勒兹凡·盖尔卡;奥尼索尔，伊奥努;闪耀，卡洛斯·尤佐 几何变换。 （英语） Zbl 1515.51003号 数学问题书查姆：施普林格（ISBN 978-3-030-89116-9/hbk；978-3-0.30-97848-8/pbk；979-3-030-89 117-6/电子书）。xiii，578页。(2022). 数学问题书系列中的这本书是第一本专门讨论欧几里德几何问题的书。按照常见模式，本书分为三部分：问题、提示和解决方案。第一部分将261个问题分为四章。第一章致力于数学中等距的基本思想。在给出等距的理论结果和示例之后，作者给出了欧几里德几何中的问题，其中等距用于解决问题。平移、旋转和反射作为一类特殊的等距线首先在欧几里德平面中定义，然后将它们作为复平面中的映射给出一个等价的定义。尽管作者倾向于采用综合方法来解决问题，但许多问题都有分析和综合解决方案。例如，这一系列的理论例子以Alain Connes对著名的Morley定理的证明结束，在该定理中，复数被用来证明任何三角形的三体都形成等边三角形。许多著名的结果，如蝴蝶定理、Fagnano定理和Erdős-Mordell定理都是作为问题给出的。本章的一个吸引人的特点是，它还包含来自各种数学领域的挑战性问题，如组合几何、组合学、数论和函数论，这些问题可以用等距线的思想来解决。用作用于离散几何组合结构的变换组证明了数论中的经典结果，如威尔逊定理、费马茨小定理和卢卡斯定理。在第二章中，探讨了同调和螺旋相似性，证明了欧几里德几何的最基本事实（例如，欧拉线和九点圆），但也包括了一些不太基本的材料（三角形（ABC）中从（B）开始的符号穿过（A）处外接圆切线的点和（C\）相交）。对于西米迪亚人的这一特性，给出了构造它们的方法，作者在书中提供了三个证明。第三章讨论欧几里德几何中的反演问题，从直线和圆的反演到包罗万象的莫比乌斯变换。将反演应用于混合内圆（inarc圆），引入（sqrt{bc}）反演作为解决问题的强大工具。第一部分的最后一章题为“综合”。在这里，书中讨论的所有转换都采用了全球视角。本章从勾股定理的三种不同证明开始，每种证明都使用不同的变换（旋转、平移和螺旋相似性）和费尔巴哈定理的一种证明。然后，作者使用2019年国际数学奥林匹克竞赛中的一个问题作为转换的力量的说明性例子，他们为该问题提供了五个解决方案，在每个解决方案中，使用的转换类型以斜体突出显示。这对于本书末尾的解决方案来说也是一个很棒的功能。对数学概念的透彻解释可以说是教科书应该做的最重要的事情之一，这也是为什么这本关于问题的书也可以用作欧几里德几何的教科书的原因。另一个原因是它的第二部分，其中包含了问题的提示，提供了强大的教学支持。其中大多数是用一两行给出的，但这足以激发学生的思考。书的最后一部分包含了所有问题的详细解决方案。他们中的许多人都有多种解决方案，这表明了转换的多样性。精心制作的精确数字有助于理解问题，并使阅读变得愉快。解决方案也有有用的注释，如果已知，在解决方案的末尾会提到问题的作者和来源。这位评论员有一点小批评。如果文本中有更完整的索引和附录来解释奥运会问题的起源，那可能会更好。这些问题大多来自世界各地的数学竞赛：国际数学奥林匹克、巴尔干数学奥林匹克、亚太数学奥林匹克以及更多的地区和国家奥林匹克。因此，如果有一份他正在准备的比赛中出现的问题清单，参加某项比赛的潜在选手本可以更轻松地进行比赛。这本书由美国、罗马尼亚和巴西三位经验丰富的数学奥林匹克教练编写，可读性很强，显然是几何变换方面最好的书籍之一。它充满了欧几里德几何中有趣且具有挑战性的奥林匹亚级问题。我强烈推荐它不仅给未来的奥运选手和教练，而且也给广大数学读者。审核人：马丁·卢卡列夫斯基（斯科普里） MSC公司： 51-01 与几何学有关的介绍性说明（教科书、教学论文等） 2004年5月5日 欧几里德几何中的基本问题 00A07年 问题书 关键词：几何变换;等距;同调;螺旋相似性;反转 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Gelca}等人，《几何变换》。查姆：斯普林格（2021；Zbl 1515.51003） 全文： 内政部