关于第n位小数的计算
各种超越数。
作者：Simon Plouffe
1996年11月30日
2003年3月修订
摘要
我们概述了计算第n位小数（或任何其他基数）的方法
Pi在C*n^3*log（n）^3时间内的位数，内存非常少。这个
计算基于最近发现的Bailey-Borwein-Plouffe
算法和一种新算法的使用
分解成它的组成部分。该算法可用于计算其他
数字，如Zeta（3）、Pi*sqrt（3），Pi^2和2/sqert（5）*log（tau），其中tau
是黄金比例。无需进行计算
计算前面的数字。我们声称该算法具有更多
理论兴趣而非实际兴趣，我们没有更快地发现
算法，也没有证明不存在算法。
使用的Pi公式为
无穷
-----第2个
\n 2（n！）
)----------=Pi+3（1）
/（2 n）！
-----
n=1
*引言
*关键观察和分割算法
*其他数字
*结论
*参考文献
引言
无理数或超越数第n位的计算
人们认为数字要么不可能，要么很难计算
作为数字本身。去年（1995）[BBP]，找到了一条新路
计算各种常数（如Pi）的第n个二进制数字
和日志（2）。
然后进行了深入的计算机搜索，以确定
该算法可以用于计算任意
底座。我们在这里提出一种计算第n位小数的方法
通过使用比[BBP]更多的时间来计算Pi（或任何其他基数）
算法，但内存仍然很少。
关键观察和公式
观察到分数1/（a*b）可以分解为
k1/a+k2/b采用a/b的连分式算法。
这里a和b是两个素数幂。这相当于
解k1和k2的丢番图方程总是
如果（a，b）=1，则可以这样做，如果它们没有共同点，请参见[HW]
因素。如果我们有两个以上的基本因子，那么它可能是
通过每次做2，然后使用结果进行组合
使用第三个元素。这样，任意大整数M
可以分割成小的元素。如果我们强加条件
仅具有小因子的M（即最大因子
素数幂大小是计算机字的大小），那么
可以表示任意M。如果这是真的，那么一个数字
已知系列和数字
然后可以进行评估。例如，表达式1/C（2*n，n），
中心二项式满足以下条件：
当n较大时，这个数字很小。
例子：
1/C（100,50）=1/100891344545564193334812497256=
1
-------------------------------------------------------
3 4
2 * 3 *11*13*17*19*29*31*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97
现在，如果我们一次取两个元素，并求解简单的
丢番图方程并按此方式进行
1） 1/（a*b）=k1/a+k2/b
2） （k1/a+k2/b）/c=m1/a+m2/b+m3/c
3） 我们继续进行下一个元素。
在每个步骤中，常数k1和k2由以下简单公式确定
将a/b展开为连分数并保留“before”
最后一个‘continuant’，后面的m1、m2和m3被确定为相同
方式。做完那个数字后，我们很快就得出了
（模1）为相同数字但表示为
只有几个小分数的总和。
所以，1/100891344545564193334812497256=
-3/8-61/81-1/11-11/13-4/17-9/19-25/29-26/31+
23/53 + 41/59 + 29/61 + 37/67 + 33/71 + 19/73 + 36/79 + 7/83
+ 13/89 + 88/97
计算这个表达式所用的时间是log（n）*n^2，log（n）
是使用欧几里得算法进行计算所花费的时间
在每个数字上。我们没有考虑花费在
找到表达式中的下一个素数只是因为
我们可以考虑（至少对于
矩）算法的适用性为数千
数字，所以计算素数的时间真的很重要
在整个过程中在该范围内的几秒钟。自从我们
提前知道最大素数是多少
C（2*n，n），那么我们可以用贪婪算法来实现它
直到我们达到2*n，
这可以在不计算实际数字的情况下完成
这显然不适合放在一个小空间里。可以是
循环的一部分，而不必存储除
电流n。对于二项式（2*n，n）中的任何p，最大值
指数是（正如罗伯特·伊斯雷尔指出的）。
2个
-----
\/2牛顿\
) | [---] - [---]|
/|千|
-----\p p/
k=1
等价地，对于p=2，它给出二进制中“1”的数字
n的展开式，对于p=3，还有另一条线索
扩展模式“12”的数量和次数
出现。现在看总和（1/C（2*n，n），n=1..无穷大），我们
可以说这个序列本质上是Pi*sqrt（3），因为它不同
只有4/9*Pi*sqrt（3）+1/3，因为这是2个小定量
我们可以使用BBP算法将计算进行到任意
位置几乎没有时间。仅具有n/C（2*n，n）而非（1）
简化了流程。
为了计算每个项的最终结果，我们只需要很少的内存
元素，
*到目前为止，部分总和为1。（稍后评估
使用BBP算法）。
*4表示电流分数k1/a和k2/b。
*下一个待评估元素为：1/c。
*1代表n本身。
因此，只要8个内存元素，每个学期的总和
（1）可以在不必存储任何数字的情况下执行
在日志（n）时间中大于一个计算机字，将其添加到
（1）的每个元素的总成本是n^3*log（n）。
接下来我们必须考虑的是，如果我们有一个
任意大的M，如果M只有小的因子，则1/M
可以计算。首先，我们需要将1/M表示为
求和（a（i）/p（i）**（j），i=1..k），其中p（i）^（j）是素数
幂和a（i）小于p（i）^（j）。
如果我们有2^n/M，那么使用二进制方法
用（2）表示1/M的元素是可能的
单位为log（n）时间。同样，如果我们不想存储元素
在内存中，我们可以像计算
每个步骤的第一部分。在这个算法中，我们可以
存储2的幂以执行二进制方法或不执行二进制方法。那里
有多种方法可以做到这一点，我们参考[Knuth vol.2]
解释。
这一步很重要，主要是在我们能够代表
1/（a*b）将其拆分，然后再乘以2^n，只需相加
每个元素的log（n）步骤，可以任意执行
因为我们有每个元素的实际分数
(2). 它只推送小数（或
选择的基础）。任何时候只有一个元素
1/M的膨胀考虑了电流分数，
同样的分数可以随时以10为基数表示
如果我们想在这一点上进行十进制扩展。出于这个原因
将当前分数乘以2^n只需要很小的值
数字和分数。
完成后，总成本变为n^3*log（n）^2。这个
成本用于计算
无穷
-----n个
\ 2
) ----------- (2)
/n C（2 n，n）
-----
n=1
其中C（2*n，n）是中心二项式系数。如果我们愿意
在每一步计算（最后的第n位）时，我们需要
记录（n）步骤。可以在
提前，在BBP中，可以在基数2中进行计算，但是
这里我们有独立的实际显式分数
底座的厚度。这是我们实际计算小数的地方
过程最后部分的扩展。
因此，最终可以计算Pi的第n位
C*n**3*log（n）**3个步骤。
其他数字
通过查看与
（1） 或者（3）我们看到[PIagm]、[RamI和IV]的数字
Pi*sqrt（3）Pi、Pi**3、Zeta（3）甚至Pi的幂都可以是
也进行了计算。我们需要满足的条件是：
如果一个级数的任何一项可以分解为
大小不大于计算机字的大小，则它是一部分
那一类的。这包括以下类型的系列：
无穷
-----n个
\c（c）
) --------------- (3)
/第页
-----P（n）C（m n，n）
n=1
其中c是整数，P（n）是多项式，c（mn，n）是近似值
中心二项系数。此类序列包含
许多尚未确定的已知数字
常数，反之则是类似的已知常数
像泽塔（5）这样的大自然尚未被确认为成员
在班上。将序列识别为
用已知常数表示，精确的相反
过程是逆变器[Inv]试图做的。
数字e或exp（1）是和（1/n！，n=0..无穷大）
不满足我们的条件，因为1/n！最终包含
2的高次幂，因此无法计算到第n位
使用我们的算法。
1/n！的因式分解！具有小素数的高幂，
高度2*k和k几乎等于n的大小
只有极少数已知和出现的序列
只是第一个的变种。
其他像伽马或加泰罗尼亚人似乎没有合适的系列
使用Bailey的PSLQ或LLL进行表示和计算机搜索
MapleV和Pari-Gp对此没有给出答案。代数数，如
sqrt（2）还没有得到充分的研究，我们仍然在做
不知道这些是否属于这一类。
结论
有很多，但首先，我们无法抗拒思考
威廉·尚克斯（William Shanks），他在1853年手工计算了Pi——如果他
如果他知道这个算法，他肯定会尝试它
之前他花了20年的时间计算Pi（其中一半是因为一个错误）。
其次，这里显示的算法是理论性的，不实用。
我们不知道是否有改进的方法，如果有，那就是
有理由认为它可以用来检查长时间的计算
就像去年Kanada Yasumasa进行的计算一样
Pi到12410亿位数。可能有办法
加快算法速度，使其成为高效算法。
第三，到目前为止，有两类数字可以计算到
第n位：
1） [BBP]算法中的SC（2）类，包括
多对数。
2） 这类新的数字。接下来是什么？，到目前为止我们还不知道
例如，广义项为H（n）/2**n的级数
是n次谐波数）属于第一类的，可以是
扩展。我们认为，这种新方法只是冰山一角。
最后，有趣的是，我们可以将Pi计算为
第10000位，无需（几乎）存储任何数组或矩阵，因此它
可以使用小型袖珍计算器进行计算。我们还注意到，在一些
我们有一种方法可以在不使用内存的情况下产生圆周率的数字，这意味着
如果我们考虑使用
生成数千位数字的算法。我们认为
其他数字尚未公布，有可能（？）
自然发生的第n位（以任何基数）的直接公式
常数，如log（2）。
致谢
我们要感谢Robert Israel（不列颠哥伦比亚大学）和David H。
Bailey[NASA]感谢他们的宝贵意见。
参考文献
*David H.Bailey、Peter B.Borwein和Simon Plouffe，《快速计算》
各种多对数常数，1997年4月，《计算数学》。
*Bruce C.Berndt，Ramanujan笔记本卷。纽约州斯普林格-弗拉格市，I至IV。
*Pi和AGM，作者：Jonathan M.Borwein和Peter B.Borwein
解析数理论和计算复杂性，威利，纽约，1987年。
*David H.Bailey和Simon Plouffe，《识别数值常量》，预印本1995年。
*不列颠哥伦比亚大学罗伯特·伊斯雷尔，个人交流。
*M.Abramowitz和I.Stegun，《数学函数手册》，多佛，纽约，1964年。
*G.H.Hardy和E.M.Wright，数字理论导论5e，
牛津大学出版社，1979年。
*W.Shanks，对数学的贡献，主要包括纠正
1853年，伦敦G.贝尔，从圆圈到607个小数点。
*D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第2卷：半数值算法，
艾迪森·韦斯利，马萨诸塞州雷丁市，1981年。
*普劳夫逆变器http://pi.lacim.uqam.ca/eng
关键词：Pi，复杂性，算法，n’t数字计算，普劳夫反相器。