詹斯·弗莱明 变分源条件，二次反问题，稀疏促进正则化。现代反问题理论的新成果及其在激光光学中的应用。 （英语） Zbl 1530.65007号 数学前沿查姆：Birkhä用户（ISBN 978-3-319-95263-5/pbk；978-3-3169-95264-2/电子书）。xi，182页。（2018）。 每当人们寻找观察到的现象的原因时，就会出现相反的问题。从数学上讲，这通常可以表示为希尔伯特或巴拿赫空间之间的算子方程：\[F（x）=y^\匕首，\]其中运算符\（F:X\到Y\）是正向映射，\（Y^\dagger\）是精确数据。实际上，精确的数据（y^\dagger）通常是不可用的，并且只能使用有噪声的数据（y ^\delta）\[\|y^\delta-y^\dagger\|\leq\delta，\]其中\（\delta\）为噪声级。这包括大量实际的反问题，例如图像去模糊和医学成像。一般来说，反问题的特征是不适定性，即一个解可能不存在且是唯一的，即使它确实存在，也可能不连续地依赖于对数据的扰动。因此，反问题的数值求解具有挑战性，需要专门的技术。本书致力于Tikhonov正则化的理论方面，这是解决反问题的最强大和最成功的技术之一。已经有几本专著致力于这个主题，这本书通过总结最近的发展来补充现有的专著。这本书由三部分、十一章（以及两个附录）组成。第一部分（第1-3章）的重点是推导正则解的误差估计的变分源条件。它以一个非常好的介绍性章节开始，介绍了关于疾病程度的各种概念，包括哈达玛和纳希德的全球定义，霍夫曼和伊万诺夫的局部定义，以及它们之间的相互关系。然后介绍了Tikhonov正则化和变分源条件。给出了VSC下误差估计的推导过程，讨论了VSC的存在性，并分别在Hilbert和Banach空间设置中进行了专门讨论。书的第二部分讨论了二次逆问题（QIP），这是一类特殊的非线性逆问题。如果存在一个连续双线性映射（B:X\乘以X\到Y\），使得（F（X）=B（X，X））对（X\）中的所有（X\）都成立，则映射（F\）称为二次映射。一般来说，非线性反问题中Tikhonov正则化的数学理论远不如线性反问题的数学理论发达。本部分利用QIP的特殊结构开发了理论结果和算法。这类反问题有许多实际应用，例如，自卷积（在激光光学中）和纹影层析成像。特定的双线性结构允许人们证明某些精细的属性，例如局部v.s.全局不适定性和序列弱到弱连续性（参见第4-5章）。该结构还允许将问题分解为一个不适定的线性逆问题和一个适定的二次问题，这允许通过分解使用正则化方法。第6章分析了分解方法，并给出了大量的数值实验。第二部分的最后一章，即第7章，讨论了在适当的稀疏性假设下QIP的VSC。这本书的第三部分着重于稀疏性促进正则化。稀疏正则化是实践中最有用的技术之一，在过去的十年中得到了深入的研究。令人惊讶的是，仍然有许多问题没有得到回答，这些问题列在简短的介绍性章节，即第8章中，并构成了本部分讨论的主要重点。首先，第9章描述了稀疏性促进正则化技术的基本思想，即正则化和替代技术。分析是在算子（A）或更弱的弱（ast）到弱连续性下进行的。然后，第10章讨论了线性算子方程在\（\ell^1\）设置下的病态性，并证明了在该设置下，所有线性方程在Nashed意义下都是病态的。最后一章，即第11章，讨论了线性算子方程在各种VSC下正则解的收敛速度，即精确解与正则解之间的距离。本章讨论了经典技术和VSC在不同假设下相对于规范基的缺点。这本书很好地总结了Tikhonov正则化在不适定和反问题的以下三个主题上的许多有趣的最新结果：不适定度、二次反问题和稀疏正则化。在过去几年中，研究结果主要是由作者及其合作者开发的。特别值得注意的是，这本书不仅统一了文献中分散的相关结果，还包含了各种有趣的改进和完善。它的写作风格非常清晰，材料组织得很好，有一个广泛的参考书目，对最相关的文献进行了有用的评论。因此，它是对不适定和反问题现代标准参考文献的一个非常受欢迎的补充。审核人：Bangti Jin（伦敦） 引用于6文件 MSC公司： 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 65J22型 抽象空间反问题的数值解法 47-02 与算子理论相关的研究综述（专著、调查文章） 关键词：正则化理论;变源条件;收敛速度;二次反问题;疾病程度 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Flemming}，变分源条件，二次反问题，稀疏性促进正则化。现代反问题理论的新成果及其在激光光学中的应用。查姆：Birkhäuser（2018；Zbl 1530.65007） 全文： 内政部