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B.V.Rajarama，巴特;奥雅纳Chattopadhyay;G.桑卡拉·拉朱·科苏鲁

关于子矩阵化和特征值不等式。 （英语） Zbl 1331.15010号

线性多线性代数 63，第11号，2245-2253（2015）.
设\（\alpha=（\alpha_1，\alpha_2，\dots，\alpha_n）\in\mathbb｛R｝^n\）。向量\（\alpha^{\downarrow}=（\alfa_1^{\downarrow}，\alpha_2^{\DOwnarrows}，\点，\alfa^{\dawnarrows}）\）通过按降序重新排列\（\alpha\）的坐标来获得。对于\（\alpha，\beta\in\mathbb{R}^n），我们说\（\alpha\[\sum_{i=1}^k\alpha_i^{\downarrow}\leq\sum_{i=1}^k\ beta_i^}\]保留任何\（1\leq k\leq n \）。在这种情况下，我们编写\（\alpha\prec_w\beta\），它也被称为弱控制。对于\（k\in\mathbb｛R｝\），\（k\）的正负部分定义为\[k^+=\begin{cases}k&\text{if}k\geq0，\\0&\text}otherwise；}\end{casesneneneep\]
\[k^-=\begin{cases}k&\text{if}k\leq0，\\0&\text}otherwise}。\结束{cases}\]我们为\mathbb{R}^n中的\（\ alpha=（\ alfa_1^+，\ alpha_2^+，\dots，\alpha_n^+）\）和\（\ alpha^-=（\alpha_1^-，\alfa_2^-，\ dots，\ alfa_n^-）\）定义\（\α^+=（\α_1^+、\α_2^+、\dots、\ alpha_n）。我们用\（A\circ B\）表示Schur乘积（或Hadamard乘积），即M_n（\mathbb{C}）中\（A，B\）的入口乘积。对于M_n（mathbb{C}）中的自共轭矩阵，我们用（lambda（a））表示由（a）的特征值按降序组成的向量。作者证明了以下概括R.B.巴帕特和V.S.Sunder公司的定理[线性代数应用72，107–117（1985；Zbl 0577.15016号)]:
设（φ）是具有Choi-Kraus分解（φ（a）=sum{k=1}^mD_kAD_k^*）的（M_n（\mathbb{R}）上的完全正映射。设\（delta=\delta^{\downarrow}\ in \mathbb{R}^n\），这样\（lambda（\phi（I））\prec_w\delta\）和\（lampda（\pi^*（I），\precw\delta）。如果M_n（\mathbb{C}）中的\（A\）是自共轭的，那么
(1)
\（\lambda^+（\phi（A））\prec_w\lambda ^+（A）\circ\delta\）和
(2)
\（\lambda^-（\phi（A））\prec_w\lambda ^-（A）\circ\delta^{\uparrow}。）
对于M_n（mathbb{C}）中的半正定矩阵（A，B），已知\[\λ{\最小}（A）\cdot\lambda{\最小{（B）\leq\lambda{\最小（A\circ B）\leq\lampda{\最大}。\]作者利用前面的子joralization定理证明了以下特征值不等式：设M_n（mathbb{C}）中的（A，B）是自共轭的。
(1)
如果\（B\）是正半定的，而\（A\）不是正半定，则\[\lambda_{\min}（A\circ B）\geq\lambda_{\minneneneep（A）\cdot\lambda{\max}（B）。\]
(2)
如果\（B\）是正半定的，而\（-A\）不是正半定，则\[\λ_｛\max｝（A\大约B）\leq\lambda_｛\max｝（A）\cdot\lambda_｛\max｝（B）。\]
(3)
如果\（A，-A，B，-B\）不是半正定的，那么\[\lambda{max}（A\circ B）\leq\lambda_{max}-（A）\cdot\lambda_{max{（B）+\lambda_{min}（A）\ cdot\lambda_{min}-（B）\]和\[\lambda_{\min}（A\circ B）\geq\lambda_2{\max}（A）\cdot\lambda _{\min}（B）+\lambda _{\min}。\]
审核人：天佑潭（奥本）

引用于三文件

MSC公司：

15A42型 包含特征值和特征向量的不等式
15A45型 涉及矩阵的其他不等式
15个B48 正矩阵及其推广；矩阵的锥
15B51号 随机矩阵

关键词：

自伴随矩阵;半正定矩阵;随机矩阵;亚主要化;特征值;奇异值;舒尔产品;阿达玛积;特征值不等式

引文：

Zbl 0577.15016号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.V.R.Bhat}等人，《线性多线性代数》63，第11期，2245--2253（2015；Zbl 1331.15010）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Hardy GH，不等式（1988）
[2] 霍恩RA，矩阵分析，2。编辑（2013）
[3] Marshall AW，科学与工程数学143（1979）
[4] DOI:10.1007/978-1-4614-1099-7·Zbl 1229.15002号 ·doi:10.1007/978-1-4614-1099-7
[5] DOI:10.1090/psapm/040/1059485·doi:10.1090/psapm/040/1059485
[6] 内政部：10.1017/CBO9780511840371·doi:10.1017/CBO9780511840371
[7] 内政部：10.1016/0024-3795（85）90147-8·Zbl 0577.15016号 ·doi:10.1016/0024-3795（85）90147-8
[8] 内政部：10.1007/978-1-4612-0653-8·doi:10.1007/978-1-4612-0653-8
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