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列奥纳多·科尔扎尼;贾科莫·吉甘特;萨拉·沃尔皮

Sobolev空间中Sturm-Liouville展开的等收敛定理和Bochner-Riesz平均的发散集。 （英语） Zbl 1317.43003号

J.傅立叶分析。申请。 19，第6期，1184-1206（2013）.
Sturm Liouville操作符是通过设置所有\（x\ in（0，\，\infty）\），\[\mathcal{L}:=-[A（x）]^{-1}\frac{d}{dx}\left（A（x）\frac}{dx}\right）。\]在该定义中，作者假设（A）满足以下条件：
（i） \（A\）在\（\mathbb）上连续{右}_+：=[0，\，\infty）\），正非递减且在\（（0，\，\ infty。
（ii）\（A'/A\）在\（（0，\，\ infty）\）上递减，并且存在一个常数\（\alpha>-1/2\）和一个光滑奇函数\（B\），因此，对于所有\（x\ in（0，，\ inffy）\，\[\压裂{A'（x）}{A（x）{=\压裂{2\alpha+1}{x}+B（x）。\]
设\（\varphi_t（x）\）是\（\mathcal{L}\）的本征函数，其中\（t\in\mathbb{C}\）和\（x\in\mathbb{右}_+\). 设（2\rho:=\lim_{x\to\infty}A'（x）/A（x）\）。对于任何\（x\in（0，\，\infty）\），设\[q（x）：=\frac｛1｝｛2｝\frac｛d｝｛dx｝\left（\frac｛A'（x）｝｛A（x）｝\right）+\frac｛1｝｛4｝\left（\frac｛A'（x）｝｛A（x）｝\right）^2-\rho^2。\]
（iii）存在一个正常数\（a）和一个定义在\（0，\，\ infty）\上的函数\（\ zeta，\[q（x）=\压裂{a^2-1/4}{x^2}+\泽塔（x），\]如果（a=0\），则使用\（int_1^\infty|\zeta（x）|x\log（x）\，dx<\infty），如果（a>0\）则使用\。
（iv）如果\（-1/2<b<0\），则\（\int_1^\infty|\zeta（x）|x^{2|b|+1}\，dx<\infty）。如果\（b=0\）和\（\sqrt{A（x）}\varphi_0（x）\近似cx^{1/2}\）为\（x\to\infty\），则\。
对于任何测试函数\（f\）和\（beta，\，R，\，x\in\mathbb{右}_+\)，Sturm-Liouville展开的Bochner-Riesz平均值定义为\[W_R^\βf（x）：=\int_0^R\left[1-（t/R）^2\right]^\β\mathcal{F} （F）（t） \varphi_t（x）\frac{dt}{2\pi|c（t）|^2}，\]其中\（\mathcal{F} （F）（t） ：=\int_0^\infty f（y）\varphi_t（y）A（y）\，dy\）和\（c（t）\）表示Harish-Chandra函数。定义
\[T_R^\beta f（x）：=\int_0^\infty\left[（2/\pi）\chi（y）\int_0 ^R\left[1-（T/R）^2\right]^\beta\cos（tx）\cos（ty）\，dt\right]f（y）\，dy，\]其中，\（\chi\）是\（0<\varepsilon<\eta<\infty）上的平滑截止函数，其中\（\ch（x）=1\）if\（\varepsilon/2<x<2\eta\）和\（\ chi（x）=0\）if（x<\varesilon/3\）或\（x>3\eta\。
作者主要证明了，如果（A）满足上述条件（i）到（iv），其中\（alpha>-1/2），\（beta\geq0）和\（lambda:=min\{alpha+1/2，\，beta\}），并且如果\[\int_0^\infty|f（y）|\frac{\sqrt{A（x）}x^\lambda}{（1+x）^{\lambda+\beta+1}}\，dx<\infty，\]然后，对于\（0<\varepsilon<x<\eta<\infty \），\[\lim_{R\to\infty}\sup_{\varepsilon<x<\eta}\left\{\left|W_R^\beta f（x）-T_R^\beta f（x）\right|\right\}=0。\]作为应用，作者还证明了，如果（p\in[1，\，\infty）\），\（beta，\，\ gamma\in\mathbb{右}_+\)，如果以下情况之一成立：
（一）
\（ρ=0）和（压裂{2b-2\β+1}{4b+4}<压裂{1}{p}<压裂{2\α+2\β+2\γ+3}{4\α+4}），
（二）
\（\rho>0\）和\（\压裂{1}{2}\leq\压裂{1'{p}<\压裂{2\alpha+2\beta+2\gamma+3}{4\alpha+4}\），
●
{}那么，对于任何带有（g\inL^p（\mathbb）的\（f=（I+\mathcal{L}）^{-\gamma/2}g\）{右}_+，\，A（x）dx）\），其中一个具有：
（A）
如果\（0\leq\gamma\leq1/p\），\（W_R^\beta-f\）的散度集至多具有Hausdorff维数\（1-\gamma-p\）。
（B）
如果\（1/p<\gamma\leq（2\alpha+2）/p\），散度集为空或减少到原点。
（C）
如果\（\gamma>（2\alpha+2）/p\）和如果\（1\leq p\leq 2），则收敛在任何地方都成立。
审核人：杨大春（北京）

引用于2文件

MSC公司：

43页A55 群、半群等的可和性方法。
42B08型 几个变量的可加性
43A62型 超群的调和分析
46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理

关键词：

等收敛;Sturm Liouville扩建;Bochner—Riesz平均值;Hausdorff维数
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\textit{L.Colzani}等人，J.Fourier Ana。申请。19，第6号，1184--1206（2013；Zbl 1317.43003）
全文： 内政部 链接

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