如何将“for all x there exists y”更改为“there exacts y that for all x”|特里基

快速描述

如果你有一份表格声明 $\对于所有x\\存在y\P（x，y）$ 但你真正想要的是统一的声明 $\所有x\P（x，y）都存在y\\$ ,如果你能强化第一句话，比如说“为了每一个人 $x个$ 一套 $年$ 这样的话 $P（x，y）$ 失败很小”。此外，有许多不同的小概念可以用于这个目的。这为我们提供了一种通用的技术，可以同时找到具有许多不同属性的数学对象。

前提条件

本科数学的基本概念。具体的前提条件因应用而异。

一般性讨论

如果 $P（x，y）$ 是包含两个变量的语句 $x个$ 和 $年$ ,然后是声明 $\对于所有x\\存在y\P（x，y）$ 明显弱于声明 $\所有x\P（x，y）都存在y\\$ . 为什么？因为第一句话给了你 $x个$ ,一些 $年$ 这样的话 $P（x，y）$ 是的，第二个给你一个单打 $年$ 对每个人都有效 $x个$ . 在许多情况下，有人在第二种情况下说，这种说法是一致的。

一个简单的例子说明了差异：对于每个有限集 $A类$ 自然数中存在一个自然数 $米$ 这样的话 $n \leq米$ 对于每个 $n \在A中$ . 然而，自然数并不存在 $米$ 这样，每个有限自然数集的每个元素都小于或等于 $米$ . 换一种说法：每个有限的自然数集都有界，但没有统一的界。

在数学中有很多情况下，人们都有一种形式的陈述 $\对于所有x\\存在y\P（x，y）$ 但人们真正想要的是它的统一版本 $\所有x\P（x，y）都存在y\\$ . 一般来说，如上面的示例所示，语句并不意味着其统一版本。然而，令人惊讶的是，经常有可能使声明统一。事实上，一个人在本科数学课程中学习到的许多最有用的定理和基本原理都可以被视为实现这一点的工具。本文给出了几个可以统一的语句示例，每个语句使用不同的工具。关于这些工具本身可以说得更多：这将留给其他文章讨论。

下面的一些例子有点做作，虽然我们试图证明这种形式的陈述 $\所有x\P（x，y）都存在y\\$ ,人们通常不会认为自己是从这个陈述开始的 $\对于所有x\\存在y\P（x，y）$ . 但它们仍然是人们试图证明统一声明的情况的例子。

在开始之前，让我们考虑一下如果我们希望改变的话，必须满足哪些条件 $\对于所有x\\存在y$ 进入之内 $\所有x都存在y\\$ . 对于每个 $x个$ ,让 $U_x（_x）$ 成为所有人的集合 $年$ 这样的话 $P（x，y）$ . 那么我们要的是 $U_x（_x）$ 应该有一个非空的十字路口。例如，如果我们发现其中两个是不相交的，那么我们马上就注定了。在前面的示例中， $x个$ 是一组有限的正整数 $U_x（_x）$ 所有人都有这种形式 $\｛n，n+1，n+2，\dots\｝$ . 其中任何两个集都有有限的交集，但所有这些集的交集都是空的。

如果我们想要布景 $U_x（_x）$ 要有非空的交集，那么有两件事可以帮助我们：我们想要集合 $U_x（_x）$ 在某种程度上是大的，我们希望没有太多不同 $x个$ . 通常更容易想到补语 $V_x（_x）$ 的 $U_x（_x）$ 小，然后我们想要的是 $V_x（_x）$ 不包括每个 $年$ .

例1：实数是不可数的，使用嵌套的闭区间

为了证明这个断言，我们从一个可数集开始 $x_1、x_2、x_3、\点$ 实数。我们的目标是找到一个新的实数。也就是说，我们想证明这一说法 $\存在于所有的$ . 现在肯定是这样的 $\对于所有的n在mathbb{n}中存在y在mathbb{R}中x n$ ,但更多是真的，因为 $年$ 这样的话 $x_n \n一年$ 太大了。

究竟是什么巨大的财产将帮助我们？一旦我们确定了实数是不可数的，我们就可以说这个集合的补码是单例 $x个n$ ,所以补语的并集是可数的，因此不等于 $\mathbb{R}$ . 但我们当然不能在这里这样做，因为这正是我们试图证明的。相反，我们使用以下大的定义：集合 $Y（Y）$ 如果对每对实数都是大的 $a、 b条$ 具有 $a<b$ 有一对实数 $c、 d日$ 具有 $a \leq c<d \leq b$ 这样的话 $Y（Y）$ 包含闭合间隔 $[丙，丁]$ .

如果 $Y_n（年_月）$ 是套装吗 $x_n\ne是}$ ,然后 $Y_n（年_月）$ 从这个意义上来说绝对是巨大的：我们所要做的就是选择 $c（c）$ 和 $d日$ 以这样的方式 $x个n$ 他们之间没有隔阂。

现在让我们展示一下，如果 $Y_1、Y_2、\点$ 是大集合，则它们具有非空交集。这是真的，因为根据大的定义，我们可以建立一系列闭合区间 $[a_n，b_n]$ 这样的话 $an<bn$ 对于每个 $n个$ , $a_1\leq a_2\leq\点$ ,和 $b_1\geq b_2\geq\点$ . 实数分析的一个基本定理断言，这样的区间序列具有非空交集。（事实上，不难证明 $a_n（名词）$ 属于所有间隔。）因此，我们完成了。

例2：使用Baire范畴定理，完美集是不可数的

如果一组实数是闭合的且没有孤立点，则称其为完全数。例如，康托集是完美的，闭区间也是完美的 $[0,1]$ . 让我们证明一个非空的完美集必须是不可数的。让 $X$ 成为一个非空的完美集合并让 $x_1、x_2、x_3、\点$ 是下列元素的序列 $X$ . 我们想再次证明 $年$ 那不等于任何 $x个n$ . 为此，我们使用了Baire范畴定理，其中一个版本指出，如果 $X$ 是一个完整的度量空间，并且 $U_1、U_2、\点$ 是的稠密开放子集序列 $X$ ,然后是 $单位（_n）$ 非空。

这种形式的Baire范畴定理给了我们一个大的概念：如果我们定义一个集合是大的，如果它有稠密的开放子集，那么可数的多个大集合的交集是非空的：这个断言证明了我们对集合的思考是正确的 $单位（_n）$ 同样大。

为了将此应用于手头的问题，我们再次对 $单位（_n）$ :应该是布景 $X\设置减号\{X_n\}$ ,自从 $X$ 是一个完整的度量空间（因为它是 $\mathbb{R}$ ),成套设备 $单位（_n）$ 在中打开 $X$ ,我们的目的是证明它们具有非空交集。

根据Baire范畴定理，如果 $单位（_n）$ 在 $X$ . 所以让我们 $W公司$ 是的任何子集 $X$ 在中打开的 $X$ . 根据子空间拓扑的定义， $W公司$ 等于 $V \帽X$ 对于某些集合 $V（V）$ 在中打开的 $\mathbb{R}$ . 如果 $x个n$ 不属于 $V（V）$ ,然后 $W公司$ 必须包含其他点 $X$ ,因此在 $单位（_n）$ . 如果 $x个n$ 确实属于 $V（V）$ ,那么从那以后 $x个n$ 假设不是一个孤立点，那么 $X$ 属于的 $V（V）$ 因此 $W公司$ . 因此， $单位（_n）$ 密度很高，所以我们完成了。

请注意，集合 $Y_n（年_月）$ 在前面的证明中也是开放和密集的，因此我们可以将该证明视为Baire范畴定理的应用。然而，集合 $Y_n（年_月）$ 非常简单，因此更容易直接证明结果，特别是考虑到 $\mathbb{R}$ 用嵌套闭区间证明。

例3：每个可测量的加法函数都是线性的

让 $（f）$ 是来自的函数 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 这样的话 $f（x+y）=f（x）+f（y）$ 对于每个 $x个$ 和 $年$ . 如中所述这篇关于使用Zorn引理的文章, $（f）$ 不必采用这种形式 $f（x）=λx$ . 然而，如果 $（f）$ 是可衡量的。我们还在刚刚提到的帖子中看到，如果 $f（x）=λx$ 对于某些特殊情况 $x个$ ,然后 $f（y）=λy$ 对于每个 $年$ 这是一个合理的倍数 $x个$ . 但我们想要同样的 $\λ$ 对于每个实数，而不仅仅是对于有理比率的实数对。

如果结果为假，那么我们可以找到一个正 $\ε$ 和两个实数 $x个$ 和 $年$ 这样的话 $|x个^{-1}f（x） -年^{-1}f（y） |>\ε$ . 所以如果我们能证明 $\ε>0$ 的值 $f（x）/x$ （当 $x\n一个0$ )都在里面 $\ε$ 彼此之间。

为此，让我们选择一个开放区间的可数集合 $我（_n）$ 宽度的 $\ε$ 使得每个实数至少属于一个 $我（_n）$ ,让我们定义一下 $自动（_n）$ 成为 $f（x）/x\在I_n\}中$ .

自每个 $自动（_n）$ 是下的反转图像 $（f）$ 一个开放集的 $（f）$ 是可测量的，集合 $自动（_n）$ 是可衡量的。自从 $自动（_n）$ 是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ,其中至少有一项具有阳性检测结果。（这里我们使用的是这样一个事实，即可数的多组测度零的并集具有测度零。）因此，至少有一套 $自动（_n）$ 在某种意义上是大的，尽管这与前两个例子不同，因为一组正测度的补码不一定要小。

然而，对于这个问题，只要适度的宽泛就足够了，因为 $自动（_n）$ 具有闭包属性，可用于从它具有正测度这一事实推断它实际上是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . 的确，如果 $x个$ 和 $年$ 两者都属于 $自动（_n）$ ,那么就这样了 $x+y$ ,自从 $（f（x）+f（y））/（x+y）$ 介于 $f（x）/x$ 和 $f（y）/年$ .

为了做到这一点，我们使用了测度理论中的一个基本结果，即勒贝格密度定理，该定理指出，对于每个集合 $A类$ 积极措施和每一个 $\增量>0$ 有一个间隔 $J型$ 这样 $A\cap J类$ 至少是 $（1-\增量）$ 乘以测量值 $J型$ . （换句话说， $A类$ 内部“非常致密” $J型$ .) 让我们将此结果应用于 $自动（_n）$ ,具有 $\增量=1/3$ ,并将结果间隔设为 $J=[a，a+2h]$ . 所以对于 $2/3$ 的 $x个$ 在里面 $J型$ 我们知道这一点 $f（x）/x\在I_n中$ .

从这里我们可以看出每一个 $z（z）$ 在集合中 $[2a+h，2a+2h]$ 属于 $自动（_n）$ . 这是因为如果 $z\not在A_n中$ ,那么事实是 $自动（_n）$ 在加法下关闭意味着 $x个$ ,任何一个 $x\notin A_n$ 或 $z-x\notin A_n$ . 如果 $z\in[2a+h，2a+2h]$ ,那么每 $x\英寸[a，a+h]$ 我们有这个 $z-x\英寸[a，a+2h]$ . 所以对于每一个 $x\英寸[a，a+h]$ ,任何一个 $x\notin A_n$ 或 $z-x\notin A_n$ . 这意味着 $[a，a+2h]$ 不属于的 $自动（_n）$ 至少是 $小时$ ,反驳了三分之二的观点 $[a，a+2h]$ 属于 $自动（_n）$ .

但如果每 $z（z）$ 在里面 $[2a+h，2a+2h]$ 属于 $自动（_n）$ 和 $自动（_n）$ 在加法下是封闭的，那么证明每一个足够大的实数都属于 $自动（_n）$ （主要是因为 $自动（_n）$ 包含间隔 $[（2a+h）k，（2a+2h）k]$ 对于每个 $k个$ 一段时间后，这些间隔重叠）。

一旦我们得到了每一个足够大的实数，我们就得到了所有正数的实数， $自动（_n）$ 也在操作下关闭 $x\mapsto x/2$ .