计算有根的定向多民族：12 1 5 3 1 13 9 4 1 35 26 14 5 1 96 75 45 20 6 1 267 216 140 71 27 7 1 750 623 427 238 105 35 8 1 递归：当k>0时，A[n，k]=A[n-1，k-1]+A[n-1，k]+A[n-1，k+1]。当k=0时，A[n，k]=2*A[n-1，k]+A[n-1，k+1]。这种递归的一个简单结果是行和是三的幂。与三项式系数的关系：A[n，k]=T[n，k]+T[n、k+1]。解释：根有向多项式表：A（0,0）=1：z（z）A（1,0）=2：x个z x z（z x z）A（2,0）=5:xx x x xz x x z x z x x x z zA（3.0）=13：x x x xz x x x z x x z x x z x x z z x z z x z x zx个x x x x x x x xx x x x x x x xz z x z z z x x z根用z标记。每再加一个平方就是作为一个正确的或更高的邻居。递归公式可以在这个模型中解释，但这很难（参见[Gouyu Beauchamps，Viennot]）。参考文献：-Dominique Gouyou-Beauchamps和G.Viennot，二维有向动物问题与一维路径问题，应用数学进展。，9 (1988) 334--357; MR 90c:05009。[平面中晶格点的集合$P$称为有向如果存在$P$的子集，则为animal，其元素称为root点，使根点位于垂直于行$y=x$，$P$的每个点都可以从根到达$P$中的一条小路，仅使用北向和东向台阶。这个这篇论文涉及根深蒂固的动物的计数，这些动物的根点是连续的。只有翻译不同的动物被认为是等效。主要结果是在根深蒂固的动物之间形成双射大小为$n+1$，整数上的路径长度为$n$步骤+1、0和$-1$。这个双射意味着$3^n$大小为$n+1$的紧凑型动物。此外双射法允许计算根深蒂固的动物根据根点数。进一步的后果是具有一个根的定向动物的生成函数点是${1\over2}（（1+t）/\sqrt{1-2t-3t^2}-1）$，并且在原产地扎根的大小为$n$的定向动物数量包含在第一个八分位$0\leq x\leq y$中的是莫茨金数$m_{n-1}$。这篇论文还引用了许多物理学家的工作研究中出现的动物计数问题临界现象和相的热力学模型过渡。{\it-Ira Gessel}]-------------------------------------------------------------------------------（居中）三项式系数T_n（x）=（1/x+1+x）^nT[n，k]=[x^k]（1/x+1+x）^n=T[n-1，k-1]+T[n-1，k]+T[n-1，k+1]（当n>=1时）电话：-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 711 1 11 2 3 2 11 3 6 7 6 3 11 4 10 16 19 16 10 4 11 5 15 30 45 51 45 30 15 5 11 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 11 7 28 77 161 266 357 393 357 266 161 77 28 7 1-莫茨金三角M_n（x）=（1-1/x^2）（1/x+1+x）M[n，k]=[x^k]（1-1/x^2）（1/x+1+x）^n=T[n，k]-T[n，k+2]=A[n，k]-A[n，k+1]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k]+M[n-1，k+1]（当n>=1时）电话：-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7-1 0 1-1 -1 0 1 1-1 -2 -2 0 2 2 1-1-3-5-4 0 4 5 3 1-1 -4 -9 -12 -9 0 9 12 9 4 1-1 -5 -14 -25 -30 -21 0 21 30 25 14 5 1-1 -6 -20 -44 -69 -76 -51 0 51 76 69 44 20 6 1-7 -27 -70 -133 -189 -196 -127 0 127 196 189 133 70 27 7 1-有根（凸）定向动物A_n（x）=（1+1/x）（1/x+1+x）^n=（1+1/x）T_n（x）A[n，k]=[x^k]（1+1/x）（1/x+1+x）^n=温度[n，k]+T[n，k+1]=A[n-1，k-1]+A[n-1，k]+A[n-1，k+1]（当n>=1时）电话：-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 71个1 2 2 1 1 3 5 5 3 1 1 4 9 13 13 9 4 1 1 5 14 26 35 35 26 14 5 1 1 6 20 45 75 96 96 75 45 20 6 1 1 7 27 71 140 216 267 267 216 140 71 27 7 1 1 8 35 105 238 427 623 750 623 427 238 105 35 8 1现在提取第0列：t（n）=t[n，0]m（n）=m[n，0]a（n）=a[n，0]通过三角形中的三项递归，我们得到以下关系：a（n）=a[n-1，-1]+a[n-1,0]+a[n-1,1]作为a[n-1，-1]=a[n-1,0]=2 a（n-1）+a[n-1,1]作为M[n-1,0]=a[n-1,0]-a[n-1,1'=3安（n-1）-米（n-1a（n）=T[n，0]+T[n=1/2吨（n）+1/2（t[n，-1]+t[n；0]+t[n，1]）=1/2（t（n）+t（n+1））m（n）=3a（n）-a（n+1）m（n）=1/2（3吨（n）+2吨（n+1）-吨（n+2））根据GFs A（x）、M（x）和T（x）写出这个关系，我们得到（1-3x）A（x）+x M（x）=1（x+1）T（x）-2x A（x）=1（1-2x-3x^2）T（x）+x^2 M（x）=1-x注：Gouyou-Beauchamps和Viennot使用移位指数c（n，k）=A[n-1，k-1]。他们给出了关系式a（n）=1/2（t（n）+t（n+1）），但没有给出另一个。参考文献：-Dominique Gouyou-Beauchamps和G.Viennot，二维有向动物问题与一维路径问题，应用数学进展。，9 (1988) 334--357; MR 90c:05009。[平面中晶格点的集合$P$称为有向如果存在$P$的子集，则为animal，其元素称为root点，使根点位于垂直于行$y=x$，$P$的每个点都可以从根到达沿着$P$中的一条小路指向，只需使用北部和东部台阶。这个这篇论文涉及根深蒂固的动物的计数，这些动物的根点是连续的。只有翻译不同的动物被认为是等效。主要结果是在根深蒂固的动物之间形成双射大小为$n+1$，整数上的路径长度为$n$步骤+1、0和$-1$。这个双射意味着$3^n$大小为$n+1$的紧凑型动物。此外双射法允许计算根深蒂固的动物根据根点数。进一步的后果是具有一个根的定向动物的生成函数点是${1\over2}（（1+t）/\sqrt{1-2t-3t^2}-1）$，并且在原产地扎根的大小为$n$的定向动物数量包含在第一个八分位$0\leq x\leq y$中的是莫茨金数$m_{n-1}$。这篇论文还包含了许多关于物理学家工作的参考文献研究中出现的动物计数问题临界现象和相的热力学模型过渡。{\it-Ira Gessel}]-泽尔伯格，生成函数的六首练习曲（加泰罗尼亚语、莫茨金语、纳拉亚纳语）实习生。J.计算。数学。29 (1989) 201-215（加泰罗尼亚语、莫茨金语、纳拉亚纳语）- ???三个组合序列可从晶格路径计数推导而来，Ann.光盘。数学。52 (1992) 81-92 （45参考，新），MR 93j:05005------------------------------------------------------------------------------来自整数序列在线百科全书！%I A005773 M1443%S A005773 1,2,5,13,35,9626775021236046173034972114336541458412019173492117，%电话：A005773 1016577929643870865748312531881117413650492173243128637718182518730782252%N A005773大小为N的定向动物（或标准位置的定向N-ominoes）。%R A005773 AAM 9 340 1988年。DM 180 75 1998。%O A005773 1,2号%A A005773 njas，sp，克拉克·金伯利(ck6@cedar.evansville.edu) %F A005773通用格式：（1/2）（（1+x）/（1-3x））^1/2-1/2。通过a（n+1）=3a（n）-A001006（n）与Motzkin数A001006相关。%Y A005773 A001006的逆运算。也是A026300中数组T的第n+1行中的数字之和。A038622中数组的前一列。%K A005773 nonn，简单%D A005773 J.E.Goodman和J.O’Rourke，编辑，《离散和计算几何手册》，CRC出版社，1997年，第237页。%I A001006 M1184 N0456%S A001006 1,1,2,4,9,21,51127323835218857981551141835113634310572，%电话：A001006 8534672356779653638218199284508520191425475594007632129760415%N A001006莫茨金数：通过不相交的弦连接圆上N个点的方法。%R A001006 BAMS 54 359 1948。JSIAM 18 254 1969年。JCT A23 291-301 1977年。JCT B22 114-121 1977年。JCT A76 145-147 1996年。%O A001006 0,3号%K A001006 nonn，芯，容易%Y A001006参见A005717。%H A001006另见%D A001006理查德·斯坦利的主页，在枚举组合数学下，第二卷列出了莫茨金数的表现形式。%F A001006通用：（1-x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2））/（2*x^ 2）。满足A=1+xA+x^2 A^2。%F A001006 a（n）=（-1/2）总和（-3）^a C（1/2，a）C（1/2，b）；a+b=n+2，a>=0，b>=0。%t A001006 a[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，0，n-2}]；数组[a[#]&，30]%A A001006 njas公司%I A002426 M2673 N1070%S A002426 1,1,3,7,19,511413931107313989532565373789212941，%电话：A002426 616227178760751966271513493141528091289968533779369，%电话：A002426 1105350729324113552795132281232794833638182176836301%N A002426中心三项式系数：（1+x+x^2）^N的最大系数。%R A002426欧洲单位（1）15 59 1927。RCI 74。FQ 7 341 1969年。亨利74 1 42。大坝34 234 1991。GKP 575。%K A002426简单，巨大，没有，很好%O A002426 0.3级%传真：A002426总传真：1/（1+x）^1/2（1-3x）^1/2。%A A002426 njas，sp公司%E A002426 DAM参考号增加5/95。修订说明4/96。%D A002426欧拉提到的是他的“范本记忆感应症法拉奇”。%D A002426另见R.K.Guy，《第二强小数定律》[数学杂志，63（1990）3-20，特别是18-19]%D A002426乔治·安德鲁斯（George Andrews），“欧拉的‘范例记忆归纳法’和$q$-三项式系数”，J.Amer。数学。Soc.3（1990）653-669。