在20世纪初，人们普遍认为在所有合理的数学公理系统中都会出现这种情况。因为当时数学的力量似乎没有极限，可以证明的定理也没有尽头。

但这一切在1931年发生了改变，哥德尔定理表明，至少在任何包含标准算术的有限指定公理系统中，必然会有无法使用公理系统规则证明真假的语句。

这对现有的关于数学基础的思考是一个巨大的冲击。事实上，直到今天，哥德尔定理仍然被广泛认为是一个令人惊讶且相当神秘的结果。

但这本书中的发现最终开始让它看起来不可避免，实际上几乎显而易见。因为事实证明，在某种程度上，它可以被视为计算等效性这一非常普遍的原则的又一个结果。

那么，对于多路系统来说，哥德尔定理的类比是什么？给定第页上的设置780人们可以问一个特定的多路系统是否完整，即对于每个可能的字符串，系统最终会生成该字符串或其否定。

我们可以看到，实际上第三个多路系统是不完整的，因为通过遵循其规则，我们永远不能生成任何一个或其否定但是，如果通过添加更多转换来扩展规则，从而对应更多公理，该怎么办？一个人最终能使系统完整吗？

如果不小心，就会生成太多的字符串，并且不可避免地会在出现字符串及其否定时出现不一致，如对开页。但是，如果只需要担心有限的步骤，那么总是有可能进行设置，以获得一个完整且一致的系统，如对开页.

事实上，在对开页很容易找到使系统始终完整和一致的规则。但要知道如何做到这一点，就需要有一种行为，这种行为在某种意义上足够简单，以至于人们可以预见它的各个方面。