求解幻方

生成所有可能的NxN魔法的最有效方法是什么正方形？显然正在尝试所有（N^2）！可能的安排和检查“魔法”是禁止的。大概这是而不是伯纳德·弗雷利克·德·贝西（Bernard Frenicle de Bessy）在1693年使用的方法确定正好有880个不同的4x4幻方，而不是计算旋转和反射。（有人知道他用什么方法吗实际使用？）有几种更现代的主题处理方法，例如康威的《致胜之道》一书，但它们似乎主要接近关于等价类和变换的问题各种各样。这种方法当然很有启发性，但尝试用代数方法“解决”这个问题也很有趣。一般来说，当处理NxN正方形时，其中N是奇数有助于从每个数字1到减去（N^2+1）/2N^2，因为这使所有公共和为零。例如，使用我们从每个数字中减去5，得出典型的3x3平方a b c 1-4 3d e f=20-2g h i-3 4-1这使得很明显只有一种可能3阶幻方，最多可旋转和反射。这个可以也可以通过组合变量的代数条件来看到除去两个变量以外的所有变量，得到二次曲线2a^2+2ab+b^2=10（1）（请参见注释1用于推导。）这是一个八点椭圆晶格点(-3, 2)  (-3, 4)   (-1, 4)   ( 1, 2)( 3,-2)  ( 3,-4)   ( 1,-4)   (-1,-2)   每一个代表八个旋转或反射中的一个一个3x3的魔方。因此，方程式（1）和八格点可以被视为3x3幻方的“解”。要显式求解这些晶格点，请注意以下等式（1） 基于线性条件以及平方和，我们可以根据立方体的和四次方之和，依此类推。结果是，立方体的和再次给出方程（1），但四次幂之和给出四次方6 a^4+12 a^3 b+10 a^2 b^2+4 a^3+b^4+96（2a^2+2ab+b^2）=1078用等式（1）中括号内的量代替，这减少到6a^4+12a^3b+10a^2b^2+4a^3+b^4=118（2）满足方程式1和2的点（a、b）的轨迹如下所示如下图所示：这两个椭圆在晶格点相交。四次方（2）恰好在自由基中有一个很好的解，并且四个根都与上图中的相似各种标志。我们可以通过以下方法从方程（1）和（2）中消除b将它们中的每一个解为b，并将结果设置为相等。然后稍加操纵，我们就达到了目的a^4-10a^2+9=（a^2-1）（a^2-9）=0它显示“a”的值（出现在3x3幻方）必须是+-1或+-3，而这确实是四个3x3幻方的角值，以及所有剩余条目与这些线性相关。因此，我们已经完全解决了3x3魔方的入口。当然，基本上有只有一个这样的正方形，所以我们的解决方案是唯一的（直到旋转和反射）。对于一个不太常见的情况，考虑一般的4x4幻方a、b、c、de f g hi j k l公司百万富翁对于偶数阶平方，数量（N^2+1）/2是一个半整数，因此在这些情况下，我们将1-16范围内的原始术语x'转换为相应的集中项x在-（N^2-1）到+（N^2-2）范围内通过应用转换x=2x'-（N^2+1）。因此，使用4x4魔法平方，而不是使用值1到16有符号奇整数-15，-13+15利用这16个变量的代数条件，我们发现平方通常可以由分配给5个元素（例外情况见下文）。这是因为，考虑到g、h、k、l和p的集中值，f和o的值必须满足等式（f+A）（Bo+C）=DE（2）哪里A=2p+k+l+h B=g+k D=A-g C=E+FE=（l+k）（l+h）+p（g+h+l+k为了举例说明，考虑一下阿尔布雷希特·杜勒雕刻中的正方形“Melencolia”，它有g’=11 h’=8 k’=7 l’=12 p’=1或者，在集中术语中g=5小时=-1 k=-3 l=7 p=-15这就得到了A=-27，B=2，D=-32，E=-96，F=-54，C=-150，所以除以整个方程（2）乘以2，f和o的值必须满足（27-f）（75-o）=1536转换回1-16范围，此条件为（22-f'）（46-o'）=384在1-16范围内只有一个解，即[f'=10，o'=14]，与杜勒的雕刻一致。从这些来看，这是一件简单的事情使用诸如a'+d'+p'+m'=34的关系填充剩余的单元格e+h=j+k等。在这个注释的前一个版本中，我问方程（2）是否必须通向一个独特的魔方。Russell Blau已经证明了这一点，通过生成两个不同的4x4幻方，其值相同g、 h、k、l和p。根据集中值，这些平方为-5-13 5 13 7-13-7 13-3    9  -9    3            9   -3   -9    31  -11  11   -1          -11    1   11   -17   15  -7  -15           -5   15    5  -15对于这两个正方形，我们有g=-9，h=3，k=11，l=-1，p=-15，以及所以A=-17，B=2，C=-26，D=-8，E=-40，F=14。将这些值插入（2） 除以2得到f和o的条件：（f-17）（o-13）=160此方程在-15到范围内的奇整数中的解+15个（f，o）=（-3,5）、（1,3）、（7，-3）和（9，-7）但只有（-3，5）和（9，-7）给出了有效的幻方。这很自然这就提出了一个问题，即这有多普遍，以及是否可以给定参数集（g，h，k，l，p）的两个以上解。为了回答这些问题，我检查了16个排列中的所有524160个一次取五个数字，并确定有效数量（如果有）他们各自给出了解决方案。结果是4232套五个元素导致一个或多个有效的幻方，如总结的那样如下表所示：五套数字前导不同to k有效魔法k魔术方块---    ---------------    ---------1          2176             21762          1656             33123 80 2404 304 12165             0                06            16               96-----            -----4232             7040这说明了4x4幻方中的所有7040个。当然，每个其中可以有四种定向方式，然后再翻转四种方式，所以实际上只有7040/88=880个不同的4x4幻方旋转和反射。顺便提一下，这里有一个例子一组参数{g，h，k，l，p}的六个不同正方形：1  -9  -7  15       1  -7  -9  15      -3 -13   1  1513   3 -11  -5      13   3 -11  -5       9   7 -11  -5-13  -3  11   5     -13  -3  11   5      -9  -7  11   5-1   9   7 -15      -1   7   9 -15       3  13  -1 -15-3   1 -13  15      -9  -7   1  15      -9   1  -7  159   7 -11  -5       3  13 -11  -5       3  13 -11  -5-9  -7  11   5      -3 -13  11   5      -3 -13  11   53  -1  13 -15       9   7  -1 -15       9  -1   7 -15这是一个退化的情况，在这个意义上，它给出a=-19，D=-8，和B=C=E=F=0，所以F和o之间的关系是相同的满意，因此没有用。有几个问题尚未回答：最简单的方程式是什么这五个参数（类似于3x3的（1）方块）？该曲面的每个晶格点对应吗旋转或反射正方形？有关魔术方块的更多信息，请参阅4x4幻方的行列式
幻方
正形幻方
自动中值三角形、特征向量和幻方
富兰克林魔术方块