Landau’s function for one million billions

Deléglise, Marc; Nicolas, Jean-Louis; Zimmermann, Paul

doi:10.5802/jtnb.644

朗道的一百亿功能

马克·德雷格利什 ¹ ; Jean-Louis尼古拉斯 ¹ ; 保罗·齐默尔曼 ²

¹里昂大学，里昂大学1，CNRS，卡米尔约旦学院，巴特。Doyen Jean Braconnier，21 Avenue Claude Bernard，F-69622 Villeurbane cedex，法国。
²CACAO项目CACAO南希大酒店中心（Centre de Recherche INRIA Nancy Grand Est Projet）-法国，F-54602 Villers-lès-Nancy cedex，Jardin Botanique路615号。

《波尔多葡萄酒命名杂志》，《Tome 20》（2008）第3期，第625-671页。

Soit公司 $𝔖_{n个}$ 南symétrique le groupe $n个$ lettres et公司 $克 (n个)$ l’ordre maximum d’unélément de $𝔖_{n个}$ .Si la factorisation en nombres premires de $M（M）$ 美国东部时间 $M（M） = 问_{1}^{α_{1}} 问_{2}^{α_{2}} ... 问_{k个}^{α_{k个}}$ ，nus définisson $ℓ (M（M）)$ 共产党员 $问_{1}^{α_{1}} + 问_{2}^{α_{2}} + ... + 问_{k个}^{α_{k个}}$ ; 伊利是一个联合国，兰道是一个蒙特利尔 $克 (n个) = {最大值}_{ℓ (M（M）) \leq n个} M（M）$ et que，量子 $n个$ 照看弗斯·利因菲尼， $日志克 (n个) \sim \sqrt{n个日志 (n个)}$ .

我有一个算法浇注计算器 $克 (n个)$ 倒 $1 \leq n个 \leq N个$ ; 儿子temps d'exécution est en $𝒪 ({N个}^{三 / 2} / \sqrt{日志 N个})$ et la place mémoire nécessaire est en餐厅 $𝒪 (N个)$ ; 计算机程序 $克 (n个)$ jusqu'á，disons，un百万。Nous-donons un算法浇注计算器 $克 (n个)$ 倒 $n个$ 朱斯库 $10^{15}$ .《巴黎原则》（L'idée principale est de considérer les nombres dits） $ℓ$ -超级hampions相似设计nombres傲慢的复合晚餐第三章介绍S.Ramanujan pourétudier les grandes valeurs de la function nombre de diviseurs $τ (n个) = \sum_{d日 | n个} 1$ .

让 $𝔖_{n个}$ 用表示对称群 $n个$ 信件，以及 $克 (n个)$ 元素的最大阶 $𝔖_{n个}$ .如果标准因式分解 $M（M）$ 到素数是 $M（M） = 问_{1}^{α_{1}} 问_{2}^{α_{2}} ... 问_{k个}^{α_{k个}}$ ，我们定义 $ℓ (M（M）)$ 成为 $问_{1}^{α_{1}} + 问_{2}^{α_{2}} + ... + 问_{k个}^{α_{k个}}$ ; 一个世纪前，E.Landau证明了 $克 (n个) = {最大值}_{ℓ (M（M）) \leq n个} M（M）$ 而且，当 $n个$ 到无穷大， $日志克 (n个) \sim \sqrt{n个日志 (n个)}$ .

有一个基本算法需要计算 $克 (n个)$ 对于 $1 \leq n个 \leq N个$ ; 它的运行时间是 $𝒪 ({N个}^{三 / 2} / \sqrt{日志 N个})$ 所需的内存是 $𝒪 (N个)$ ; 它允许计算 $克 (n个)$ 比如说，高达一百万。我们描述了一种计算 $克 (n个)$ 对于 $n个$ 高达 $10^{15}$ .主要思想是使用所谓的 $ℓ$ -超配介子数相似的数字高级复合数由S.Ramanujan引入，用于研究除数函数的大值 $τ (n个) = \sum_{d日 | n个} 1$ .

先生

内政部：10.5802/jtnb.644号

主题类别：算术函数，对称群，最大阶，高度复合数。

导演协会：

马克·德雷格利什¹ ; Jean-Louis尼古拉斯¹ ; 保罗·齐默尔曼²

¹里昂大学，里昂大学1，CNRS，卡米尔约旦学院，巴特。Doyen Jean Braconnier，21 Avenue Claude Bernard，F-69622 Villeurbane cedex，法国。
²研究中心INRIA Nancy Grand Est Projet CACAO-bâtiment A 615 rue du Jardin Botanique，F-54602 Villers-lès-Nancy cedex，法国。

@第{JTNB_2008_20_3_625_0条，author={Del\'eglise，Marc和Nicolas，Jean-Louis和Zimmermann，Paul}，title={Landau{\textquoteright}的百万亿函数}，journal={journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}，页数={625--671}，publisher={波尔多大学1}，体积={20}，数字={3}，年份={2008}，doi={10.5802/jtnb.644}，mrnumber={2523311}，语言={en}，url={http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.644/}}

TY-JOUR公司非盟-德雷格利什，马克非盟-尼古拉斯，Jean-Louis澳大利亚——保罗·齐默尔曼TI-兰道100亿美元的功能JO-波尔多葡萄酒命名杂志2008年上半年SP-625型EP-671VL-20为-3PB-波尔多大学1你-http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.644/DO-10.5802/jtnb.644LA-英语ID-JTNB_2008__20_3_625_0呃-

%0期刊文章%马克·德莱格利什%尼古拉斯，珍妮·卢伊斯%保罗·齐默尔曼%T Landau的一百亿函数%波尔多葡萄酒标准期刊%D 2008年%电话：625-671%第20版%N 3个%波尔多大学1%单位http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.644网址/%10.5802/jtnb.644兰特%G en公司%传真：JTNB_2008__20_3_625_0

Deléglise，马克；Jean-Louis尼古拉斯；保罗·齐默尔曼。Landau的功能为100亿美元。《波尔多葡萄酒命名杂志》，《Tome 20》（2008）第3期，第625-671页。doi:10.5802/jtnb.644。http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.644/

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