无限多Rhondas

阿尔伯特·威兰斯基（Albert Wilansky）曾指出，电话号码（4937775）他的姐夫哈罗德·史密斯的财产是十进制的总和数字（42）也是其素数（3，5，5，65837）的数字之和。为什么Wilansky在第一次考虑他姐夫的电话号码地点不详，但带有所述财产的号码现在叫史密斯数字，并已成为相当多的研究对象。当然，a素数自动是一个史密斯数，但许多复合数也是史密斯数数字。前几个是4、22、27、58、85、94、121、166、202、265和很明显，史密斯的数字并不罕见。事实上，在积极的方面小于10的整数⁴有1605个史密斯号码，其中376个是复合的。因为它们数量如此之多，所以毫不奇怪可以找到连续的Smith数序列。例如，有八对连续的合成史密斯数小于10⁴,最小的是728和729。连续三组中最小的一组复合史密斯数（以10为基数）以73615开始。（在二进制中第一个序列八连续复合Smith数开始1544053）数字729=3⁶也是值得注意的小于10的10平方史密斯数⁵。其中包括一些平方素数，例如51529=227².

假设史密斯的电话号码或多或少被选中随机地，这就提出了一个问题：对于任意选定的整数具有某些特殊或值得注意的属性。它是可以找到一个有趣的属性任何数字？（当然，有基于最小正整数这一事实的著名悖论没有有趣的属性是有趣的属性。）在这个我想起了朗达数字。前任的街道地址我的熟人是25662 W。有些东西，人们立刻注意到25662的素因子为2、3、7、13和47，其和为72，而十进制数字的乘积是720，即B乘以72。因此，我们可以将以B为基数的Rhonda数字定义为整数，以便以B为基数的数字等于B乘以素因子之和。这个朗达数的最小例子是以12为基数的560。因此朗达数字比史密斯数字难得多了。显然B必须是复合，因为如果B是一个基数B中的数字的最低有效数字必须是零，使数字的乘积为零。然而，尽管它们很罕见，我们可以证明以下内容。

提议：有无限多朗达数字。

证明：设ξ（n）表示素数的和n因子（包括重复因子）。然后，对于任何大于5的整数数字N=km（m+1）（2m+1）²是以B为底的朗达数=2km（m+1），其中k是任意整数

我们确信至少存在一个k满足这个方程，因为ξ（n）≤n，这意味着负项右侧的组合不能大于6m+3，即小于m（m+1），对于m>5。因此，ξ（k）的上述表达式是正整数u。如果u是偶数，则u=2s，k=2^秒满足方程式。如果u是奇数，则u=2s+3和k=3（2^秒)满足方程式。

以B为基数的N的数字是d₀=公里（m+1）和d₁=2m（m+1），则这些数字的乘积为2k（m²)（m+1）².此外，由于ξ函数是可加的，我们有

因此B乘以ξ（N）等于2k（m²)（m+1）²,它等于所需的B进制数字的乘积，完成证明。

一般来说，对于m的每个值，都对应几个不同的Rhonda数，ξ（k）的每个素数分区一个。这个这个结构给出的朗达数的最小例子是28392相对于基底336（对应于m=6和k=4）。

在这种情况下，数字140800有一个有趣的属性。该数字在几个基数中的位数如下所示：

在每种情况下，数字除以基数的乘积等于39，正好也是140800的素因子之和=(2⁹)(5²)(11). 因此，这是朗达数相对于八个不同的基地。有朗达的号码吗数到任意多个基数？

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