远东理论统计杂志
第39卷第2期第79-139页(2012年5月)
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分数布朗运动驱动的多尺度随机波动
K.成田
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摘要: 当风险资产过程是具有恒定波动性的几何布朗运动时,经典的Black-Scholes公式给出了欧洲看涨期权的价格。一个自然的推广是通过随机过程来建模常数波动率参数。在标准布朗运动环境下,风险资产过程和波动过程是期权定价的先例。例如,Fouque等人[6]将快速均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程作为波动过程,通过奇异摄动展开导出期权价格的近似值,然后通过近似值获得隐含波动率。另一方面,Fouque等人[5]、Lee[16]、Sircar和Papanicolaou[24]也表明需要在随机波动率模型中引入一个缓慢变化的因子。
受这些工作的启发,成田[18-20]研究了一类模型,其中波动过程由具有任意Hurst参数的快速或慢速平均还原分数Ornstein-Uhlenbeck过程驱动 并得到了欧式看涨期权的修正价格,从而显示了隐含波动率的渐近性。这些是在波动性冲击和资产价格冲击相互独立的不相关条件下给出的。
在这里,我们引入一类多尺度分数布朗运动驱动的随机波动模型。更准确地说,我们考虑了同时由两个具有任意Hurst参数的分数Ornstein-Uhlenbeck过程驱动的波动过程 一个在快速时间尺度上波动,另一个在缓慢时间尺度上浮动。我们将证明,可以结合快速尺度的奇异摄动展开和慢尺度的正则摄动展开。然后,在波动性冲击与资产价格冲击不相关的假设下,我们将获得欧洲看涨期权的修正价格和隐含波动率的渐近性。因此,修正后的价格围绕经典的Black-Scholes价格展开有效的波动性取决于慢因素。在这种情况下,隐含波动率的前导序项也围绕相同的有效波动率展开。
为此,我们将考虑具有任意赫斯特参数的分数布朗运动影响的投资组合的总价值 引用Hu[10]给出的分数Ito公式,从而导出定价偏微分方程。
如前所述,成田[18-20]处理了分数Ornstein-Uhlenbeck过程的平均复变率为快或慢的受限情况。我们的定理将这些扩展到同时涉及快时间尺度和慢时间尺度的多尺度随机波动模型。
另一方面,Fouque等人[5]研究了波动冲击与资产价格冲击相关的标准布朗运动环境中的多尺度随机波动模型。虽然波动冲击和资产价格冲击是不相关的,但我们的定理将其结果推广到分数布朗运动环境。 |
关键词和短语:分数布朗运动,分数Ornstein-Uhlenbeck过程,伊藤公式,随机波动率,Black-Scholes公式,欧式看涨期权,隐含波动率。 |
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