G.H.哈代。;利特伍德，J.E。 “部分数字”的几个问题。一： Waring问题的新解决方案。 （英语） JFM 47.0114.02标准 哥特。纳克里斯。 1920, 33-54 (1920). 阿尔贝特·斯基泽尔特·德兹韦滕·奥斯格夫·赫滕·贝韦斯·德沃林·希尔贝岑·萨茨（Hilbertschen Satzes）（Die erste Arbeit skiziert den in der zweiten ausgeführten Beweis des Waring）[希耳伯特，数学。Ann.67，281-300（1909年；JFM 40.0236.03号文件)]und des viel weitergehenden neuen Satzes:Zu jedem（k>2）gibt es ein（s_0（k），）so daßfür jedes\（s\geq s_0，\）\[f（x）=1+2\sum_{h=1}^\infty x^{h^k}，\；（f（x））^s=sum_{n=0}^infty r（n）x^n（r（n）=r_{k，s}（n））\]gesetzt，\[0<\lim_{\overline{n=\infty}}\frac{r（n）}{n^{\frac-sk-1}}\leq\overline{\lim{n=\finty}}\frac{r（n）}{n ^{\frac-sk-1}}\]ist（d.h.\（r（n）\）genau von der Grßenordnung\（n^｛\frac sk-1｝\））。Noch schärfer公司：\[r（n）=\frac{left（2\Gamma\ left（1+\frac 1k\ right）\right）^s}{\Gamma\left（\frac sk\right，\]我死了“singuläre Reihe”\[S=\sum_{p，q}\左（\frac{S_{p，q}}q\右）^se^{-\frac{2\pi-inp}{q}}，\；S_{p，q}=\sum_{h=1}^qe^{\frac{2\piip}{q} 小时^k} ，\]über \（0\leq p<q，（p，q）=1\）erstreckt，bei jedem \（delta>0\）für \（s\geqq s_1（k，delta）\）absolut konvergiert und zwischen\（1-\delta\）und\（1+\delta）liegt。Eine ausführlichere Analyse des Beweisganges gab Ref in einem Vortrag auf der Jenaer Mathematikerversammlung 1921，der in Deutsche Math-Ver.erscheinen wird版本。Hier sei nur erwähnt：死亡版本\[r（n）=\frac{1}{2\pii}\int\frac{（f（x））^s}{x^{n+1}}\，dx\qquad\left（n\geq 2，\；x=left（1-\tfrac1n\right）e^{psi}，\；0\leq\psi\leqq 2\pi\right）\]aus，zerschneiden den Weg unter Benutzung einer Fareyreihe in endlich viele Teilbogen und schätzen（f（x））auf ihnen unter Benutizung Weylscher Gedanken ab[H.韦尔，哥特。纳克里斯。1914, 234–244 (1914;JFM 45.0325.01型)].分析中的neue Methode markiert eine neue Epoche和Reihe der gröten Arithmetiker aller Zeiten中的stell Die Verf。审核人：Landau，教授（哥廷根） 引用于三评论 MSC公司： 11第05页 Waring的问题和变体 第55页 Hardy-Littlewood方法的应用 JFM部分：茨威特·阿布什尼特。算术与代数。卡皮特尔5。Gruppenthorie，《Körper和模的抽象理论》。Gruppenthorie.Systeme hyperkomplexer Größen。 关键词：Waring问题;奇异级数;次要圆弧;主弧;法利级数 引文：JFM 40.0236.03号文件;JFM 45.0325.01型 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛G.H.Hardy｝和\textit｛J.E.Littlewood｝，Nachr。盖斯。威斯。哥廷根，数学-物理学。Kl.1920，33-54（1920；JFM 47.0114.02） 全文： 欧洲DML