ç 骑士巡演笔记索引
非相交路径
作者：G.P.Jelliss
本页于2003年7月22日、2011年3月13日、2011月8月3日、2015年3月18日、25日、30日和2015年4月16日修订。
这个主题现在已经扩展到另外三页：
简单对称的非交叉骑士巡游
具有更高对称性的非交叉骑士巡游
其他作品的非交互式旅行
其他显示此次娱乐活动大量结果的网页包括：
切尔诺夫（结果表包括矩形和其他跳跃式）。
埃里克·班维尔（所有溶液3×3至9×9的图表）
Jean-Charles Meyrinac公司（结果表包括16×16的矩形）。
本页上的节：-简介和历史—小矩形板上的骑士—大方块上的骑士—结果和一些分析表.
一个简单的问题或一组问题，会导致一些有趣的复杂模式，而且很难可以肯定的回答是：一块给定的棋子在给定的棋盘上不需要进入就能完成的最长行程是多少任何细胞两次或穿越自己的路径？
虽然它可能不会访问董事会的所有单元格，但这样的路径通常称为“巡视”，因为它从不访问两次通过一个单元格，它覆盖了条件下可能的最大面积。这个长度第L页路径由移动次数及其新闻报道C乘以所用板的面积，由访问的单元格数。在封闭线路中C=L，但在开放线路中C=L+1。
骑士以外的其他棋子的历史和问题结果现在位于单独的页面上。
托马斯·雷纳·道森（1889-1951）提出了骑士在普通8×8棋盘上的问题在他比利时杂志的益智专栏“Echecs Feeriques”中L‘Echiqueier公司（1930年12月，第186期，第1085页）他要求在35个动作中进行公开巡演，在32个动作中结束巡演，并在30个动作中举了一个例子来展示这个想法。以下图表所示的三种解决方案在1931年1月的第1150页中以代数坐标的形式给出。罗马尼亚国际象棋问题专家沃尔夫冈·保利（Wolfgang Pauly，1876-1934）（不要与澳大利亚-瑞士物理学家沃尔夫冈·泡利（1900-1958）]。
年，L.D.Yarbrough重新发现了这个问题娱乐数学杂志1968年（第1卷，第3期，第140-142页），他认为所有小矩形板上的骑士之路都高达9×9。他的一些成绩在R.E.Ruemmler、D.E.Knuth和M.Matsuda于1969年出版的同一期刊（第2卷，第3期，第154-157页）。道森/保利的结果被证实是最好的结果。
罗宾·默森（Robin Merson）报告说，他首先通过出现的一些项目对这个问题感兴趣在杂志上游戏和谜题1972-3年，他发表了一封信（第9期），概述了一些结果。他的研究结果首次发表在游戏与谜题杂志第17期（1999年），主要基于工作他在1990-91年发给我的。直到2002年，我才得知罗宾于1992年8月去世。并不是他的所有结果都复制在下面，所以我在这里包括了他发给我的信件和附图的PDF副本（a） 1990年11月9日在开放路径上和（b） 1991年4月23日在闭合路径上. 红色墨水主要是指第一个引用的数字。
其他作者的贡献将在适当的情况下得到认可。
L.D.Yarbrough（1968）给出了所有9×9的矩形板的结果。
同一期刊（1969年）的其他记者对这些结果进行了改进：
R.E.Ruemmler（7×8和5×9至9×9），
D.E.Knuth（5×6、6×6、7×8、8×8和5×9）和
松田先生（6×6、6×8、5×9、7×9和9×9）。
按移动次数计算，这些作者的最佳结果为：
3×3 = 2; 3×4 = 4; 3×5 = 5; 3×6=6闭合；3×7 = 8; 3×8 = 9; 3×9 = 10.
4×4 = 5; 4×5 = 7; 4×6=9开，8关；4×7 = 11; 4×8=13开，12关；4×9 = 15.
5×5=10开，8关；5×6 = 14; 5×7 = 16; 5×8=19开，18关；5×9=22开，20关。
6×6=17打开或可重入；6×7 = 21; 6×8=25开，22关；6×9 = 29.
7×7=24开，24关；7×8=30开，29开对称，26闭；7×9 = 35.
8×8=35开或折返，32闭；8×9 = 42.
9×9 = 47.
下面是一些有趣的小型游览图。
Knuth和Matsuda（1969）独立地发现了17-move 6×6开放路径，除了旋转或反射之外，它是唯一的。它被引用了很多次，例如在马丁·加德纳的科学美国人专栏（1969年4月）和他的数学马戏团在K.Fabel等人中，沙赫和扎尔（1978），没有得到应有的承认。
Knuth（1969）提出的7×7开解以180°旋转对称，Yarbrough（1969）的封闭解是以90°旋转对称的。现在已经为这些类型的游览打开了单独的页面。
Knuth和Ruemmler（1969）独立提出的30步7×8开放解也是唯一的。有关长方形板上的其他游览，请参阅上述网站。这里我们只报道正方形的木板。这里特别提到这一点，因为它包括在较大的板上常见的拐角构造。
以下是引言中提到的道森和保利在8×8板上的结果图。Bainville网站记录了各种解决方案。我重新绘制了这些路线图，以便分别绘制，以及最初发布的方向。
这是Matsuda（1969）用47步得到的9×9解。
下图是罗宾·默森（Robin Merson）的一些开放式旅行示例，包括他的大众扩展方法的说明（在下面的分析部分中进行了解释）以及Jellis、Fischer、Chernov和Lemaire的新结果。
10×10，开放式，61步，封闭式54步（Merson 1990/91）。
18×18的巡演可以通过大众对这10×10巡演的扩展而形成，但这一巡演来源于开放式巡演巡演只覆盖237个单元，有238个单元是可能的。导出的闭合巡更如下所示。
11×11，开放，76步（Merson 1990）。
13×13，公开，113步（Merson 1990）；
13×13收盘，Alex Chernov出手106次（2011年8月3日），之前的解决方案是104次。
亚历山大·菲舍尔（Alexander Fischer）于2006年发给我的以下两个结果首次在延迟发行的期刊上发表游戏与谜题杂志#452010年4月。
14×14，开放式，Alexander Fischer 135步（2006年9月11日），之前的解决方案是134步。
亚历山大·费舍尔（Alexander Fischer）（2006年9月6日）的16×16开183步，之前的解决方案是181步，
16×16闭合，172步，罗宾·默森（1991）。
181个动作的16×16巡更扩展为453个动作的24×24巡更，如24×24截面以下。罗宾·默森从表中推测，183条路径16×16应该是可能的但没能找到一个。这是亚历山大·菲舍尔（2006）实现的。
伯纳德·勒梅尔（Bernard Lemaire）（2015年3月11日），17×17.公开，211步（210步）。
18×18，闭式，222步由罗宾·默森（1990），由大众10×10闭式扩展而成。请注意，在两个边缘上，VW成型一步移动，以允许额外的连接路径绕过外面。这不是最大值，因为可以达到226。这一巡演可以依次扩展到518步中的26×26步，但520是可能的。
乔治·杰利斯（George Jellis）（2003年7月22日）的长达238步的公开巡演与之并列；这只在去掉两个方面有所不同在罗宾·默森237英里的解决方案中增加了三个步骤。
19×19，开放，罗宾·默森（1990）的268次移动，由大众11×11的扩展形成。
24×24。罗宾·默森（Robin Merson）（1990年）的《453次开放》（open 453 moves）。
此图的一个版本是游戏与谜题杂志第17期（1999年），显示罗宾·默森（Robin Merson）设计的一条非交叉骑士之路，在一块24×24的板上覆盖454个单元，剩下122个单元未使用。粗线条解决了182个细胞中的16×16病例。
24码是罗宾·默森在给我的信中描绘的最大的公开巡演。表中所示26的数字是237-move 18×18解决方案的延伸，25和27到30的数字由他在末尾所示的“超额”值图表所暗示这篇文章。
伯纳德·莱梅尔（Bernard Lemaire）（2015年3月11日）的25×25，开放式，499步，引申自他的17×17例子（498步）。
该表给出了开放式和封闭式非交叉连接的最大尺寸（以移动次数表示）各种尺寸的方形板上的路径。罗宾·默森（Robin Merson）关于最大9×9的开放路径的值与Yarbrough and Co.的工作可能仍然可以在一些较大的板上进行改进。[自首次发布以来的改进用红色标记。其中一些是Alex Chernov的新结果（又名亚历克斯·布莱克）网站：24:453→455；26: 541→542; 30: 742→743; 31:789 N.Makarova（未注明之前的结果）。
| 边 |
打开 |
关闭 |
边 |
打开 |
关闭 |
边 |
打开 |
关闭 |
| 三 |
2 |
0 |
13 |
113 |
106 |
23 |
414 |
396 |
| 4 |
5 |
4 |
14 |
135 |
124 |
24 |
455 |
434 |
| 5 |
10 |
8 |
15 |
158 |
148 |
25 |
499 |
476 |
| 6 |
17 |
12 |
16 |
183 |
172 |
26 |
542 |
520 |
| 7 |
24 |
24 |
17 |
211 |
200 |
27 |
588 |
564 |
| 8 |
35 |
32 |
18 |
238 |
226 |
28 |
638 |
612 |
| 9 |
47 |
42 |
19 |
268 |
256 |
29 |
689 |
662 |
| 10 |
61 |
54 |
20 |
302 |
288 |
30 |
743 |
714 |
| 11 |
76 |
70 |
21 |
337 |
322 |
31 |
789 |
768 |
| 12 |
94 |
86 |
22 |
374 |
360 |
32 |
772 |
|
完全覆盖一个区域的骑士动作最简单的安排是（a）封闭平行（b） 横向之字形，（c）对角线之字形或（d）这些的组合。当我们考虑加入的方式时这些相邻的线成对排列，使用与边角紧密贴合的连接，即对角线之字形（c） 或加长型（d）证明是最经济的。
罗宾·默森（Robin Merson）特别注意以下他命名的案例。有可能在特定巡视路线n×n的每个边缘内插一个VW结构，以在（n+8）侧方格上给出巡视路线，尽管这并不总是保证最终的巡演具有最大长度。
罗宾给出了以下指示，以确定巡演的长度，而不计算所有线路：沿着未访问的正方形上的每条边放置（n–2）个黑色十字（x）[即每行或每列一个垂直于边缘，但末端除外]。在每个剩余的未访问正方形中放置一个红色斑点（o），并计算这样的斑点数量，b，他称之为损失在这次旅行中。然后在开放式旅游是L=n²-4（n–2）–b–1=n²–4n+7–b。例如在如下所示的11×11线路中，n=11，b=8，L=76。[如果我们计算覆盖范围而不是长度LC、 Merson公式可以采用C=（n–2）²+4–b的形式，适用于开放式或封闭式旅游。估计值C»（n–2）²+4比Yarbrough对矩形板推测的值（m–2）（n–2）。]注意，引入了八个空洞（x），每个多余的列组或文件一个，外加四个多余的空洞（blob，o）每个VW编队，每侧插入一个。
VW扩展期间，什么功能保持不变？电路板尺寸从n增加到n’=n+8。在n×n巡回赛中，我们有C=n²–4n+8–b。在开放巡回赛中损失变为b'=b+16（每侧4个额外水滴），而在封闭的巡回赛中，它变成b'=b+24（顶部和左侧额外有4个斑点，右侧和底部额外有8个斑点）。因此，在开放情况下，2n–b保持不变（即2n’–b’=2n–b），而在封闭情况下，3n–b是常数。这些数字可以被调用这个过量的（E） 旅行的一部分。将它们写成gn–b（g=2表示打开，3表示关闭），我们可以得到以下公式：E=C–n²+（4+g）n–8，其中4+g等于6表示打开，7表示关闭。
以下是迄今为止发现的最大值的E图。在n的开放情况下>10，C>n²–6n+22。该图表明，开放旅游的最大E值为16，还是会进一步增加？对于非公开游，超额增长到22的峰值，然后下降，罗宾说他会感到惊讶如果任意n大于31，则该值大于16。总结：7<n个<最大31长度游览的长度至少为n²–7n+24，对于n>31，长度至少为n²–7n+22。
封闭和开放旅游的多余地块。
[以上描述与Merson的原始版本略有简化，他在原始版本中定义了封闭旅游相当于E+8，开放旅游的“优势”相当于E+7（相差1根据长度L=C–1）进行定义。]
我还没有尝试更新此图表以考虑最近的结果。