关于一般回文数

哪些四面体数，即形式（b*（b+1）*（b+2））/6的数，是也是回文的，意思是他们的数字前后读的一样？例如，Patrick De Geest指出b=336表示十进制回文当然，如果我们不局限于十进制表示我们可以找到许多这样的数字。四面体的base-9表示数字k（k+1）（k+2）/6是以下k值的回文（如十进制）：k k（k+1）（k+2）/6（以9为基数）------    -----------------------------1                         12                         43                        114                        2212                       44413                       555120                    488884588                  710660171093                 50555550588573           505055555550505不用说，“四面体”数只是二项式系数C（k，3）。C（k，3）的base-3表示为以下回文k的值k C（k，3）（以3为基数）------    -----------------------------1                         12                        113                       1014                       2026                      200212                    11111114                    20220239                 112121211120              112222222211392           201000222000102496          1102111111112011同样，我们有基数8中的C（1105,3）=1534114351C（521,3）=1122123212211 in底座4基数7中的C（1166,3）=6364334636C（82332,3）=底座27中的12 5 9 13 18 18 13 9 5 12还有一个四面体数C（k，3），其基B表示是回文的，其中k和B都是正方形（k=441，B=16）。当然，每个正整数在一些基础。如果我们让f（n）表示与之相关的最小基数n是回文，那么f（n）显然不大于n-1，因为每个数字n在基数（n-1）中都有回文形式“11”。有趣的是，对于几乎所有整数n，f（n）的值实际上是很小，可以从下表中收集到：n个f（n）n个f--- ----      --- ----      --- ----      --- ----      --- ----1   2        21   2        41   5        61   6        81   82   3        22  10        42   4        62   5        82   33   2        23   3        43   6        63   2        83   54   3        24   5        44  10        64   7        84  115   2        25   4        45   2        65   2        85   26   5        26   3        46   4        66  10        86   67   2        27   2        47  46        67   5        87  288   3        28   3        48   7        68   3        88   59   2        29   4        49   6        69  22        89   810   3        30   9        50   7        70   9        90  1411  10        31   2        51   2        71   7        91   312   5        32   7        52   3        72   5        92   613   3        33   2        53  52        73   2        93   214   6        34   4        54   8        74   6        94  4615   2        35   6        55   4        75  14        95  1816   3        36   5        56   3        76  18        96  1117   2        37   6        57   5        77  10        97   818   5        38   4        58  28        78   5        98   519  18        39  12        59   4        79  78        99   220   3        40   3        60   9        80   3       100   3f（n）=n-1的数字是3,   4,   6,  11,  19,  47,  53,  79, 103, 137, 139, 149,163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359,367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853,877, 977, 983,...这些可能被称为“非回归数字”，因为它们是从开始的所有基数中唯一不是回文的数字n2到n-2。命题：如果f（n）=n-1表示n>6，则n是素数。证明：如果n=ab带有a<（b-1）和b>2，则我们有n=a（b-1）+a，因此，n在基底（b-1）中表示时具有回文形式“aa”。这包括所有大于6的复合材料，除平方底漆外，但对于正方形，我们有一个^2=（a-1）^2+2（a-1）+1，所以每个正方形n>4在基数sqrt（n）-1中具有回文形式121。完成。非正向素数与所有素数的比率随着射程增加。例如，在1229个素数中，小于10000我们发现218例为非综合征，约占总数的1每5.6。在9295个小于100000的素数中，我们只找到1199个是非循行性的，约占7.75分之一。在相反的极端，有一些素数已经以2为基数的回文，尽管这些更加稀少而不是非溯河素。最初的几个是3, 5, 7, 17, 31, 73, 107, 127, 257, 313, 443, 1193, 1453, ...返回函数f（n）以获得n的一般值（不受限制很明显，f（n），n=1,2,3，。。。在2和之间波动n-1，但我认为f（n）对于从1到无穷大的所有n的平均值是n中的多项式。具体来说f（n）_平均值=n^（1/c）其中c是一个约等于2.68的常数。换句话说，我猜想1亿吨（千）lim----总和--------=cn->inf n k=1 ln（f（k））但我不知道如何证明这个极限确实存在。总之，当n时观察f（n）的值也很有趣是主要力量。例如，2的幂具有以下值f（n）的：n在基f（n）中的nf（n）表示---  ----     ------------------------------------2    3      24    3      1  18    3      2  216    3      1  2  132    7      4  464    7      1  2  1128    7      2  4  2256   15      1  2  1512    7      1  3  3  11024    7      2  6  6  22048   31      2  4  24096    7      1  4  6  4  18192   15      2  6  6  216384   15      4 12 12  4一般来说，最小基回文表示2^m是二项式展开式的倍数，即。，2^m=2^r[（2^s-1）+1]^t显然我们有m=st+r下表列出了数m：百万富翁-  - - -        -  - - -        -  - - -1  1 2 0       11  1 5 2       21  1 5 42  0 2 1       12  0 3 4       22  2 5 43  1 2 1       13  1 4 3       23  2 7 34  0 2 2       14  2 4 3       24  0 6 45  2 3 1       15  0 5 3       25  0 5 56  0 3 2       16  0 4 4       26  1 5 57  1 3 2       17  1 4 4       27  3 6 48  0 4 2       18  3 5 3       28  0 7 49  0 3 3       19  1 6 3       29  1 7 410  1 3 3       20  0 4 5       30  0 5 6在每种情况下，三元组（r，s，t）的s在约束条件/（2^r）*C（t，t/2）如果t是偶数2^s-1>（\（2^r）*C（t-1，（t-1）/2）如果t是奇数其他首相的min-base回文表示也往往是二项式展开的倍数，但并不总是如此。对于例如，3^7的min-base表示是基数24。此外，7^6的min-base表示为[1 2 3 2 1]在底座18中。这就提出了一个问题，即min-base是否2的幂的表示总是二项式的。有人能提供证据或反例吗？