飞镖板序列

                围绕标准圆周的数字排列省道板如下图所示20 1 18 4 13 6 10 15 2 17 3 19 7 16 8 11 14 9 12 5奇怪的是，似乎没有人确切知道这种特殊的安排已选定。它显然可以追溯到至少100年前。有人说图案是由一位名叫布赖恩·加姆林的木匠在1896年设计的，而其他人把它归于1913年托马斯·威廉·巴克尔（Thomas William Buckle），但这些归因都是相对较新的，都无法追溯当代来源。此外，尽管很明显命令将大小混合在一起，并可能分开数值上尽可能接近值（例如，20距离19远），否人们似乎知道有什么简单的标准可以唯一地挑出这一点在任何数量意义上，尽可能最好的特定安排。这种特殊的安排可能只是历史的偶然已被采用为标准省道板格式。考虑各种可能的标准来选择前n个正整数的循环排列。为了获得尽可能使分布“平坦”，我们可以尝试将每个k个连续项的平方和。例如，设置k=3，标准标准板序列给出(20+1+18)^2 + (1+18+4)^2 + (18+4+13)^2 + ... + (5+20+1)^2  =  20478显然，上面描述的标准板布局称为“伦敦”飞镖板，还有一个不太常见的版本，叫做“曼彻斯特”飞镖板20 1 16 6 17 8 12 9 14 5 19 2 15 3 18 7 11 10 13 4其中，每组三个连续数字的平方和为20454，略低于伦敦协议。相反，如果我们通过交织最大的和像这样的最小数字20 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10  每个连续3个元素的平方和为20510，因此从这个意义上说，标准飞镖板是更平坦的分布。不用说，所有这些安排都比自然单调序列1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20总计24350英镑。顺便说一句，注意如果每三个平方和的平方和给定排列的连续数字是S，然后我们可以形成另一个只需取“21补码”，即。，从21中减去每个数字。例如标准伦敦安排是1 20 3 17 8 15 11 6 19 4 18 2 14 5 13 10 7 12 9 16与伦敦协议金额相同（20478）。这很管用因为如果我们从安排a、b、c、d……开始，。。。拥有总数S=（a+b+c）^2+（b+c+d）^2+。。。并替换每个数字a、b、c，。。。带有21-a、21-b、21-c，。。。分别，这个互补安排的总和S’为S’=[（21-a）+（21-b）+。。。=[63-（a+b+c）]^2+[63-[（b+c+d）]^2+。。。=S+20（63）^2-2（63）[（a+b+c）+（b+c+d）+…]从1到20的每个数字在总和中出现三次在最后一项的方括号内，使总和等于630，因此S'=S。（相同的恒等式适用于N+1补码对于圆的k个连续项的每一个和的平方和前N个整数的排列。）我们如何找到整数的循环排列1到20表示每三个平方和的最小平方和连续数字？一种可能的方法是从单调排列，然后检查两个可能的换位数字以查看哪个结果最低。然后做出改变重复这个过程，在每个阶段总是选择换位这是总和的最大缩减。这个“贪婪算法”产生具有以下总和的排列（每3个的平方循环中的连续项）：24350  21650  20678  20454  20230  20110  19990  1997019950  19946  19938  19936  19930  19926  19918一旦与19918年的金额达成协议两个数字的换位可以使总和减少。当然，这并不意味着19918年是可能的最小金额，只是意味着这是“本地”最小值。我们可能会尝试进行搜索通过考虑所有可能的排列，算法更加稳健每个阶段三个数字。（这包括两个的排列，因为三个数字的一些排列留下了其中一个数字固定。）将贪婪算法应用于任意三种排列数字给出了飞镖板和总和的排列24350  21542  20362  20098  19978  19954  19942  19930一旦我们到了19930年，三个数字就不再排列了总额的任何减少。有趣的是，这甚至不会产生结果与简单的换位一样低，它说明了事实上，局部最小值不一定是全局最小值。通过应用三个元素的排列，算法过于贪婪而进入配置空间的一个区域，无法通过排列，而换位遵循一条不太陡峭的路径这最终将他们引向一个较低的层次。扩展我们的算法以检查四个数字的所有排列，我们得到一系列镖靶排列，其总和如下：24350  20678  20190  19974  19932  19918  19910  19908  19902  19900  19896  19894因此，我们得出了迄今为止我们所见过的最低金额，但这当然是仍然只是一个局部最小值，不能保证它是最低的可能的总和。扩展我们的算法以充分利用五个数字在每个阶段的排列，我们得到镖板布置1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 206  2 19  4  5 16  7  8  9 10 11 12 13 14 15  3 17 18  1 201 2 19 9 5 18 7 8 16 10 12 4 14 15 3 17 13 1 2010  2 19  9  5 18  7  8 16  6 11 15  4 14 13  3 17 12  1 20这些安排的总额为24350、20406、19992和19874分别是。通过将这些算法的各种组合应用于各种初始安排，我们往往可以得出最终的总数19874年，但从未达到任何更低的金额。然而，似乎有三个与这个总和的不同安排（直到旋转和反射）。它们每个都有1个相邻的20个，因此要比较这些安排如果需要，我们将直接旋转和反射它们，以便它们开始其中20和1。按照这个约定，三个最小序列，标有（a）、（b）和（c）的是（a） 20 1 11 19 2 12 16 3 14 13 5 15 10 6 17 7 8 18 4 9（b） 20 1 11 18 2 13 15 4 12 5 16 9 7 17 6 8 19 3 10（c） 20 1 12 17 3 13 14 4 15 11 6 16 8 7 5 9 19 2 10（a）和（b）序列之间的差异，以及（c） 和（b）序列，如下所示：0  0  0  1  0 -1  1 -1  0  1  0 -1  1 -1  0  1  0 -1  1 -10  0  1 -1  1  0 -1  0  1 -1  1  0 -1  0  1 -1  1  0 -1  0有趣的是，如果我们颠倒低差异的顺序然后向右旋转两个位置，结果正好是负数上面的差异。这是因为（a）和（c）安排是21个互补项（如上所述）。（b）安排是“自对偶”的，即它是自己的补充。我们还注意（a）和（b）因换位而不同(3,4)  (6,7)  (9,10)  (12,13)  (15,16)  (18,19)而（b）和（c）因换位而不同(3,2)  (6,5)   (9,8)  (12,11)  (15,14)  (18,17)因此，这三个最小序列在排列上彼此不同六个数字的排列，只有五个或更少的数字才能排列如果我们要求总和在每个排列上下降或保持不变。但如果我们允许六个数字的排列，振荡就成为可能在这三种安排之间，以恒定和分步进行。这是“对称破缺”的一个有趣例子。在较低的“能量”下（较少条款的排列）每一系列安排都在进行几种可能的稳定极限安排之一，但在较高的“能量”（更多项的排列）下，这些渐近安排可以相互转换，因此序列可以在它们之间摆动。（当然，如果我们允许所有一次20项，然后任何排列都可以转换为任何其他排列只需一步。）尽管有大量的数字证据（a）、（b）和（c）安排的对称性，人们仍然可以质疑我们的搜索算法是否基于五元素排列可以保证找到全局最小值。为了证明这三个上述安排（a）、（b）、（c）确实是绝对最低的解，注意三个连续元素之和必须为630，即1到20之间整数之和的三倍。如果我们不需要整数值，则会给出最小解通过均匀分布，每个连续三项之和将为31.5，但由于我们需要整数值，因此不需要这样做。我们可以考虑这样的安排：术语是31或32，但很容易看出，这不能导致可接受的解决方案。请注意，四个变量的两个连续3和元素n1、n2、n3、n4是n1+n2+n3和n2+n3+n4，所以如果这两个3和是等于，则得出n4=n1，因此这不是一个可接受的解决方案（这20个元素是不同的）。同样，我们可以证明两个3和不能交替两次以上。因此，最平坦的可能安排是不被这些简单的考虑排除必须有两个以上3和的不同值实际上，19874的解包括3和值30、31、32和33的价分别为6、4、4、6。（a）、（b）和（c）安排的这三项金额如下所示（a） 32 31 32 33 30 31 33 30 32 33 30 31 33 30 32 33 30 32 33 30 31 33 30（b） 32 30 31 33 30 32 33 30 31 33 33 30 32 30 31 31 33 30 30 31 33 32 31（c） 33 30 32 33 30 31 33 30 32 32 33 30 30 30 32 33 33 30 32 30 31 31通过检查值30、31、32和33的每个序列，检查为了查看哪个对应于整数1到20的3和，我们发现事实上，唯一可行的序列是那些与安排（a）、（b）和（c）。因此，这些是圆形布置整数1到20的平方和连续项的可能值最小，即19874。（如果我们计算每三个连续元素的平方和我们发现这些3和序列产生178614178618，并且分别为178614。）（a）、（b）和（c）序列分别由三个交错的算术级数。如果我们指定每个数字的位置通过模20的整数，值的位置如下如下表所示。位置模20值（a）（b）（c）3k+1-3k-3 6k 6k k=0至63k+26k6k+3-3k-3k=0至63k+36k+3-3k-36k+3k=0至5顺便说一下，找到最大化（而不是最小化）的安排加起来，我们可以很直观地将最大的数字进行聚类尽可能紧密地结合在一起。这导致了安排20 19 17 15 13 11  9  7  5  3  1  2  4  6  8 10 12 14 16 18其金额为25406。事实上，这是我使用过的最高金额具有2、3、4和5个元素排列的贪婪算法（选择每个阶段的最高值而不是最低值），尽管这很有趣有许多初始安排，而该算法没有导致这一全球最大值。一般来说，如果H（n，k）和L（n，k）是圆形排列中每k个连续元素的平方前n个正整数中，是H（n，k）和L（n，k）的值众所周知和/或易于计算？另一种可能的“优化”数字1排列的方法在飞镖板上从20到20是为了使方块之和最小化每两个（而不是三个）连续数字的总和。一般来说，我认为两个连续数字的每个和的最小平方和在整数1到N的循环排列中S_min（N）=N^3+2N^2+2N-j其中，如果N是奇数，j是1；如果N是偶数，j就是2。对于特定的在N=20的情况下，该公式给出的最小和为8838。对于偶数N，最小排列有奇数和偶数仅限于循环的单独一半，如下所示对于N=201   3   5   7   9       10   8   6   4   219  17  15  13  11       12  14  16  18  20 对于奇数N，最小排列非常简单，如下所示对于N=19。1   3   5   7   9   11   13   15   17   1918  16  14  12  10   8    6    4    2这提出了一些有趣的问题。给定任何循环整数0到n-1的排列，让S表示总和每两个连续数之和的平方，设v（n）表示所有n的S的不同值的数目！可能的安排。以下是不同v（n）的值n v（n）-----        ---------1              12              13              14              35个86             21          7             438             699 10210            145休·蒙哥马利（Hugh Montgomery）、A.M.Odlyzko和比约恩·普宁（Bjorn Poonen）开发了一种很好地解决了这个问题，显示了带有n> 6由以下公式给出/（n^3-16n+27）/6，如果n是奇数v（n）=(\（n^3-16n+30）/6，如果n是偶数一系列有趣的序列可以由将定义概括如下：给定任何循环整数0到n-1的排列，让S表示总和k个连续数的每一个和的第q次幂。然后设v（q，k，n）表示所有S的不同值的数目可能的安排。根据这个命名法，前面的序列表示为v（2,2，n）。当然，对于所有k和n，我们都有v（1，k，n）=1，因为第一权力独立于该安排。我们也有v（q，1，n）=1，因为个体的任意固定幂之和数字也与排列无关。此外，对于固定q和n的值，函数v在k中是周期的。另一个推广是将一些常量整数j添加到每个从0到n-1。因此，一般函数有四个指标，v（q，k，j，n）。注意，对于q<3，v与j无关，但对于更大的q，j的值变得重要。v（q，k，j，n）可以用作为指数函数的闭合形式？哪个其他整数序列包含在这个家族中？哪些连续函数（例如，sin（x）、cos（x）、exp（x）等）可以用序列来近似这种形式的？