丹尼尔·迪·贝内代托;穆巴里兹·加雷夫。;维克托·加西亚。;Gonzalez-Sanchez，迭戈;伊戈尔·E·什帕林斯基。;卡洛斯·特鲁希略。 素数域中乘法子群和区间上指数和的新估计。 （英语） Zbl 1467.11077号 J.数论 215, 261-274 (2020). 有限域上的指数和一直是解析数论中的热门研究课题。这种和的估计几乎总是与某些同余丢番图系统的解有关。在本文中，作者建立了总和的新上界{S} _（a）（H） ：=\sum_{x\in\mathcal{H}}e_p（ax）\]其中，\（p\）是一个大素数，\（a\）是固定整数，如\（a，p）=1\，\（e_p（t）：=e^{2\piit/p}\），和往常一样，\（\mathcal{H}\）是\（mathbb）的乘法子群{F} _磅^*\)订单\（H\）。自高斯以来，人们早就知道{S} _（a）\左（\frac{p-1}{2}\右）\右|=p^{1/2}\）。使用形状\（x中的sum_{x\，y中的sum _{y\，z中的sum-{z\，alpha_x\beta_y\gamma_ze_p（xyz）\）的三线性指数和的显式估计，其中\（x，y，z）是\（mathbb）的子组{F} _磅^*\)和（alpha_x），（beta_y）和（gamma_z）是模的任意compex数（leqsleat1），以及同余[h1+dotsb+H.m\equivh{m+1}+dotsb+H{2m}\pmodp\]解的个数（T_m（H）的新界，作者改进了先前的结果J.布尔甘和M.Z.加雷夫【《数学程序》（Math.Proc.Camb.Philos.Soc.146，No.1，1-21）（2009年；兹伯利1194.11086)]通过显示，对于所有\（\varepsilon>0\）\[max{（a，p）=1}\left|\mathcal{S} _（a）（H） 右|\ll_\varepsilon H^{\frac{2689}{2880}}p^{\frac{1}{72}+\varepsilon}提供了（p^{1/4}<H<p^{1/2}）。特别是，这会产生\[max_{（a，p）=1}\left|\mathcal{S} _（a）（H） 所有（H>p^{1/4}）的\right|\ll_\varepsilon H^{1-\frac{31}{2880}+\varepsilon}\]，与Bourgain和Garaev给出的界限相比，节省了略多于\（1\）%。作者接下来证明了和\[\mathcal的两个结果{S} _（a）（N，H）：=sum_{L<N\leqsleat L+N}\left|\sum_{x\in\mathcal{H}}e_p（anx）\right|]对于某个大整数\（N\leqslated p\），假设区间\（[L+1，L+N]\）避免\（0\pmodp\）并特别暗示，对于所有\（（a，p）=1\）和所有\（varepsilon>0\）\[mathcal{S} a（_a）（p^{1/3+\varepsilon}，p^{1/3+\varepsilon}）在子群的情况下改进了[M.Z.加雷夫，J.数论199，377–388（2019；Zbl 1458.11128号)].审核人：奥利维耶·博代尔（艾吉利赫） 引用于2文件 理学硕士： 11升07 指数和的估计 11T23号 指数和 关键词：指数和;子组;间隔;三线性和 引文：Zbl 1194.11086号;Zbl 1458.11128号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Di Benedetto}等人，J.数论215，261--274（2020；Zbl 1467.11077） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Banks，W.D。；Shparlinski，I.E.，《区间与任意集的同余》，Arch。数学。（2020），出版中·Zbl 1483.11260号 [2] Bougain，J.，关于小乘法子群的剩余分布{F} _磅\)，以色列。数学杂志。，172, 61-74 (2009) ·Zbl 1197.11015号 [3] Bourgain，J。；Garaev，M.Z.，关于素数域中的和积估计变量和显式指数和界，数学。程序。外倾角。菲洛斯。《社会学杂志》，146，1-21（2009）·Zbl 1194.11086号 [4] Bourgain，J。；Glibichuk，A.A。；Konyagin，S.V.，素数阶域中和和和乘积的数量以及指数和的估计，J.Lond。数学。《社会学杂志》，73，380-398（2006）·Zbl 1093.11057号 [5] 齐卢埃洛，J。；Garaev，M.Z.，涉及区间乘积和集与素数乘法加倍模的同余及其应用，数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.，160，477-494（2016）·Zbl 1371.11003号 [6] Garaev，M.Z.，模素数的区间和指数函数的双指数和和同余，《数论》，199，377-388（2019）·Zbl 1458.11128号 [7] Heath-Brown，D.R。；Konyagin，S.V.，从k次幂导出的高斯和的新界，以及Heilbronn指数和的新边界，Q.J.Math。，51, 221-235 (2000) ·Zbl 0983.11052号 [8] Konyagin，S.V.，子群和高斯和上指数和的界，（Proc 4th Intern.Conf.Modern Problems of Number Theory and Its Applications（2002），莫斯科罗蒙诺索夫州立大学：莫斯科罗蒙诺索夫州立大学），86-114，（俄语）·Zbl 1123.11027号 [9] Macourt，S.，三线性和四线性指数和的关联结果和界，SIAM J.离散数学。，32, 815-825 (2018) ·Zbl 1430.11109号 [10] B.墨菲。；Rudnev，M。；谢克里多夫，I。；Shteinikov，Y.，关于少数产品、多和问题，预印·Zbl 1454.11025号 [11] Petridis，G。；Shparlinski，I.E.，三线性和四线性指数和的界限，J.Ana。数学。，138, 613-641 (2019) ·Zbl 1454.11151号 [12] Shkredov，I.D.，关于一些和积问题中的渐近公式，Trans。莫斯克。数学。Soc.，79，231-281（2018）·Zbl 1473.11034号 [13] Shparlinski，I.E.，高斯和估计，数学。注释，50，1-2，740-746（1991）·Zbl 0805.11084号 [14] 什帕林斯基，I.E。；Yau，K.H.，带指数函数的双指数和，国际数论，12，10，2531-2543（2017）·Zbl 1428.11143号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。它的项目与zbMATH标识符启发式匹配，并且可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。