空间填充曲线的一些组合应用

空间填充曲线表示一组点的启发式巡视

图1：旅行推销员问题的启发式解决方案是按照与Sierpinski空间填充曲线相同的顺序访问点。

空间填充曲线是从低维空间到高维空间的连续映射。一条著名的空间填充曲线是由于Sierpinski造成的，它是通过反复复制和收缩一个简单的模式而形成的（图1中的复杂路线）。

空间填充曲线的一个有用特性是，一旦它进入一个区域，它就会访问该区域中的所有点。因此，在平面中靠近的点将倾向于在沿着曲线的外观上靠近。

这构成了L.Platzman和我发明的启发式的基础，以产生一个相当短的n个给定位置（所谓的旅行推销员之旅）：只需按照空间填充曲线的相同顺序访问它们。例如，绿色线条表示对标记为“read”的点的短巡视，这些线条以与它们在空间填充曲线上的外观相同的顺序连接这些点。

如果你愿意接受比最优解长25%左右的解（对于随机点集来说，这是意料之中的），那么填充曲线启发式算法（SFC）有很多优点。这些优点包括：

SFC算法速度快：只有O(n个日志n个)努力构建n个点且仅为O（对数n个)通过添加或删除点来更新解决方案。
SFC启发式算法不需要点之间的明确距离，因此不需要像大多数其他启发式算法那样计算或测量这些距离。
该算法是可并行的。（相比之下，可比较的算法“最近邻”显然是不可并行化。）
SFC随机点巡游中的链接长度预计较小且方差较小，因此（1/k个)-第个站点约占（1/k个)-旅行时间的th。这意味着证监会巡演可以轻松转换为k个只需将证监会路线划分为k个部分。

空间填充曲线启发式已在许多应用中使用，包括：

在佐治亚州亚特兰大市富尔顿县（Fulton County，GA）建立一个轮流就餐系统，每天为那些因疾病或年龄太大而无法自行购物的人提供数百份膳食。我们在两个rolodex卡文件上创建了这个。
将美国红十字会的血液运送至亚特兰大市区的医院。
为战略防御计划（俗称“星球大战”计划）瞄准天基激光器。该应用程序是由一家SDI承包商TRW Systems的科学家向我们传达的，他们选择了空间填充曲线启发式方法而不是其他方法，因为它经过了良好的分析、可并行化，并且可以在可推进轨道的计算机上运行。
控制绘图笔。（M.Iri和东京大学的同事展示了如何通过有效地布置笔来减少绘制大型路线图的时间。他们举了一个例子，其中绘制时间从10小时减少到了1.5小时。）

通过空间填充曲线进行路由的思想随后被纳入ARC/Info地理信息系统、Baan Systems的CAPS后勤工具包以及其他管理二维数据的商业系统。

在我的课堂笔记中可以找到这些想法的摘要，不包括技术细节，但有指向技术文献的指针基于空间填充曲线的布线系统[pdf格式，22页]。伴随着这是一个桌子Sierpinski对100 x 100网格点的索引[pdf格式，22页]，您可以在一个下午用它设置自己的路由系统。关于算法性能的技术细节，以及相关工作的引用，可以在L.K.Platzman的“填充曲线和平面旅行推销员问题”中找到，计算机协会杂志 36(4):719-737 (1989).

图2：德国15112个城市的TSP之旅。这次旅行是由Sierpinski空间填充曲线在不到一秒钟的时间内引起的，并且是尽可能短的大约三分之一。

将这种轻量级启发式与重型优化包（例如由D.Applegate、R.Bixby、V.Chvatal和W.Cook他们的TSP包是一种数学优化技术的旅游力，已用于解决德国15112个城市的旅行推销员问题。这是最大的非平凡问题，已经为其生成了可证明的最优解。Applegate等人描述了使用的计算资源：“计算是在莱斯大学和普林斯顿大学的110个处理器组成的网络上进行的。计算中使用的总计算机时间为22.6年，按比例调整为Compaq EV6 Alpha处理器，运行频率为500 MHz。TSPLIB中使用的单位中，最佳行程长度为1573084；这意味着大约要经过66000公里的德国。”

相比之下，保罗·戈德曼（Paul Goldsman）使用空间填充曲线启发式解决了相同的问题。我们的解决方案大约延长了34%（图2）。如果每天悠闲地行驶600公里，这意味着总驾驶时间约为147天，而不是110天。但我们用廉价的笔记本电脑计算不到一秒钟。因此，这是一个折衷：使用我们的启发式方法，您可以立即获得路线，但您必须额外旅行一个月。或者，配置一个由110个处理器组成的网络，花两个月计算最短路径，以节省一个月的驾驶时间。

图3：通过寻找三角形的哈密顿路径或回路，并用合适的定向空间填充曲线填充每个点，可以连续索引三角化不规则网络的所有点。

Bill Nulty、Paul Goldsman和我已经将其中的一些想法扩展到了几个方向：

J.Bartholdi和W.Nulty的“带填充曲线的稳健多维搜索”，第六届空间数据处理国际研讨会论文集1994年9月，苏格兰爱丁堡。
全球层次细分的连续索引J.Bartholdi和P.Goldsman（2000）。这以略微修改的形式出现在国际地理信息科学杂志 15(6):489-522 (2001).
Hilbert空间填充曲线的顶点标记算法J.Bartholdi和P.Goldsman（2000）。这以略微修改的形式出现在软件——实践与经验 31:395-408 (2000).
不规则三角网的顶点邻接对偶具有哈密顿圈作者：J.Bartholdi和P.Goldsman，运营研究信件 32(2004). 佩鲁斯·塔斯拉基安（Perouz Taslakian）制作了一个非常好的插图思想和算法。