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阿纳马利亚卡斯特雷夫特

指数1的Fano变种的例子不是严格的。 （英语） Zbl 1130.14015号

程序。美国数学。Soc公司。 135，编号123783-3788（2007）.
由正维Fano簇构成的轻度奇异Fano代数簇，如果其相对Picard数为1，则称为Mori fibred空间。特别是，Picard秩1的轻度奇异Fano变种是Mori fibred空间（在一点上fibred）。
在许多情况下，Mori fibred空间并不是双民族意义上的独特属性。例如，射影空间可以双向变换为许多不同的Mori fibred空间。然而，已知一些Mori fibred空间在其双有理类中是唯一的。这种莫里纤维空间被称为是双刚性的。
特别是，Picard秩1的轻度奇异Fano变种（X）如果对以下变种都不是双有理的，则是双有理刚性的：任何Mori fibred space（tau\colon Y\ to Z\），使得（Z\）不是点；Picard秩1的任何Fano变种\（V\）具有终端\（mathbb{Q}\）奇点，奇点与\（X\）不同构。
如果一个双理性刚性的Fano变种不具有非双正则双理性自同构，则称其为双理性超刚性。注意，双有理刚性Fano变种是非有理的，对于圆锥束来说不是双有理的。特别是，代数闭域上的双数刚性概念仅在3维及更高维上才有意义。
Fano簇的双数刚性（或双数超刚性）的概念可以根据该簇上线性系统的奇点重新表述。这就是所谓的Noether–Fano不等式。
在许多情况下，证明给定的Fano变种是非理性的唯一已知方法是证明它是双基刚性的或双基超刚性的。
有许多已知的双刚性Fano品种的例子。然而，所有这些例子都是超曲面或加权射影空间中的完全交集，它们具有相对较小的反正则度和相对温和的奇异性。此外，Fano指数（2）或更高的平滑Fano变种通常不是双刚性的。另一方面，在相当长的一段时间内，没有已知的具有Picard秩1和Fano指数1的维度为4或更高的平滑Fano变种的例子，这些变种不是双刚性的（可能是由于缺乏Picard阶1和Fano指数1的平滑Fano变种的许多例子）。
最近，Pukhlikov提出了一个猜想，即Picard秩1和Fano指数1的每个光滑Fano变种，如果其维数至少为4，则都是双刚性的（如果其维数最少为5，则是双超刚性的）。正在审查的论文从5开始在每个维度上构造了这个猜想的反例。
设（M）是亏格曲线上具有奇次固定行列式的稳定秩2向量丛的模空间。那么，（M）是维（3g-3）的一个光滑投影变种。此外，（M）的Picard群由一个足够的除数（D）生成，使得（-K_{M}\sim 2D）。设（U）是线性系统（|D|\）中的一般除数。那么，已知\（D\）是光滑的。因此，根据附加公式和Lefschetz定理，（D）是Picard秩1和Fano指数1的光滑Fano簇。（D\）的维数为（3g-4\geqsland 5\）。另一方面，本文表明，对于度为（2g-1）的不可约超曲面，（D）是双有理的。后者立即意味着（D）不是双刚性的。因此，普赫利科夫的猜想并不成立。
审核人：伊万·切利索夫（爱丁堡）

引用于4文件

MSC公司：

14E07号 双有理自同构、克雷莫纳群和推广
14小时60分 曲线上的向量丛及其模
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\textit{A.-M.Castravet}，程序。美国数学。Soc.135，No.12，3783--3788（2007；Zbl 1130.14015）
全文： DOI程序 arXiv公司

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