独特的魔法六边形Charles W.Trigg（加利福尼亚州圣地亚哥）《娱乐数学杂志》（1964年1月至2月）40-43六个相等的圆盘可以围绕第七个圆盘排列，并触摸它，形成六边形，一边有两个圆盘，两边各有三个圆盘三条长对角线。另外12张光盘将制作此第二个订单向上六边形为五个平行行的三阶六边形，包含19片。可以继续加法过程以获得n阶2n-1平行行的六边形包含1+6和{k=2..n}（k-1）或3n^2-3n+1个圆盘。假设光盘的编号为前3n^2-3n+1正整数。这些整数的和是1/2（3n^2-3n+1）（3n*2-3n+1+1）或1/2（9n^4-18n^3+18n^2-9n+2），一个整数。如果光盘位于六边形数组可以重新排列，以便不同行中的整数具有相同的和，则数组中所有整数的和必须可被2n-1整除，即在一个方向上平行的行数。那就是，Q=1/2（9n^4-18n^3+18n^2-9n+2）/（2n-1）=1/2（4n^3-7n^2+5n-2+n^2（n^2+1）/（2n-1））=1/2（4n^3-7n^2+5n-2+（n^2/4）（2n+1+5/（2n-1）））必须是整数。显然，n和2n-1对于任何n都没有共同因子，只有平凡的统一。因此，如果Q是一个整数，那么2n-1必须除以n^2+1和5/（2n-1）必须是整数。这仅适用于n=1或3。因此，只有当n＝3时六边形的行和相等。这些总和必须分别为190/5或38。魔法的必要条件我们现在寻求第三个整数中前19个正整数的分布对六边形进行排序，使3*5或15行中的每一行中的整数有魔法常数和38。设顶点元素为a_i，中间元素是bi，中心元素是d，另一个是元素为c_i，i=1、2、3、4、5、6。此外，设总和a_i=a，总和b_i=b，和总和c_i=c。a1 b1 a2b6 c1 c2 b2a6 c6 d c3 a3b5 c5 c4 b3a5 b4 a4将3个元素的行相加，2A+B=6（38）。将4个元素的行相加，2B+2C=6（38）。将5个元素的行相加，A+C+3d=3（38）。将所有元素相加，A+B+C+d=190。这组方程的不定解可以表示为有几种方式，即：B=228-2A或A=76-d或A=114-1/2 B或A=57+1/2 C，C=2A-114，B=76+2d，C=114-B，B=114-C，d=76-A，C=38-2d，d=1/2 B-38，d=19-1/2 C。显然B和C是平的。C的最小可能值为1+2+3+4+5+7或22。因此，1<=d<=8和67<A<76。搜索方法我们首先确定前19项中12项的所有安排具有三个元素的六边形周长周围的正整数每侧总计38和67<A<76。有30个不同的三和弦具有适当总和的整数，即：19 18 1 19 13 6 18 16 4 18 11 9 17 12 9 16 12 1019 17 2 19 12 7 18 15 5 17 16 5 17 11 10 15 14 919 16 3 19 11 8 18 14 6 17 15 6 16 15 7 15 13 1019 15 4 19 10 9 18 13 7 17 14 7 16 14 8 15 12 1119 14 5 18 17 3 18 12 8 17 13 8 16 13 9 14 13 11任何整数都不能是顶点整数a_i，除非它出现在其中两个中三合会。所以，可能的最小顶点整数是3。四个五角中心元素3为18 17 3 16 19、18 17 3 19、17 18 3 16 19，和17 18 3 19 16。以这些为基础，在上表中，所有完整的相关周长可以是快速识别。有四个以元素4为中心的起始五分之一，十二加五，十二加六，二十四加七，二十四加八，40和9。只有一组两位数整数的和小于76，即10、11、12、13、14、15。三人组中每个只有六人其中至少包含该集合的两个整数。他们是以下：17 11 10；16 12 10; 15 14 9; 15 13 10; 15 12 11; 和14 13 11。然而，这些三元组总共只包含九个不同的整数所以不能组成一个完整的周界元素。因此，A<76的周长不能包含所有顶点被两位数的整数占据。在从每个关键的一位数顶点构建完整的周长时，通过不允许任何小于键的元素来避免重复元素位于任意顶点。在确定的1896个周长中，只有121个67<A<76。在每个周界内测试其是否属于神奇六边形的例子如下所示。8 19 1116 c1 c2 1714 c6 2 c3 106 c5 c4 1518 7 13因为A=74，d=2，那么c2+c5=7=1+6=2+5=3+4。既不是c2也不是c5可以是2或6，因为它们与当前元素重复。如果c2=3，则c1=2，其中重复d.如果c5=3，则c4=14重复a6。因此，这个周长不属于魔法六边形。这样120周边被丢弃。所以唯一可能的魔法六边形是如下所示。3 19 1617 7 2 1218 1 5 4 1011 6 8 137 14 15此六边形的旋转或反射不视为不同六边形。问题的背景大约在1910年，19岁的佛罗里达州人克利福德·W·亚当斯（Clifford W.Adams）看到了一个有趣的年出版的一份小型周报《探路者》中提出的建议华盛顿特区这是一个挑战六边形的19个空白单元格中的整数这一行加起来是35。亚当斯很快就明白了为什么没有解决方案因为他很明显总数是38。在他的整个职业生涯中，他是雷丁公司的货运员和职员费城铁路公司（Railroad in Philadelphia）曾零星尝试寻找解决方案。为了方便他的搜索。最后，在1957年手术后恢复期间，亚当斯找到了一个解决方案——上面给出的解决方案。解决方案的记录是放错位置，直到1962年12月才恢复。它的独特之处在于怀疑。亚当斯给马丁·加德纳寄了一份魔法六边形的副本，《科学美国人》中的“数学游戏”。加德纳问我是否知道指的是魔法六边形。这促成了调查上述报告。1963年4月25日，这些结果被传送给加德纳，他们在1963年8月《科学》杂志第116页的专栏中得到了承认美国人。1963年9月7日，加德纳告诉我，亚当斯的William M.Daly在Honeywell 800计算机上证实了六边形它在3分20秒内分析了196729种配置。这个唯一性也由G.W.Anderson于42年在IBM 1620上验证分钟。此外，Eduardo Esperón从15个方程式开始19个未知数，在没有计算机帮助的情况下证明了六边形是独一无二的。12月《数学公报》（英国伦敦）第291页1958年，毫无疑问，T·维克斯（T.Vickers）提出了一个神奇的六边形本质上是上面给出的镜像。幻方六边形的性质亚当斯已经确定了48个“星座”，由3到7个星座组成他六边形中的非共线元素加起来就是魔法常数38.当然，这些是将38个特定分区划分为不同的小于或等于19的整数。还有更多。的确，如图所示上面有30个3级分区。还有148个分区4级，以此类推，最多2个8级分区。加德纳在他的专栏中指出，六边形有一个奇怪的双侧对称性为回忆如何给细胞。Daly提请注意包含在较大的那个。外围的三个交替的加起来54，其他三个加起来是65。中央的元素相加至33。（因此c_i+2d=38。）还应注意的是，中心六边形的所有元素都是数字。中心元素与独特的三阶幻方。六个菱形中的元素之和在六边形组成三个数对：39（=10+13+4+12）；40 (= 9 + 11 + 6 + 14); 46, 47; 和49、50。以边减去中心元素等于魔和。那就是，19 + 13 + 11 - 5 = 38 = 17 + 12 + 14 - 5. 因此每个等边三角形中的所有元素都是相同的，即76，是魔法常数的两倍。顶点的一半元素是奇数，其他元素是偶数。只有两行的元素都是偶数，这两行以“T”连接。第二个水平行的元素2、7、12、17是算术元素进展。元素1、7、11、19、，第二排左倾的是A.P.第二排和第四排水平行，平均值之差等于极端情况。还存在其他孤立的好奇。一般来说整数具有随机字符。连接连续的整数是乱打结的。1514 139 8 106 411 5 121 218 7 1617 19三