Aspinwall，S.公司。;汤姆，布里奇兰;克拉夫，阿拉斯泰尔;迈克尔·R·道格拉斯。;总量，马克;安东·卡普斯丁;格雷戈里·摩尔（Gregory W.Moore）。;格雷姆·西格尔;Szendrői、Balázs;P.M.H.威尔逊。 Dirichlet膜和镜像对称。 （英语） Zbl 1188.14026号 克莱数学专著4.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）；马萨诸塞州剑桥：克莱数学研究所（ISBN 978-0-8218-3848-8/hbk）。九、681页。（2009年）。 正在审查的这本书源于英国剑桥克莱数学研究所于2002年春季组织的第二所镜像对称学校。它可以被视为镜像对称的续集[克莱数学专著1。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2003；Zbl 1044.14018号)]这本书讲述了2000年第一所学校的情况，尽管作者名单之间没有交集。主要区别包括更窄的关注范围和有意识地努力整合数学和物理观点。这使得呈现更加统一，有助于弥合学科的数学语言和物理语言之间的差距。正如标题所示，这本书受到了20世纪90年代第二次超弦革命的强烈影响，其重点是膜和开放弦。这本书在一定程度上依赖于《镜像对称》的基础材料，但第1-3章重新回顾了本书关注的特定部分。2002-2007年的新发展也得到了很好的参考，并在合理的程度上被纳入其中。这本书将对希望研究镜像对称性的物理和数学研究生和年轻研究人员有用；它还将作为百科全书和词典为该领域的专家服务。虽然对更一般的框架进行了简要的概述，但本书（与大多数过去和当前的工作一样）侧重于拓扑弦理论背景下的镜像对称。在这种情况下，镜像对称是指两种弦理论IIA和IIB之间的对偶性，它们在Calabi-Yau上有三种几何定义。IIA型理论仅依赖于三重体的Kähler模量，而IIB型理论仅取决于其复杂结构。对于闭字符串，IIA理论可以用代数几何的枚举不变量和Gromov-Writed不变量来解释。IIB理论中的计算（如求解Picard-Fuchs方程）可以经典地执行，并对这些不变量进行对偶预测。这解释了镜子对称性对代数几何的深刻影响。Dirichlet Branes和Mirror Symmetry超越了这种关系，进入了开放弦的领域。它们的末端需要指定边界条件，这些边界条件的几何表现是标题中的Dirichlet膜或D膜（brane是膜的缩写）。在拓扑弦理论中，它们可以用带有向量丛的子流形及其上的连接来粗略地识别。这本书进一步将其缩小到BPS膜（以Bogomol'nyi和Prasad-Sommerfield命名），它们保持了超对称性。除其他外，必须校准BPS膜子流形，例如，IIA型中的特殊拉格朗日流形，或IIB型中的全纯流形。本书的镜像对称方法是比较双流形中的D膜，而不是直接处理开放弦。为此，本文研究了两个主要框架：康采维奇的同调镜像对称猜想和斯特罗明格·尤·扎斯洛的SYZ猜想。这本书的内容组织如下。第一章是对弦论的物理直觉及其部分数学对应物的清晰介绍。它还提供了其他章节的鸟瞰图，为本书提供了一个入口。第二章介绍了二维拓扑场理论中最简单的D-膜。利用缝纫关系，二维闭串可以编码成交换Frobenius代数，D-膜对应于其上的模。这建立了D-膜与K-理论之间的一般关系的一个实例。第3章概述了超信息场论的相关元素，包括拓扑模型和BPS膜的几何定义。第四章、第五章和第八章讲述了同源镜像对称的故事。在这种相当抽象的方法中，膜被形式化为相干带轮及其复合体。在介绍连贯滑轮的派生类别之前，第4章简要回顾了所涉及的分类语言。然后讨论Fourier-Mukai变换及其在研究（mathbb{P}^n）（Beilinson技巧）上的导出范畴中的应用，以及全纯群商与表示理论之间的McKay对应。第5章探讨了BPS B膜的更多技术方面，例如它们需要具备的稳定性条件，以承载另一种超对称产品Hermitian Yang-Mills连接。这最终导致了Aspinwall-Douglas和Bridgeland的Pi-stability概念。讨论的动机是物理世界体积的考虑以及与乔伊斯的A膜稳定性的比较。虽然第4章和第5章的重点是B膜，但第8章的重点则是A膜和Fukaya类别。与相干带的导出范畴不同，Fukaya范畴并不是一个真正的范畴，因为态射的构成只是“直到同伦”的结合。因此，本章首先介绍取代结合性的（A_\infty）结构。相反，Fukaya范畴是三角的，对于派生范畴来说，这一点并不明显。在解决了这些复杂问题之后，给出了同调镜像对称猜想的精确数学表述，并给出了椭圆曲线的证明。第6章和第7章讨论的SYZ猜想比同调镜像对称更符合几何直觉。典型的例子是T-对偶，它将圆环上的弦理论与互逆度量联系起来。第六章首先描述了麦克莱恩的特殊拉格朗日模理论，然后从每个纤维上具有平坦度量的复曲面纤维的镜像对称性入手。继希钦之后，接下来探索了基于纤维化的仿射Kähler结构，建立了与同源镜像对称的联系。本章最后给出了一些紧三重形的纯拓扑复曲面的构造，如（mathbb{P}^4）中的五次型。第7章是本书中唯一一章，以调查的方式处理度量问题。它首先调查Ricci-flat度量的非紧致示例，然后是Joyce导致的特殊拉格朗日腓骨的“病理”示例。这些导致了对原始SYZ猜想的怀疑，并被一个支持Calabi-Yau简并的大型复杂结构极限的版本所取代。审核人：Sergiy Koshkin（休斯顿） 引用于73文件 MSC公司： 第14页第32页 Calabi-Yau流形（代数几何方面） 14-02 与代数几何有关的研究论述（专著、综述文章） 81T30型 弦和超弦理论；量子场论中的其他扩展对象（例如膜） 35年第32季度 Calabi-Yau理论（络合物分析方面） 18E30型 衍生类别、三角类别（MSC2010） 32G81型 分析结构变形在科学中的应用 83E30个 引力理论中的弦理论和超弦理论 第81页第45页 量子力学中的拓扑场理论 第81页第40页 量子力学中的二维场论、共形场论等 81T75型 量子场论中的非对易几何方法 关键词：镜像对称性;卡拉比-丘;D膜;空弦;拓扑弦理论;质量功能测试;CFT公司;超对称性;BPS膜;相干滑轮;派生类别;稳定结构;Fukaya范畴;特殊拉格朗日函数;SYZ猜想 引文：Zbl 1044.14018号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Aspinwall}等人，Dirichlet膜和镜像对称。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）；马萨诸塞州剑桥：克莱数学研究所（2009；Zbl 1188.14026）