递归平铺和填充曲线
填充曲线是连续的surpjective函数，它将单位间隔[0,1]映射到高维区域，例如单位（超）立方体。它们通常基于将高维区域递归细分为形状类似的较小平铺，以及定义这些平铺应由曲线穿过的顺序。
一个简单的例子是希尔伯特曲线1)该曲线基于将单位正方形细分为2×2个方形单元的网格，同时将单位间隔细分为四个子间隔。然后将每个子区间与一个单元格进行匹配；因此，希尔伯特曲线在一个特殊的顺序：首先是左下角的单元格，然后是左上角的单元格、右上角的细胞，最后是右下角的细胞。通过将该过程递归地应用于每个子间隔-细胞对，可以细化从单位间隔到单位平方的映射，以便在每个细胞内，曲线进行类似的遍历。这些单元格中的遍历以特定的方式旋转和/或反射，以便遍历保持从一个单元格到另一个单元格的连续性（参见左图）。结果是一个完全指定的映射（f）从单位间隔到单位平方。例如，（f）（6/64）将是曲线在完成8×8=64个单元网格中的第六个单元的遍历时到达的点，该网格经过三级细分后得到（图中的红点）。
空间填充曲线可以用来定义在正方形或更高维空间中存储或处理点、网格单元或其他对象的顺序：我们只需按照曲线上遇到的顺序来处理这些对象。例如，填充曲线用于多维数据数据库、大型网格计算和计算机图形渲染。沿填充曲线排列物体的有益效果通常源于保持位置的特性：曲线诱导顺序中的连续元素在空间上往往彼此靠近，反之亦然。然而，并不是所有填充曲线都能同样有效地优化多维数据库中查询的磁盘访问模式。在我们的研究中，我们研究了不同的曲线，并使用从预期应用中得出的抽象质量度量对其进行了分析。此外，我们试图找到具有理想特性的新曲线。
我在这方面的工作可以分为三大类：（1）探索组合可能性对于填充曲线，（2）寻找具有最佳质量的填充曲线关于某些应用，以及（3）填充曲线的表示，特别是目前声音或者把他们想象成小径在三维山地景观中。在本页末尾，您将看到第四个类别，误捕：我在研究过程中偶然发现了一些漂亮的曲线和镶嵌。
探索组合可能性
本文描述了任意维立方体和单纯形的几种空间填充曲线和非连续空间遍历，并列出了该领域中的一些开放问题。
16条填空曲线和穿越d日-多维立方体和单纯形。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算研究库（arXiv.org）, 1711.04473, 2017.
文本;软件（联系我）
下面的文章讨论了构建三维八分位自相似立方填充曲线的可能性，以及不同的解决方案具有哪些不同的特性。还包括了对四维曲线的有限讨论。本文附带了一个用于探索曲线的软件工具的原型。
有多少三维希尔伯特曲线？赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算几何杂志, 8(1):206-281, 2017.
文本;软件;曲线列表（测试软件在您的系统上是否正常工作）。为了娱乐，你可以看看我的迷宫式效果图一些三维希尔伯特曲线。
关于自相似曲线，下面的论文已经被上面提到的论文所取代。然而，以下文件也包含一些不-有时提供更好的局部保持特性的自相似曲线2)比自相似曲线：
三维希尔伯特填充曲线目录。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算研究库（arXiv.org）, 1109.2323, 2011.
文本
面部控制的填充曲线具有这样的特性，即曲线的任何相邻部分所访问的点集的内部是连通的。以下文章讨论了锐角三角形的递归平铺，以及基于此类平铺构造人脸填充曲线的不可能性：
锐角三角形的爬行动物和填空曲线。作者：Marinus Gottschau、Herman Haverkort和Kilian Matzke。
离散和计算几何, 60(1):170-199, 2018.
编辑出版商的文本； 来自arXiv.org的文本
在三维方面，这似乎也很困难：
具有最佳质量的填充曲线
三维网格遍历
物理过程通常通过网格计算来模拟。网格可以理解为物理空间细分为不同大小的单元，具体取决于所需的精度。模拟通过在网格上进行多次传递进行，每次访问所有单元并更新其顶点、边、面和单元存储的值。空间填充曲线，或者更一般地说，递归遍历顺序，对于组织此类应用程序中的数据传输、负载平衡和网格细化非常有用。下面的演示概述了递归遍历顺序的相关属性和质量标准，并给出了一些关于可以实现哪些理想属性组合的结果。
三维网格遍历的填充曲线特性。赫尔曼·哈弗科特著。演示文稿于2013年ParCo并行计算国际会议。
幻灯片扩展和更新的演示文稿
具体来说，如贝德,回文的网格遍历可以用于组织网格上的有限元和有限体积计算，这样，所有中间结果的存储都可以通过在少量堆栈上的push和pop操作来处理。在三维空间中，基于将立方体细分为27个子立方体的Peano曲线，是回文的.我发现了存在不连续的回文遍历基于将立方体细分为8个子立方体，并基于将某些形状的四面体平分。在已知的将立方体或四面体递归细分为八个类似部分之后，没有包含面的解决方案（请参阅前面的演示；不幸的是，我还没有时间正确地写下来，但可以随意联系我更多详细信息）。
我的学生格特·范德普拉斯计算出了不连续回文四面体遍历详细地。不幸的是，将哪些顶点放置在哪些堆栈上的规则非常复杂。我仍然希望有时间写一段代码来演示它是如何工作的，也可以用于自适应网格（如果没有意外的捕获）。请随意联系我提醒我这个计划，或者帮助我简化规则。
空间数据结构
具有良好局部保持特性的填充曲线
这个Arrwwid编号填充曲线的最小值A类，以便任何具有体积的球B类可以被覆盖A类总尺寸曲线的相邻部分哦(B类). 可以说，沿Arrwwid数较低的填充曲线对点进行排序，可以有效地查询数据结构：它们可以只通过扫描来回答任何带球的距离查询A类磁盘上数据结构的相对较小部分，仅诱导A类搜索操作。在接下来的文章中，我们研究了二维及多维中Arrwwid数较小、且Arrwyid数可能最小的下界的曲线。
递归tilings和几乎没有碎片的空间填充曲线。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算几何杂志, 2(1):92–127, 2011.
文本 幻灯片 快进幻灯片
充满空间的曲线（f）保存地区好吧，如果有的话一和b条在[0,1]中，点（f）(一)和（f）(b条)（也许还有要点（f）(c（c）)的c（c）∈[一,b条])谎言，根据某种距离测量，彼此靠近，相对于b条−一在下面的文章中，我们开发了一种技术来计算给定的空间填充曲线保持局部性的程度，并且我们证明了某些类型的空间填充线的某些局部性测度的一些下限。
二维空间填充曲线的位置和边界盒性质。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）和弗里克·范·沃尔德芬（Freek van Walderveen）。
计算几何, 43(2):131–147, 2010.
文本
在我关于三维希尔伯特曲线的论文中（参见在上面)，我们探讨了Hilbert空间填充曲线向高维推广的局部性。下面提到的论文介绍了d日-任何尺寸的“希尔伯特”曲线d≥2，具有以下属性：点的最小轴对齐边界框的大小（f）(c（c）)的c（c）∈[一,b条]从不超过4(b条−一). 相反，对于希尔伯特曲线的常用推广，边界框大小和(b条−一)指数依赖于维数d日.
超正交折叠希尔伯特曲线。由Arie Bos和Herman Haverkort撰写。
计算几何杂志, 7(2):145–190, 2016.
文本
我们可以定义异次元填充曲线大致如下：aD类-空间填充曲线F类，填充D类-维超立方体U型，是异次元到d日-空间填充曲线（f）如果，对于任何d日-量纲面u个属于U型它包含坐标系的原点，点的顺序u个由访问F类与访问这些点的顺序相同（f）当旋转到u个例如，一些高维Hilbert曲线具有以下特性：D类-维度立方体的访问顺序为(D类−1）维希尔伯特曲线。在下面的文章中，我们展示了实验证据，四维空间填充曲线在某种程度上是从超维到二维的空间填充曲线，可以用于构建存储平面中矩形的数据结构（R树）。
R树的四维希尔伯特曲线。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）和弗里克·范·沃尔德芬（Freek van Walderveen）。
实验算法杂志，2011年6月16日。
文本（或联系我免费访问）
除其他外，以下手稿包括任意高维的超维空间填充曲线族。例如，这些可以用于为三维盒子构建R树：
16条填空曲线和穿越d日-多维立方体和单纯形。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算研究库（arXiv.org）, 1711.04473, 2017.
文本;软件（联系我）
在以下论文中可以找到更多的伪代码和更多的超维曲线分析（证明）（但有更复杂的符号）：
和谐希尔伯特曲线和其他超维空间填充曲线。赫尔曼·哈维尔科特（Herman Haverkort）。
计算研究库（arXiv.org）, 1211.0175, 2012.
文本
填充曲线的表示
可以利用平面填充曲线在平面中访问点的顺序来设计有效的算法和数据结构。通常，它们对于保持位置的特性很有用：沿曲线彼此靠近的点在平面上往往彼此靠近，反之亦然。然而，平面填充曲线的草图通常不能很好地显示这一点：它们很难在不同的细节层次上阅读，也很难看到曲线上的点相距多远。通过将曲线绘制为山景或建筑群中的小径，我们可以更清楚地说明它们的位置保护特性（及其违规行为）。
平面填充轨迹：平面填充曲线的无偏可视化Herman Haverkort著2020年提交。
链接到解释、图表和软件
很难绘制三维空间填充曲线的图形，几乎不可能绘制四维或四维以上的空间填充曲线。我目前正在探索通过声音作为替代手段的插图。音轨（或其创建过程）有时有助于更好地理解曲线，同时，它们似乎为音乐声音的特征提供了一些见解。
为了娱乐，您也可以查看我的迷宫式效果图一些三维希尔伯特曲线。
间接渔获
BMTV三角形平面填充曲线：对Bandt、Mekhontsev、Tetonov和Ventrella发现的填充分形“三角形”的平面填充曲线的描述。
