最长梯子：>>|答|> |<----->|> | |> |\ |>| \|> | \ |> | \ |> | \ |> | \ |>|\`-----------> | \ ^>|\|B（B）>|θ\v> `------------------->>如图所示，给定宽度为A和B的走廊角落>拐角处能移动的最长的梯子是吗？扰流板如果梯子和墙壁之间的角度是θ（如上所示），则梯子的长度是长度（θ）＝A/cos（θ）+B/sin（θ）。最小化长度=A/cos（θ）+B/sin（θd（长度）/d（θ）=A*sin（θ）/cos（θ=0A*sin（θ）/cos（θB/A=正弦（θ）^3/cos（θ（）^3=tan（θ如果使用三角公式cos^2 t=1/（1+tan^2 t）sint=tantcost，代入代数，长度公式减少到长度=A/cos（t）+B/sin（t）=（A+B/tan（t））/cos（t）=（A+B/tan（t））（1+tan^2（t），^（1/2）=（A+B^（2/3）A^（1/3））=（A^（2/3）+B^（2/3））^（3/2）----------------------------------------------------------------------从1993年6月30日星期三12:24:49 MET DST开始第4695条rec.puzzles主题：走廊和梯子（不含微积分）发件人：kubo@zariski.harvard.edu（塔尔·库博）已经发布了几个基于计算的解决方案。有至少有两种不使用微积分的方法：1.H“老年人的不平等（参考：哈代、利特伍德、波利亚、，“不等式”）与关系A/x+B/y=1相结合其中x和y是从角到点的距离，其中梯子接触墙壁，可以用来绑定x^2+y^2这给出了一个单线解。2.长度为L的梯子的包络线的几何参数端点沿坐标平面的正x和y轴滑动是由圆上的一个点描出的图形的（一个拱形）吗半径L/4在半径L的圆内滚动包络线可以由此导出。有关详细信息，请参见Vasiliev和古滕马赫，“直线和曲线”。--塔尔·库博----------------------------------------------------------------------穿过P=（A，B）的直线。它在（x，0）和（0，y）处穿过轴。A/x+B/y=1我们得到一个直角三角形（x，0），（0，y）和（0,0）。问题0：最小化L0=xy（x/A*y/B）^（1/2）>=（（（x/A）^（-1）+（y/B）^= 2我们得到L0>=4AB如果x/y=A/B相等。问题1：最小化L1=x+y（x+y）^（1/2）=（x+y）^（1/2）*（A/x+B/y）^（1/2）>=A^（1/2）+B^（1/2），通过H“older’s不等式。我们得到L1^（1/2）>=A^（1/2）+B^（1-2）如果x^2/y^2=A/B相等。问题2：最小化L2=（x^2+y^2）^（1/2）（x^2+y^2）^（1/3）=（x^2+y^2）^（1/3）*（A/x+B/y）^>=A^（2/3）+B^（2/3），通过H“older’s不等式。我们得到L2^（2/3）>=A^（3/3）+B^（1/3）如果x^3/y^3=A/B相等。我们使用H“older’s不等式的形式：设p，q>0，p+q=1，x1，x2，y1，y2为非负，则（x1+x2）^p（y1+y2）^q>=x1^p y1^q+x2^p y2^q如果等式为iff（x1，x2），则（y1，y2）是线性相关的。--------------------------穿过P=（A，B，C）的平面。它在（x，0,0），（0，y，0）和（0,0，z）处穿过轴。A/x+B/y+C/z=1我们得到一个右四面体（x，0,0），（0，y，0）。问题0.3：最小化L0=xyz（x/A*y/B*z/C）^（1/3）>=（（x/A）^（-1）+（y/B）^= 3我们得到L0>=27ABC当x:y:z=A:B:C相等时。问题1.3：最小化L1=x+y+z（x+y+z）^（1/2）=（x+y+z）^（1/2）*（A/x+B/y+C/z）^（1/2）>=A^（1/2）+B^（1/2）+C^（1/2）乘以H\“older不等式。我们得到L1^（1/2）>=A^（1-2）+B^（1/2）+C^（/2）当x^2:y^2:z^2=A:B:C相等时。参考文献：-雷蒙德·布特（Raymond T.Boute）；围绕角移动矩形-几何，美国数学月刊111（2004年5月）435-437-运动学：瞬时旋转中心（ICR）-梯形图问题（使用ICR和类似三角形）-沙发问题-雷蒙德·布特（Raymond T.Boute）；德勒医院滑轮问题的简单几何解，《大学数学学报》30（1999）311-314-比率链技术-维克托·古滕马赫（Victor L.Gutenmacher）；尼古拉·瓦西利耶夫（Nikolay B.Vasilyev）；直线和曲线，实用几何手册，Birkhaeuser出版物，波士顿，2004国际标准图书编号：0-817-64161-0-尼古拉·瓦西利耶夫（Nikolay B.Vasilyev）；维克托·古滕马赫（Victor L.Gutenmacher）；直线和曲线，Mir出版社，莫斯科（1985年）-Benno Grabinger；Vom Garagentor zur Astroide公司，Der Mathematikuntericht 43:2（1997）23-37。-信封-贝蒂娜·赫尔姆斯（Bettina Helms）、克劳迪娅·罗特根（Claudia Röttgen）、朱莉娅·迪克尔（Julia Dierker）；车库里的Passt das Auto？Jülich，2003年http://www.mathematik-piechatzek.de/Projekt_Garage/Garagentor/index.htm-G.H.Hardy、J.E.Littlewood和G.Pólya；不平等，剑桥大学出版社，剑桥，1934年。Zbl 0010.107号-路德维希·基珀特；Grundrißder Differential-Rechnung公司，1.乐队：Funktitionen von einer unabhängigen VeränderlichenHannover，Helwingsche Verlagsbuchhandlung，1921年，奥弗拉格14日-第65节：Verschiedene Aufgaben aus der Theory der Maxima und Minima奥夫加贝17。第337-338页Wee hoch muss die Tür eines Turmes mit der Breite gleich（布列特峡谷的Turmes）mindestens sein，damit man eine Leiter von der Länge gleich L（见鬼）在Turm hineinbringen kann？-N.Miller；非消失梁绕过拐角的问题，美国数学月刊56（1949）177-179-三角微积分-C.莫雷蒂；在角落里移动沙发，《大学数学学报》第33期（2002）196-200-微积分-卡尔·舒勒；Maxima Minima Aufgaben，阿基米德，桑德利夫1966-给出了Schlömilch（1858）对AM-GM-不等式的证明。-通过点的平面，右四面体的切割-Hans Schupp，Heinz Dabrock；这里是科尔文，情境、数学、历史和哲学，Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik数学专题28，BI Wissenschaftsverlag，曼海姆，1995年，国际标准书号3-411-17221-5-第一章：库尔文rund um die Gleitstrecke。第1-14页-汉斯·舒普；优化器，在Mathematikuntricht进行极端评估，Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik 20、，BI Wissenschaftsverlag，曼海姆，1992，ISBN 3-411-15771-2-第4.1章：方法-第4.1.6章：Infinitesimalkalkül3贝斯皮尔：Gerade durch gegebenen Punkt（a，b）gesucht。第82-84页Beispel1：Minimier FlaecheBeispel2：最小假设（Leiter-um die-Ecke问题）Beispiel3：迷你乌姆方-Eckard Specht；几何-亚特兰蒂斯科学。300+Aufgaben zur Geometrie und zu Ungleichungen在Mathematik-Olympiaden，马格德堡奥托·冯·盖里奇大学，2001年，ISBN 3-929757-39-7-Kapitel U:Ungleichungen公司-Eckard Specht；470+Mathematik-Aufgaben在奥林匹亚登和韦特贝贝的漩涡训练网址：http://www.math4u.de/（在线版本）-Kapitel U:Ungleichungen公司问题U8：（Verallgemeinerte）Höldersche Ungleichungen参考资料Astroid：-罗伯特·费雷奥尔，雅克·曼多内特；德国ASTRO，http://www.mathcurve.com/courbes2d/astroid/astriod.shtml-埃里克·韦斯特因（Eric W.Weisstein）；“阿童木。”来自MathWorld——Wolfram Web资源。http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html -洛克伍德，E.H。《曲线书》。英国剑桥：剑桥大学出版社，1967年-第六章：天体。第52-61页-汉斯·吉尔根·卡斯帕；Mathematik:Die Leiter和Die Sternkurve，http://matheplanet.com/default3.html？call=article.php？sid=489-Xah Lee；星形线，http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/Astroid.htmlWeb链接：-马雷克·萨皮埃尔（Marek Szapiel）；最长的梯子，http://archives.math.utk.edu/visual.clucium/3/applications.2/栅栏上最短的梯子，http://archives.math.utk.edu/visual.clucium/3/applications.4/-matheplanet；Malerarbeit mit Hindernissen，http://matheplanet.com/matheplante/nuke/html/viewtopic.php？topic=32772--邮寄地址：Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de网址：http://www.mathmatik.uni-bielefeld.de/~赛尔克/