向上
笼子
A类(k个,克)-笼子是价的正则图k个和周长克以及最少的顶点数。确定尺寸v的问题(k个,克)的(k个,克)-凯奇于1959年由科特西摆好姿势，他注意到v（3,5）=10通过彼得森图.早些时候，塔特（1947）已经研究过立方笼。
Sachs（1963）首次证明了v(k个,克)是有限的，并且Erdős&Sachs（1963）给出了一个上限。
家庭
（i）（2，克)-笼是电路C克,以及v（2，克) =克.
（ii）(k个，3）-cage是完整图Kk个+1,和v(k个,3) =k个+ 1.
（iii）(k个，4）-cage是完全二部图K（K）k个,k个、和v(k个,4) = 2k个.
（iv）如果k个=q个+1表示主功率q个，那么一个(k个，6）-cage是射影平面的关联图PG（2，q个)、和v(k个,6) = 2(q个2+q个+ 1).这些图的特征值为±(q个+1), ±√q个,重数为1，q个(q个+1） 分别是。（3,6）笼也称为海伍德图.
（v）如果k个=q个+1表示主功率q个，那么一个(k个，8）-cage是广义四边形的关联图GQ公司(q个,q个),和v(k个,8) = 2(q个+ 1)(q个2+1）。这些图的特征值为±(q个+1), ±√(2q个), 0重数为1，q个(q个+1)2/2,q个(q个2+1） 分别为。（3,8）-笼也被称为Tutte的8笼，或Tutte Coxeter图。
（vi）如果k个=q个+1表示主功率q个，那么一个(k个，12）-cage是广义六边形的关联图GH公司(q个,q个)、和v(k个，12）等于2(q个+ 1)(q个4+q个2+ 1).（本森）这些图的特征值为±(q个+1), ±√(3q个),±√q个，0，重数为1，q个(q个+1)2(q个2+q个+1)/6,q个(q个+1)2(q个2–q个+1） /2和2q个(q个4+q个2+1） 分别为/3。
表
v的所有已知值表(k个,克)（除了上述无限家族之外）。
| k个\克 | |
三 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|
| 三 | | 4 | 6 | 10 | 14 |
24 | 30 | 58 | 70 | 112 | 126 |
| 4 | | 5 | 8 | 19 | 26 |
67 | 80 | | | | 728 |
| 5 | | 6 | 10 | 30 | 42 |
| 170 | | | | 2730 |
| 6 | | 7 | 12 | 40 | 62 |
| 312 | | | | 7812 |
| 7 | | 8 | 14 | 50 | 90 |
| | | | | |
配价3
唯一的（3,3）-笼是完整的图K4,v（3,3）=4。
唯一的（3,4）-笼是完全二部图K3,3,v（3,4）=6。
独特的（3,5）笼是彼得森图,v（3,5）=10。
独特的（3,6）笼是海伍德图.Fano平面的入射图，v（3,6）=14。
唯一的（3,7）-笼是McGee图，v（3,7=24。
唯一的（3,8）-笼是Tutte-Coxeter图，也称为Tutte的8笼广义四边形GQ（2,2）和v（3,8）=30。
共有18个（3,9）笼，v（3,9）=58。第一个这样的笼子是由Biggs&Hoare（1980）发现的，v（3,9）=58的事实和其他例子由Brinkmann，McKay&Saager（1995）提出。
有3个（3,10）-笼，都是二分的，v（3,10=70。这要归功于O'Keefe&Wong（1980）。这三个（3,10）笼中的两个是具有特征多项式的共谱（x）2-9） （x）2-6） （x）2-2） （x）2-1)4（x）4-6倍2+2)5（x）4-6倍2+3)4（x）4-6倍2+6)5.第三个，历史上第一个，由Balaban（1973）发现，具有特征多项式（x2-9） （x）2-6)2（x）2-5)4（x）2-4） （x）2-2)2（x）2-1)8x个2（x）4-6倍2+3)8.
Brendan McKay和Wendy Myrvold表明v（3,11）=112（见McKay-Myrvold-Nadon（1998）），他们展示了2003年（未发表），（3,11）-笼是唯一的。这个独特的（3，11）-笼子是由于巴拉班（1973）。
配价4
唯一的（4,5）-笼是Robertson图，v（4,6）=19。
唯一的（4,6）-笼是PG（2,3）的点线关联图，v（4,6）=26。
Geoff Exo、Brendan McKay和Wendy Myrvold展示了2007年（未发表），v（4,7）=67。已知（4,7）笼的一个例子。
配价5
一个是v（5,5）=30，正好有四个（5,5）笼。其中一个被称为Robertson-Wegner图。它的组是A5×2，轨道10+20。描述：30个顶点是十二面体的20个顶点10 4-具有所有内部距离3的十二面体的子集；相邻的是明显的：十二面体是一个诱导的价为3的子图，每个4子集与其4个元素相邻和对映4-子集。
配价6
唯一的（6,5）-笼是Petersen图的补充在Hoffman-Singleton图中，v（6.5）=40。配价7
独特的（7,5）笼是霍夫曼-辛格顿图,v（7.5）=50。独特的（7,6）-笼子是独特的3折套，周长6PG（3,2）的点和平面的关联图，v（7.6）=90。它的组是3.Alt（7）.2。它是椭圆半平面的关联图，由贝克（1978）。O'Keefe&Wong（1981）重新发现了它。
数据
我们给出序列号（和实际图形）、配价、周长、顶点数，自同构群的大小，轨道大小，距离分布围绕每个顶点和光谱。如果图是二分图只给出了光谱的正半部分。
| # | k个 | 克 | v（v） | |G公司| | 轨道 |
距离分布 | 光谱 |
| 1/1 | 三 | 三 |
4 | 24 | 特拉 |
1+3 | –1三三 |
| 1/1 | 三 | 4 |
6 | 72 | 特拉 |
1+3+2 | 二分，04三 |
| 1/1 | 三 | 5 |
10 | 120 | 特拉 |
1+3+6 | –2415三 |
| 1/1 | 三 | 6 |
14 | 336 |
特拉 | 1+3+6+4 |
二分，√26三 |
| 1/1 | 三 | 7 |
24 | 32 | 8+16 |
1+3+6+12+2 |
–½(1+√17) –2.342924–2 –12–0.47068340三½(–1+√17) 1.8136142三三 |
| 1/1 | 三 | 8 |
30 | 1440 | 特拉 |
1+3+6+12+8 |
二分，01029三 |
| 1/18 | 三 | 9 |
58 | 4 |
4*1+5*2+11*4 |
1+3+6+12+24+8+4（2x）
1+3+6+12+24+9+3（2x）
1+3+6+12+24+10+2（10x）
1+3+6+12+24+11+1（22倍）
1+3+6+12+24+12（22倍） |
–2.75468 –2.58854 ...
2.38349 2.38868 3 |
| 2/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
4*1+27*2 |
1+3+6+12+24+9+3（4x）
1+3+6+12+24+10+2（14倍）
1+3+6+12+24+11+1（28倍）
1+3+6+12+24+12（12倍） |
–2.61301 –2.59308 ...
2.43933 2.44196 3 |
| 3/18 | 三 | 9 |
58 | 24 |
4+6+2*12+24 |
1+3+6+12+24+9+3（4x）
1+3+6+12+24+10+2（12倍）
1+3+6+12+24+11+1（24倍）
1+3+6+12+24+12（18x） |
–2.55908三–2.557332。。。
2.3924222.40836三三 |
| 4/18 | 三 | 9 |
58 | 4 |
3*2+13*4 |
1+3+6+12+24+9+3（2x）
1+3+6+12+24+10+2（22x）
1+3+6+12+24+11+1（18倍）
1+3+6+12+24+12（16倍） |
–2.75987 –2.62976 ...
2.38547 2.45953 3 |
| 5/18 | 三 | 9 |
58 | 4 |
5*2+12*4 |
1+3+6+12+24+10+2（8x）
1+3+6+12+24+11+1（34倍）
1+3+6+12+24+12（16倍） |
–2.75991 –2.58967 ...
2.36044 2.45807 3 |
| 6/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
2*1+28*2 |
1+3+6+12+24+10+2（11倍）
1+3+6+12+24+11+1（36倍）
1+3+6+12+24+12（11倍） |
–2.73095 –2.62527 ...
2.38714 2.45704 3 |
| 7/18 | 三 | 9 |
58 | 1 |
58*1 |
1+3+6+12+24+9+3（2x）
1+3+6+12+24+10+2（19倍）
1+3+6+12+24+11+1（20倍）
1+3+6+12+24+12（17倍） |
–2.66844 –2.62445 ...
2.39504 2.45387 3 |
| 8/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
4*1+27*2 |
1+3+6+12+24+10+2（8x）
1+3+6+12+24+11+1（18x）
1+3+6+12+24+12（32倍） |
–2.63455 –2.60469 ...
2.40412 2.4409 3 |
| 9/18 | 三 | 9 |
58 | 1 |
58*1 |
1+3+6+12+24+8+4（1x）
1+3+6+12+24+9+3（4x）
1+3+6+12+24+10+2（26x）
1+3+6+12+24+11+1（22倍）
1+3+6+12+24+12（5倍） |
–2.66108 –2.61225 ...
2.44088 2.44829 3 |
| 10/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
2*1+28*2 |
1+3+6+12+24+11+1（14倍）
1+3+6+12+24+12（44倍） |
–2.7354 –2.67555 ...
2.36072 2.42256 3 |
| 11/18 | 三 | 9 |
58 | 1 |
58*1 |
1+3+6+12+24+11+1（16倍）
1+3+6+12+24+12（42倍） |
–2.74602 –2.64829 ...
2.36304 2.42366 3 |
| 12/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
2*1+28*2 |
1+3+6+12+24+9+3（2x）
1+3+6+12+24+10+2（18倍）
1+3+6+12+24+11+1（20倍）
1+3+6+12+24+12（18倍） |
–2.64207 –2.61726 ...
2.3938 2.45694 3 |
| 13/18 | 三 | 9 |
58 | 1 |
58*1 |
1+3+6+12+24+8+4（1x）
1+3+6+12+24+9+3（4x）
1+3+6+12+24+10+2（21倍）
1+3+6+12+24+11+1（26倍）
1+3+6+12+24+12（6倍） |
–2.6812–2.61521。。。
2.41845 2.44375 3 |
| 14/18 | 三 | 9 |
58 | 12 |
1+3*3+4*6+2*12 |
1+3+6+12+24+10+2（18倍）
1+3+6+12+24+11+1（12倍）
1+3+6+12+24+12（28倍） |
–2.59647–2.587342。。。
2.3700722.423052三 |
| 15/18 | 三 | 9 |
58 | 8 |
2*1+2*2+5*4+4*8 |
1+3+6+12+24+8+4（1x）
1+3+6+12+24+9+3（8x）
1+3+6+12+24+10+2（2x）
1+3+6+12+24+11+1（16倍）
1+3+6+12+24+12（31倍） |
–2.65867 –2.59599 ...
2.400682二点四一五七三三 |
| 16/18 | 三 | 9 |
58 | 2 |
4*1+27*2 |
1+3+6+12+24+11+1（2x）
1+3+6+12+24+12（56倍） |
–2.73515 –2.68142 ...
2.33193 2.39672 3 |
| 17/18 | 三 | 9 |
58 | 6 |
2*2+4*3+7*6 |
1+3+6+12+24+11+1（8x）
1+3+6+12+24+12（50倍） |
–2.69512 –2.64036 ...
2.3511 2.36234 3 |
| 18/18 | 三 | 9 |
58 | 6 |
1+3*3+8*6 |
1+3+6+12+24+10+2（3倍）
1+3+6+12+24+11+1（6x）
1+3+6+12+24+12（49倍） |
–2.60086 –2.57562。。。
2.37225 2.399392三 |
| 1/3 | 三 | 10 |
70 | 120 |
5+15+20+30 |
1+3+6+12+24+20+4 |
二分，0.59518850.7419644141.126035√2 2.1753352.3344142.376085√6三 |
| 2/3 | 三 | 10 |
70 | 24 |
1+3+4+6+8+2*12+24 |
1+3+6+12+24+20+4 |
二分，0.59518850.7419644141.126035√2 2.1753352.3344142.376085√6三 |
| 3/3 | 三 | 10 |
70 | 80 |
10+20+40 |
1+3+6+12+24+20+4 |
二分，020.741964818√222 √542.334418√62三 |
| 1/1 | 三 | 11 |
112 | 64 |
2*8+2*16+2*32 |
1+3+6+12+24+48+12+4+2（16倍）
1+3+6+12+24+48+16+2（32倍）
1+3+6+12+24+48+18（64倍） |
–2.85577 –2.593058–√65–2.191174–1.813612–1.718958–√212–0.5767134–0.321637–0.30611280120.47068321.2250381.264384√2122.17741 2.3429222.393098√652.50354三 |
| 1/1 | 三 | 12 |
126 | 12096 |
63+63 |
1+3+6+12+24+48+32 |
二分，028√227√621三 |
| 1/1 | 4 | 5 |
19 | 24 |
3+4+12 |
1+4+12+2 |
–½(1+√21) –½(1+√17)2–½(1+√13)2–√32–½(1+√5) ½(–1+√5) 12½(–1+√13)2½(–1+√17)2√32½(–1+√21) 4 |
| 1/1 | 4 | 6 |
26 | 11232 |
特拉 |
1+4+12+9 |
二分，√3124 |
| 1/? | 4 | 7 |
67 | 4 |
1+11*2+11*4 |
1+4+12+36+12+2（10倍）
1+4+12+36+13+1（8倍）
1+4+12+36+14（49倍） |
-3.45504 -3.02055 ...
2.63777 2.68738 4 |
| 1/1 | 4 | 8 |
80 | 51840 |
40+40 |
1+4+12+36+27 |
二分，030√6244 |
| 1/? | 4 | 12 |
728 | 8491392 |
特拉 |
1+4+12+36+108+324+243 |
二分，0182√3168三1044 |
| 1/4 | 5 | 5 |
30 | 120 |
10+20 |
1+5+20+4 |
–½(1+√21)8–√5三–1215½(–1+√21)8√5三5 |
| 2/4 | 5 | 5 |
30 | 20 |
2*5+2*10 |
1+5+20+4 |
–34–2.706362–2.466732–2.122332–1.777482–1 0.77748421.1223321.4667321.706362285 |
| 3/4 | 5 | 5 |
30 | 30 |
15+15 |
1+5+20+4 |
(–1–√5)2–2.706364–√52–2.122334–1 1.122334(–1+√5)21.70636424√525 |
| 4/4 | 5 | 5 |
30 | 96 |
6+24 |
1+5+20+4 |
–32(–1–√3)4–½(1+√17)三–2三0 (–1+√3)4½(–1+√17)三295 |
| 1/1 | 5 | 6 |
42 | 241920 |
特拉 |
1+5+20+16 |
二分，2205 |
| 1/1 | 5 | 8 |
170 | 3916800 |
特拉 |
1+5+20+80+64 |
二分，068√8505 |
| 1/? | 5 | 12 |
2730 | 503193600 |
1365+1365 |
1+5+20+80+320+1280+1024 |
二分，072826502√33505 |
| 1/1 | 6 | 5 |
40 | 480 |
特拉 |
1+6+30+3 |
–312–25142186 |
| 1/1 | 6 | 6 |
62 | 744000 |
特拉 |
1+6+30+25 |
二分，√5306 |
| 1/1 | 6 | 8 |
312 | 9360000 |
156+156 |
1+6+30+150+125 |
二分，0130√10906 |
| 1/? | 6 | 12 |
7812 | 5859000000 |
3906+3906 |
1+6+30+150+750+3750+3125 |
二分，02170√51890√159306 |
| 1/1 | 7 | 5 |
50 | 252000 |
特拉 | 1+7+42 |
–3212287 |
| 1/1 | 7 | 6 |
90 | 15120 |
特拉 |
1+7+42+38+2 |
二分，214√7307 |
光谱
对于这些笼，我们注意到第二大特征值比最大的要小得多，有很大的差距。例如，对于k=3，g=9，第一个图有谱–2.75468 –2.58854 –2.57149 ... 2.34292 2.36066 2.38349 2.38868 3.查看所有18个具有这些参数的图表，第二大特征值最多为2.45953。这可以解释如下。设g=2t+1为奇数。让A我是描述距离i的矩阵。放置J=A0+A类1+ ... + A类t吨+E.公司。那么E是配价E的图的邻接矩阵，其中e是v在摩尔界限上的多余量。这些A我可以表示为A中的多项式使用A2=kI+A2和AA公司我=（k–1）Ai–1个+A类i+1（输入+1）对于i<t。现在E的定义变为E=J–f（A）。如果λ是A与k不同的特征值，则–f（λ）是E的特征值，因此|f（λ）|≤E。如果v的摩尔下限f（k）=v–e大于v/2，则v–e>e和λ有界远离k。
例如，在k=3，g=9的情况下，我们发现f（x）=x4+x三–6倍2–4x+4，其中f（3）=46，超额为v–f（k）=58–46=12。现在|f（λ）|≤e意味着-2.913<λ<2.517，表明λ不能非常接近3。
这一论点是由于Biggs（1980），谁用它来给出e的下界。
在周长为偶数的情况下，同样的不等式|f（λ）|≤e也可以给出。设g=2t+2为偶数。放置J=A0+A类1+ ... + A类t吨+（1/k）B+E，用一个我如前所述，B由AA公司t吨=（k–1）At–1+B.同样，E=J–f（A）。注意E是非负的：Bxy公司是，对于d（x，y）=t+1，数字从x到y的长度为t+1的路径，因此（1/k）B的条目最多为1。
例如，在k=3，g=10的情况下，我们得到f（x）=（1/3）x5+x个4–2倍三–6倍2+（4/3）x+4，其中f（3）=62，多余的是v–f（k）=70–62=8。现在，|f（λ）|≤e意味着–3≤λ<2.4627。在示例中，λ的最大值为√6=2.44949。
工具书类
A.T.Balaban，周长9和11的三价图，以及笼子之间的关系,修订版Roum。数学。Pures和Appl。18(1973) 1033-1043.R.D.贝克，椭圆半平面,J.组合Th.（A）25(1978) 193-195.
C.T.本森，围长为8和12的最小正则图,加拿大。数学杂志。18(1966) 1091-1094.
N.L.比格斯，周长、化合价和超额,线性代数。申请。31(1980) 55-59.
N.L.Biggs，大围长三次图的构造,组合数学电子学J5(1998).
N.L.Biggs和M.J.Hoare，具有58个顶点和周长9的三价图,离散数学。30(1980) 299-301.
G.Brinkmann、B.D.McKay和C.Saager，周长为9的最小三次图,组合数学、概率与计算5(1995) 1-13.
P.Erdős&H.Sachs，Reguläre Graphen gegebener Taillenweite mit迷你鞋Knotenzahl,威斯。Z.单位。Halle（数学与自然）12(1963) 251-257.
杰弗里·埃克索和罗伯特·贾凯，动态笼测量,选举人。J.组合。15(2008)#DS16系列.
杰弗里·埃克索（Geoffrey Exoo）、布伦丹·麦凯（Brendan McKay）和温迪·麦沃尔德（Wendy Myrvold），A（4,7）-笼，预印本，2007年。
A.J.Hoffman和R.R.Singleton，关于直径为2和3的Moore图,IBM J.Res.Develop公司。4(1960) 497-504.
L.O.詹姆斯，摩尔（7,2）图唯一性的组合证明,实用数学。5（1974）79-84。
F.Kárteszi，钢琴有限的ciclici来了risoluzioni di un certo problema di minimo,波尔。联合国。材料意大利语。(3)15(1960) 522-528.
B.D.McKay、W.Myrvold和J.Nadon，应用快速回溯原理寻找新的牢笼,第188-191页，载于：第九届ACM-SIAM离散算法年度研讨会，1998年1月。
W.F.McGee，围长为7的最小三次图,加拿大。数学。牛市。三(1960) 149-152.
梅林格先生，正则图的快速生成和保持架的构造J.图形Th。30(1999) 137-146.
M.O'Keefe和P.K.Wong，周长5和化合价6的最小图,J.组合Th.（B）26(1979) 145-149.
M.O'Keefe和P.K.Wong，周长10和化合价3的最小图,J.组合Th.（B）29(1980) 91-105.
M.O'Keefe和P.K.Wong，周长6和化合价7的最小图,J.图形Th。5(1981) 79-85.
J.Petersen，泰特郡,《数学国际杂志》5(1898) 225-227.
N.Robertson，周长5和化合价4的最小图,牛市。阿默尔。数学。Soc公司。70(1964) 824-825.
G.Royle，立方体笼和笼子高价的.
H.萨克斯，具有给定围长和限制回路的正则图,伦敦数学杂志。Soc公司。38(1963) 423-429.
W.T.Tutte，一类立体图,程序。剑桥菲洛斯。Soc公司。43(1947) 459-474.
G.韦格纳，周长5和化合价5的最小图,J.组合疗法（B）14（1973）203-208。
P.K.Wong，关于围长为5、配价为6的最小图的唯一性,J.图形Th。三(1978) 407-409.
P.K.Wong，笼子-调查,J.图形Th。6(1982) 1-22.
[BCN]，第6.9节。