量分布。 D_12晶格的Theta级数。 [48,23,8]Rao-Reddy码的重量分布。 a（n）=n*乘积_{素数p|n}p。 之前未出现的最小正整数，使得该序列的自进化立方根完全由整数组成。 幂级数a（x）的整数系数，使得a（x”^3=A083349（x）。 A（x）的最小整数系数，其中1<=A（n）<=5，使得A（x，^（1/5）完全由整数系数组成。 A（x）的最小整数系数，其中1<=A（n）<=6，使得A（x，^（1/6）完全由整数系数组成。 a（x）的整数系数a（n），其中a（n。 A（x）的最小整数系数，其中1<=A（n）<=3，使得A（x，^（1/3）完全由整数系数组成。 A（x）的最小整数系数，其中1<=A（n）<=4，使得A（x）^（1/4）完全由整数系数组成。 G.f.A（x）定义为：A（x”^2完全由1到2之间的整数系数组成（A083952）；A（x）是A（0）=1的唯一幂级数解。 G.f.A（x）定义为：A（x”^3完全由1到3之间的整数系数组成（A083953）；A（x）是A（0）=1的唯一幂级数解。 [16,7,6]扩展BCH代码的重量枚举器。 列表集数量（参见A000262），列表数量为偶数。 带有奇数列表的“列表集”数量（参见A000262）。 McKay-Thompson系列，怪物组2A级。 A084203（A083953的立方根）读取mod 3。 [12,6,6]_3三元扩展Golay码的重量分布。 格{D_12}^{+}的θ级数的第四根（参见A004533）。 构成a（n）的位数之和；a（n+1）是这个和的每个数字都有一个副本的最小未使用整数。 A004046格子θ级数第12根的系数。 Coxeter-Todd晶格K_{12}θ级数第6根的系数（参见A004010）。 四次幂为D_4θ级数的级数系数（参见A004011）。 平方是[8,4,4]汉明码的权重枚举器的级数系数（参见A002337）。 D_4θ级数的平方根系数（见A004011）。 幂级数的展开，其平方是[48,23,8]Rao-Reddy码（A031137）的权重枚举数。 不可被素数>5整除的8的倍数。 （E_8的θ级数）^（1/8）-（Leech晶格的θ系列）^。 A083953读取模块3。 A083350读取模块3。 将构造A_c（如Conway-Sloane的定理26，p.198）应用于GF（4）上的[18,9,8]_4自对偶码S_18，得到36维格的Theta级数。 A109005中θ级数的第18根。 G.f.：[12,6,6]_3三元扩展Golay码的Hamming权枚举器的第四根（参见A105683）。 G.f.：GF（4）上[18,9,8]码的汉明权重枚举数的第18根（参见A014487）。 G.f.：E_6格θ级数的立方根（参见A004007）。 G.f.：E*_6晶格θ级数的立方根（参见A005129）。 G.f.：奎伯曼32维晶格θ级数的第32根（参见A002272）。 G.f.：A004535中晶格θ级数的平方根。 G.f.：A004673中晶格θ级数的第八根。 G.f.：A004672中晶格θ级数的第48根。 G.f.：长度为64的Kerdock代码的权重枚举器的平方根（参见A028238）。 G.f.：长度为256的Kerdock代码重量枚举器的平方根（参见A028240）。 G.f.：长度为64的Preparia代码的第8个重量根枚举器（参见A028239）。 G.f.：长度为256的Preparia代码的第32个重量根枚举器（参见A028241）。 G.f.：[16,7,6]DEC扩展BCH代码重量枚举器的平方根（参见A085517）。 G.f.：[32,21,6]DEC扩展BCH代码的第四个重量根枚举器（参见A010463）。 [32,11,10]扩展BCH代码的权重枚举器。 G.f.：[32，11，10]扩展BCH代码的权重枚举器的平方根（参见A109477）。 [64,51,6]扩展BCH代码的重量枚举器。 G.f.：[64,51,6]扩展BCH代码的第8个重量根枚举器（参见A109479）。 [64,45,8]扩展BCH代码的重量枚举器。 G.f.：[64,45,8]扩展BCH代码的第8个重量根枚举器（参见A109481）。 [64,39,10]扩展BCH代码的重量枚举器。 G.f.：[64，39，10]扩展BCH代码的第4个权根枚举器（参见A109483）。 [64,36,12]扩展BCH代码的重量枚举器。 [64,30,14]扩展BCH代码的重量枚举器。 [64,24,16]扩展BCH代码的重量枚举器。 [64,18,22]扩展二进制基本BCH（或XBCH）码的重量分布。 二进制（16256,6）非线性Nordstrom-Robinson码的权的平方根枚举器。 总面积：平方（1+6*x+x^2）。 {D_8}*格θ级数第八根的展开。 D_8格θ级数第八根的展开。 对于A088313（偏移量为0），G.f.=f（x），其中f（x）^2=o.G.f。 G.f.=GF（4）上[18,9,8]_4自对偶码S_18的汉明权重枚举数的第18根（参见A014487）。 G.f.：艾森斯坦级数E_10的第四根（参见A013974）。 G.f.：[16,5,8]Reed-Muller代码RM（1,4）重量枚举器的平方根。 [32,6,16]Reed-Muller代码RM（1,5）的重量枚举器。 G.f.：[32,6,16]Reed-Muller代码RM（1,5）重量枚举器的平方根。 [64,7,32]Reed-Muller代码RM（1,6）的重量枚举器。 G.f.：[64,7,32]Reed-Muller代码RM（1,6）重量枚举器的平方根。 [128,864]Reed-Muller代码RM（1,7）的权重枚举器。 G.f.：[128,8,64]Reed-Muller代码RM（1,7）重量枚举器的平方根。 [8,7,2]Reed-Muller代码RM（2,3）的重量枚举器。 G.f.：[8,7,2]Reed-Muller代码RM（2,3）的第四个重量根枚举器。 G.f.：[16,11,4]扩展汉明码或Reed-Muller码RM（2,4）的权值枚举器的第四根。 G.f.：[32,16,8]Reed-Muller代码RM（2,5）的第四个重量根枚举器。 G.f.：[64,22,16]Reed-Muller代码RM（2,6）的第四个重量根枚举器。 G.f.：[128,29,32]Reed-Muller代码RM（2,7）的第四个重量根枚举器。 [16,15,2]偶权码（Reed-Muller码RM（3,4））的权枚举器。 G.f.：[16,15,2]Reed-Muller代码RM（3,4）的第8个重量根枚举器。 G.f.：[32,26,4]Reed-Muller代码RM（3,5）的第8个重量根枚举器。 G.f.：[64,42,8]Reed-Muller代码RM（3,6）的第8个重量根枚举器。 [128,64,16]Reed-Muller代码RM（3,7）的重量枚举器。 G.f.：[128,64,16]Reed-Muller代码RM（3,7）的第8个重量根枚举器。 [32,31,2]Reed-Muller代码RM（4,5）的重量枚举器。 G.f.：[32，31，2]里德-穆勒码RM（4，5）的第16个权根枚举器。 G.f.：[64,57,4]Reed-Muller代码RM（4,6）的第16个重量根枚举器。 [64,63,2]Reed-Muller代码RM（5,6）的重量枚举器。 G.f.：[64,63,2]Reed-Muller代码RM（5,6）的第32个重量根枚举器。 设a_0=1，对于n>0，设a_n是序列中没有的最小正整数，使得（a_0+a_1x+a-2x^2+….）^（1/3）具有整数系数。（汉娜的A083349）。设f（n）=当前序列中的第n项。那么a_0+a_1x+a_2 x^2+…=（1-x）^f（1）（1-x^2）^f。。。。 具有两倍最小范数的Barnes-Wall格子BW_{2^n}中的向量数。 Barnes-Wall格子BW_{2^n}中最小范数的两倍除以2^（n+1）的向量数。 12次幂等于E_2*E_4*E_6的级数的系数，其中E_2、E_4、E_6是A006352、A004009、A013973中所示的艾森斯坦级数。 12次幂等于E_2*E_4的级数的系数，其中E_2和E_4是A006352和A004009中显示的Eisenstein级数。 48次幂等于E_2（x）^2/E_4（x）的级数的系数，其中E_2（x）和E_4（x）是Eisenstein级数A006352和A004009。 第72次幂等于E_2（x）^3/E_6（x）的级数的系数，其中E_2（x）和E_6（x）是Eisenstein级数A006352和A013973。 第24次幂等于E_2（x）^5/E_10（x）的级数的系数，其中E_2（x）和E_10（x）是Eisenstein级数A006352和A013974。 第24次幂等于E_2（x）^7/E_14（x）的级数的系数，其中E_2（x）和E_14（x）是Eisenstein级数A006352和A058550。 第24次幂等于E_2（x）*E_4（x）/E_6（x）的级数的系数，其中E_2（x）、E_4（x）和E_6（x）是Eisenstein级数A006352、A004009和A013973。 参考文献： [1] Carmichael，R.D.，关于新数论函数的注释，Bull。阿默尔。数学。学会，16232-238（1909-1910） [2] Cheng，Y。；Sloane，N.J.A.，四元码的自同构群，离散数学。，83, 205-212 (1990) ·Zbl 0704.94020号 [3] 康威，J.H.，《感觉二次型》（1997），数学。美国协会：数学。美国华盛顿特区协会·Zbl 0885.11002号 [4] 康威，J.H。；奥德利兹科，A.M。；Sloane，N.J.A.，极端自对偶格仅存在于1-8、12、14、15、23和24维，Mathematika，25、36-43（1978）·Zbl 0368.10026号 [5] 康威，J.H。；Sloane，N.J.A.，《球形填料、晶格和组》（1998年），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0917.11027号 [6] Elkies，N.D.，《格、线性码和不变量》，通知Amer。数学。《社会学杂志》，第47期，第1238-1245页（2000年）和第1382-1391页·Zbl 0992.11041号 [7] 福特，D。；麦凯，J。；Norton，S.P.，《关于可复制函数的更多信息》，《通信代数》，22，5175-5193（1994）·Zbl 0834.11021号 [8] Gouvía，F.Q.，（p\）-Adic Numbers（1993），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0786.11001号 [9] 哈蒙斯，A.R。；Kumar，私人有限公司。；卡尔德班克，A.R。；斯隆，N.J.A。；Solé，P.，《Kerdock、Preparia、Goethals和相关代码的（Z_4）-线性》，IEEE Trans。通知。理论，40301-319（1994）·Zbl 0811.94039号 [10] P.D.Hanna，[34]中的条目A083349和A083350；P.D.Hanna，[34]中的条目A083349和A083350 [11] P.D.Hanna，条目A083952、A084202、A083953、A084203、A08.3954、A084204、A083 945、A084205、A08 3946、A084 206，……在[34]中；P.D.Hanna，【34】中的条目A083952、A084202、A083953、A084203、A08.3954、A084204、A083 945、A084205、A08 3946、A084206 [12] 哈代，G.H。；Wright，E.M.，《数字理论导论》（1954），牛津大学出版社·Zbl 0058.03301号 [13] V.Jovović，[34]中的条目A088312和A088313；V.Jovović，[34]中的条目A088312和A088313 [14] Kasami，T。；Tokura，N。；Azumi，S.，关于Reed-Muller代码中小于2.5d的重量计数，Inform。控制，30380-395（1976）·Zbl 0324.94003号 [15] van Lint，J.H.，《编码理论》，《数学讲义》。，第201卷（1971），斯普林格·弗拉格·Zbl 0224.94002 [16] van Lint，J.H.，《Kerdock码和Preparia码》，（第十四届东南Conf.组合数学，图论，计算，第十四届西南Conf.结合数学，图说，计算，佛罗里达州博卡拉顿，1983年）。程序。第十四届东南Conf.组合数学，图论，计算。程序。第十四届东南Conf.组合数学，图论，计算，Boca Raton，FL，1983年，Congr。数字。，第39卷（1983）），25-41·兹伯利0549.94027 [17] van Lint，J.H.，《编码理论导论》（1999），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0936.94014号 [18] 麦克威廉姆斯，F.J。；奥德利兹科，A.M。；斯隆，N.J.A。；Ward，H.N.，GF（4）上的自对偶码，J.组合理论。A、 25288-318（1978年）·Zbl 0397.94013号 [19] 麦克威廉姆斯，F.J。；斯隆，N.J.A.，《纠错码理论》（1977年），北荷兰：北荷兰阿姆斯特丹·Zbl 0369.94008号 [20] 马尔洛，C.L。；奥德利兹科，A.M。；斯隆，N.J.A.，模形式、格和码的上界，《代数杂志》，36，68-76（1975）·Zbl 0311.94002号 [21] 麦凯，J。；施特劳斯，H.，《（q）系列畸形的私酒和头部人物的分解》，《通信代数》，第18期，第253-278页（1990年）·Zbl 0709.11034号 [22] Monagan，M.B.，《Maple 9入门编程指南》（2003），滑铁卢枫叶公司：滑铁卢Maple公司，安大略省滑铁卢 [23] Motzkin，T.S.，圆柱体的排序数和其他分类数，（组合数学，组合数学，Proc.Sympos.Pure Math.，vol.19（1971），Amer。数学。Soc.：美国。数学。Soc.Providence，RI），167-176年·Zbl 0253.05008号 [24] G.Nebe，《Endliche Rational Matrixgruppen vom Grad 24》，论文，亚琛RWTH出版社，1995年；G.Nebe，《Endliche Rational Matrixgruppen vom Grad 24》，论文，亚琛RWTH出版社，1995年·Zbl 0837.20057号 [25] Nebe，G.，一些循环四元数格，J.代数，199，472-498（1998）·Zbl 0897.11022号 [26] Nebe，G。；Rains，E.M。；斯隆，N.J.A.，《巴恩斯墙格子的简单构造》（Blahut，R.E.；Koetter，R.，《代码、图形和系统：庆祝G.David Forney，Jr.六十岁生日之际的生活和事业》（2002），克鲁沃：克鲁沃波士顿），333-342·兹比尔1039.94532 [27] Nebe，G。；Rains，E.M。；Sloane，N.J.A.，自对偶码和不变量理论（2006），Springer-Verlag·Zbl 1077.94024号 [28] Quebbemann，H.-G.，欧氏空间中的模格，《数论》，54，190-202（1995）·Zbl 0874.11038号 [29] Rao，V.V。；Reddy，S.M.，A\（（48，31，8）\）线性码，IEEE Trans。通知。理论，19709-711（1973）·Zbl 0266.94013号 [30] Samuel，P.，《关于唯一因子分解域》，伊利诺伊州数学杂志。，5, 1-17 (1961) ·Zbl 0147.29202号 [31] 沙劳，R。；Schulze Pillot，R.，极值格，（Matzat，B.H.；Greuel，G.M.；Hiss，G.，算法代数和数论（1999），Springer Verlag），139-170·Zbl 0944.11012号 [32] Schoeneberg，B.，椭圆模函数（1974），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0285.10016号 [33] Serre，J.-P.，Cours d’arithmeétique（1977），法国新闻大学：法国新闻大学巴黎分校：Springer-Verlag:Presses Universities de France：Presses大学巴黎：Springer Verlag New York·Zbl 0376.12001号 [34] Sloane，N.J.A.，《整数序列在线百科全书》（2006），电子版·Zbl 1274.11001号 [35] 斯隆，N.J.A。；Berlekamp，E.R.，二阶Reed-Muller码的权重枚举器，IEEE Trans。通知。理论，16745-751（1970）·Zbl 0205.20701号 [36] M.Somos，《个人通信》，2005年6月；M.Somos，个人通信，2005年6月 [37] 苏吉诺，M。；耶鲁家永。；托库拉，M。；Kasami，T.，《（128，64）Reed-Muller码的重量分布》，IEEE Trans。通知。理论，17627-628（1971） [38] 苏吉塔，T。；Kasami，T。；Fujiwara，T.，长度为512的三阶Reed-Muller码的重量分布，IEEE Trans。通知。理论，42，1622-1625（1996）·兹伯利0862.94018 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。