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杰里米·查普曼;伯拉克·埃尔多安;Derrick哈特;亚历克斯·约塞维奇;Koh，斗原

固定距离集、（k）-单形、有限域中的Wolff指数和和积估计。 （英语） Zbl 1269.11011号

数学。Z.公司。 271，编号1-2，63-93（2012）.
修复有限字段\（\mathbb{F} （_q）\)具有\（q）元素（不一定是素数），并且具有关联的\（d）维向量空间\（mathbb{F} （_q）^d）。给定一个集合\（E\子集\mathbb{F} （_q）^d），设（Delta（E）={（x_1-y_1）^2+\cdots+（x_d-y_d）^2:x，y\ in E\}\）。Falconer距离问题的有限域模拟要求一个阈值（alpha>0），这样每当（E\subset\mathbb）{F} （_q）^d）满足（|E|\gtrsim q^\alpha\）。
在这个有限域设置中，A.约塞维奇和M.鲁德涅夫【美国数学学会翻译359，第12期，6127–6142（2007年；Zbl 1145.11083号)]证明了\（\alpha\）可以被视为\（\frac{d+1}{2}\），并且D.哈特等，《美国数学学会学报》第363卷第6期，第3255–3275页（2011年；Zbl 1244.11013号)]表明对于奇数维（d），该指数是最可能的。与欧几里德情形类似，在偶数维中，（d/2）是否为真指数仍然没有定论；在这个方向上，本文证明了在二维中，指数可以提高到\（4/3\）。这与T.沃尔夫《国际数学研究》1999年第10期，第547–567（1999）；补遗同上，第88期，第1期，第35–39（2002；Zbl 0930.42006号)]对于欧几里德空间中的类似现象：由Hausdorff维数大于（4/3）的平面子集确定的距离集的Lebesgue测度为正。
固定销\（E\中的y\），定义销接距离集\（\Delta_y（E）=\{（x_1-y_1）^2+\cdots+（x_d-y_d）^2:x\（E\}\）。在欧几里德的背景下，Y.佩雷斯和W.Schlag公司[《杜克数学杂志》102，第2期，193-251（2000年；Zbl 0961.42007号)]证明了对于Hausdorff维数大于\（\frac｛d+1｝｛2｝\）的集合\（E\subet \mathbb｛R｝^n\），\（\Delta_y（E）\）的Lebesgue测度对于E\中的几乎每个pin（y\）都是正的。本文在有限域设置中证明了类似结果。此外，作者还证明了对于钉住的点积集（\Pi_y（E）=\{x\cdoty:x\inE\}\），同样的结果仍然成立。在集合（E）具有笛卡尔积结构的额外假设下，作者将距离积和点积的钉扎阈值改进为（frac{d^2}{2d-1}）。
笛卡尔积的钉住点积结果对和积结果有额外的含义。修复集合\（a\子集\mathbb{F} （_q）\)和一个点{F} （_q）^*\). 本文证明了如果\（|A|\geqq^{frac{d}{2d-1}}\），则存在一个子集\（E'\subset A\times\cdots\times A=A^{d-1}\）与\（|E'|\gtrsim|A|^{d}\）的关系，这样对于E'中的任意\（（A_1，\ldots，A{d}）\\[|a_1A+a_2 a+\cdots+a_{d-1}甲+zA|>\压裂{q}{2}，\]其中，对于每个\（j=1，\ldots，d-1），\（a_jA=\{a_jA:a\ in a\}\）。
最后，本文改进了Falconer距离问题的一个推广的已知结果：确定最小值（alpha>0），使得每当（|E|\gtrsim q^\alpha）时，（E）都包含一个正比例的单形的同余副本。作者用傅里叶分析方法证明了α可以取为（frac{d+k}{2}），这改进了已知的（k>3）结果。
审核人：莉莲·比阿特丽克斯·皮尔斯（波恩）

引用于三评论
引用于63文件

MSC公司：

11B30型 算术组合学；更高程度的均匀性
11层30 有限域和交换环的结构理论（数论方面）
11T23号 指数和
52立方厘米10 离散几何的Erdős问题及相关主题
52 C35号 点、平面、超平面的排列（离散几何的方面）

关键词：

猎鹰距离问题;固定距离集;汇总产品

引文：

Zbl 1145.11083号;Zbl 1244.11013号;Zbl 0930.42006号;Zbl 0961.42007号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Chapman}等人，《数学》。Z.271，编号1--2，63-93（2012；Zbl 1269.11011）
全文： 内政部 arXiv公司

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