弗兰克·吕贝克

李型例外群中的2阶和3阶元素

设p是素数，G是例外的简单代数群用p元对有限域的代数闭包进行类型化。对于G的每个Frobenius态射和p的相应幂q，我们考虑Lie型G（q）的有限群。在这里，我们描述了组G（q）。

符号：以下unipower类和集中器半简单元素按根系统进行参数化。我们使用具有不同长度根的系统的根子系统的约定前面是波浪号（例如~A_1)如果子系统由只有短根。

p=2（resp.3）情况下的第2阶元素

在这种情况下，2（3）阶元素是单幂的。Unipower类是对所有类型的组进行参数化。可以从以下位置找到元素顺序在定义中的某些表示中最大的约旦块的大小特性。这些可以从

R·劳瑟。更正为：“中Unipower元素的Jordan块大小例外代数群”[《公共代数》23（1995），第11期，第4125-4156]。Comm.Algebra 26（1998），第8期，2709页。

对于p=2，结果是一个非平凡类包含顺序为2的元素if和只有当它们的Bala-Carter参数只涉及A_1型的根系统时或~A_1。

类似地，对于p=3，这些非平凡类具有3阶元素其参数仅涉及a_1、~a_1和a_2类型的根系统，~A_2或G_2（A_1）。

下面是一个具有最小中心化器维度的此类类的表。

G的类型 第页 类别u^G      尺寸C_G（u）
二氧化硫2~A_16
三G_2（a_1）4
F_4级2A_1+~A_124
三~A_2+A_116
E_6（E_6）23 A_138
三2 A_2+A_124
E_7（E_7）24 A_163
三2 A_2+A_143
电子824 A_1120
三2 A_2+2 A_180

此表中提到的所有类都有代表对应群G（q）。G_2（a_1）与G（q）的交集包含两个G（q）-共轭类。在所有其他情况下，位于G（q）中的元素形成单个G（q）-类。

2阶和3阶半单元

对于给定的根数据和固定的最大环面T，可以写下给定固定顺序的T中有限个元素，然后确定它们的根子系统和G的Weyl群的中心化子代数群中2阶和3阶元素的共轭类我们必须确定G（q）中扶正器的可能结构。我已经用软件包解决了细节问题间隙和雪佛兰。有关的详细信息计算设置见第2节：

Brunat，O.和Lübeck，F。， 关于定义有限约化群的特征表示。 《代数杂志》395（2013），121-141。

结果按类型给出。对于扶正器订单，我们使用在主功率q，在这里是一个显式列表。类型描述中的多项式部分指tori按顺序排列。代数群中中心化子的维数为由扶正器阶数的多项式次数给出。（这里使用的计算机程序也允许计算类似的其他“小”订单的信息。）

备注：对于所提到的伴随群的共轭类E型6（q）广告,2E类6（q）广告和E7（q）广告当他们不在的时候我们会提到包含在换向器子组中（或等效，当它们不是简单连接覆盖下的相同类型）。

2B2（q）2)（铃木组）

这里第2级的元素是唯一的，没有第2级元素三。

G公司2（q） 和2G公司2（q）2)（Ree组）

订单2要素：有一类具有类型的扶正器
A_1（q）+~A_1。
在^2G_2中，扶正器为
A_1（q^2），订单为q^2 Phi1 Phi2 Phi4。

订单3要素：有一个类具有中心化器
    如果q=1 mod 3和
    ^如果q=2 mod 3，则顺序为q^3 Phi1 Phi2^2 Phi6的2A_2（q）。

有一个类具有中心化器
    如果q=1 mod 3，则q Phi1^2 Phi2阶的~A_1（q）+（q-1）
    如果q=2 mod 3，则q Phi1 Phi2^2阶的~A_1（q）+（q+1）。

三D类4（q） （斯坦伯格试验组）

这些群可以被视为单连通或D型伴随代数群4，这里的描述是这两种情况都是一样的。

订单2要素：有一个类具有中心化器
   顺序为q^4*Phi1^2*Phi2^2*Phi3*Phi6的A_1（q^3）+A_1。

订单3要素：有一个类具有中心化器
   如果q=1 mod 3和
   如果q=2 mod 3，则顺序为q^3*Phi1*Phi2^2*Phi3*Phi 6的A_1（q^3）+（q+1）
和一个带中心化器的类
   如果q=1 mod 3和
   ^如果q=2 mod 3，则顺序为q^3*Phi1*Phi2^2*Phi6^2的2A_2（q）+（q^2-q+1）。

F类4（q） 和2F类4（q）2)（Ree组）

顺序2的元素：有一个类具有中心化器
    顺序为q^16 Phi1 ^4 Phi2 ^4 Phi 3 Phi4 ^2 Phi6 Phi8的B_4（q）
和一个带中心化器的类
   顺序为q^10 Phi1 ^4 Phi2 ^4 Phi 3 Phi4 Phi6的C_3（q）+A_1（q。

订单3要素：有一个类具有中心化器
   A_2（q）+~A_2（q）阶q^6 Phi1^4 Phi2^2 Phi3^2，如果q=1 mod三
   ^阶为q^6 Phi1^2 Phi2^4 Phi6^2的2A_2（q）+^2 ~ A_2（q），如果q=2模块3
和一个带中心化器的类
   如果q=1，则顺序为q^9 Phi1^4 Phi2^3 Phi3 Phi4 Phi6的B_3（q）+（q-1）模块3
   如果q=2，则顺序为q^9 Phi1^3 Phi2^4 Phi3 Phi4 Phi6的B_3（q）+（q+1）模块3
和一个带中心化器的类
   如果q=1，则顺序为q^9 Phi1 ^4 Phi2 ^3 Phi3 Phi4 Phi6的C_3（q）+（q-1）模块3
   如果q=2，则顺序为q^9 Phi1 ^3 Phi2 ^4 Phi3 Phi4 Phi6的C_3（q）+（q+1）模块3。
在^2F_4中，只有上面的第一个类出现，在这种情况下扶正器为类型
^2A_2（q^2），订单为q^6 Phi1 Phi2 Phi4^2 Phi12。

E类6（q）广告（伴随）

订单2要素：有一个类具有中心化器
   顺序为q^16 Phi1^6 Phi2^4 Phi3^2 Phi4 Phi5的A_5（q）+A_1（q）Phi6系列
和一个带中心化器的类
   顺序为q^20 Phi1 ^6 Phi2 ^4 Phi3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6的D_5（q）+（q-1）第8阶段。

订单3要素：有两个带中心化器的类
   的D_5（q）+（q-1）如果q=1，则订购q ^20 Phi1 ^6 Phi2 ^4 Phi3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 Phi8模块3
   （只有当q=1 mod 9时，这些类才在派生子群中）
和两个带中心化器的类
   A_4（q）+A_1（q）+（q-1）的如果q=1 mod 3，则订购q^11 Phi1^6 Phi2^3 Phi3 Phi4 Phi5
   （只有当q=1 mod 9时，这些类才在派生子群中）
和一个带中心化器的类
   的A_5（q）+（q-1）订单q^15 Phi1^6 Phi2^3 Phi3^2 Phi4 Phi5 Phi6，如果q=1 mod 3
   的A_5（q）+（q+1）如果q=2 mod 3，则订购q^15 Phi1^5 Phi2^4 Phi3^2 Phi4 Phi5 Phi6。
然后有一个几何类的中心化器为类型（A_2+A_2+A2）。3，拆分如下：
对于q=1 mod 3：在一个带中心化子的G（q）类中
   （A_2（q）+A_2（q）+A_2（q））.3阶q^9 Phi1^6 Phi2^3 Phi3^3和两个带有扶正器的G（q）-类
   顺序为3 q^9 Phi1 ^2 Phi2 Phi3 ^2 Phi 6 Phi9的A_2（q^3）.3。
   （最后两个G（q）-类不在派生组中）
对于q=2 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   A_2（q^2）+^2A_2（q）的顺序为q^9 Phi1^3 Phi2^4 Phi3 Phi4 Phi6^2。
一个几何类的中心化子类型为（D_4）.3，拆分为跟随：
对于q=1 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   （D_4（q）+（q^2-2*q+1））.3阶3 q^12 Phi1 ^6 Phi2 ^4 Phi3 Phi4 ^2 Phi6和两个带中心化子的G（q）类
   阶的（^3D_4（q）+（q^2+q+1））.33 q^12 Phi1 ^2 Phi2 ^2 Phi ^3 Phi6 ^2 Phi12。
   （最后两个G（q）-类不在派生组中）
对于q=2 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   ^2D_4（q）+（q^2-1），顺序为q^12 Phi1^4 Phi2^4 Phi 3 Phi4 Phi6 Phi8。

2E类6（q）广告（伴随）

订单2要素：有一个类具有中心化器
   ^2A_5（q）+A_1（q），顺序q^16 Phi1^4 Phi2^6 Phi3 Phi4 Phi6^2菲律宾比索10
和一个带中心化器的类
   ^序号q^20 Phi1 ^4 Phi2 ^6 Phi3 Phi4 ^2 Phi6 Phi8的2D_5（q）+（q+1）第10阶段。

订单3要素：有两个带中心化器的类
   ^第2D_5（q）+（q+1）页，共页如果q=2，则订购q^20 Phi1^4 Phi2^6 Phi3 Phi4^2 Phi6 Phi8 Phi10模块3
   （只有当q=-1 mod 9时，这些类才在派生子群中）
和两个带中心化器的类
   ^2A_4（q）+A_1（q）+（q+1）如果q=2 mod 3，则订购q ^11 Phi1 ^3 Phi2 ^6 Phi4 Phi6 Phi10
   （只有当q=-1 mod 9时，这些类才在派生子群中）
和一个带中心化器的类
   ^2A_5（q）+（q-1）订单q^15 Phi1^4 Phi2^5 Phi3 Phi4 Phi6^2 Phi10，如果q=1 mod 3
   ^的2A_5（q）+（q+1）如果q=2 mod，则订购q^15 Phi1^3 Phi2^6 Phi3 Phi4 Phi6^2 Phi10三。
然后有一个几何类具有类型的扶正器（A_2+A_2+A_2）.3，拆分如下：
对于q=2 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   （^2A_2（q）+^2A_2Phi6^3
和两个带中心化子的G（q）类
   ^序号3 q^9 Phi1 Phi2 ^2 Phi3 Phi6 ^2 Phi 18的2A_2（q^3）.3。
   （最后两个G（q）-类不在派生组中）
对于q=1 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   A_2（q^2）+A_2（q），顺序为q^9 Phi1^4 Phi2^3 Phi3^2 Phi4 Phi6。
一个几何类的中心化子类型为（D_4）.3，拆分为跟随：
对于q=2 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   顺序的（D_4（q）+（q^2+2*q+1））.33 q^12 Phi1 ^4 Phi2 ^6 Phi3 Phi4 ^2 Phi6
和两个带中心化子的G（q）类
   阶的（^3D_4（q）+（q^2-q+1））.33 q^12 Phi1 ^2 Phi2 ^2 Phi ^2 Phi6 ^3 Phi12。
   （最后两个G（q）-类不在派生组中）
对于q=1 mod 3在一个带中心化子的G（q）类中
   ^2D_4（q）+（q^2-1），顺序为q^12 Phi1 ^4 Phi2 ^4 Phi 3 Phi4 Phi6 Phi8。

E类6（q）供应链（简单连接）

订单2要素：与E_6型伴随群的描述相同。

订单3要素：有两类中心元件，即扶正器
   顺序为q^36 Phi1 ^6 Phi2 ^4 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^2 Phi 8 Phi9 Phi12的E_6（q），如果q=1 mod 3
和一个带中心化器的类
   如果q=1 mod，则A_2（q）+A_2（q）+A_（q）的顺序为q^9 Phi1^6 Phi2^3 Phi3^3三
   顺序为q^9 Phi1^3 Phi2^4 Phi3 Phi4 Phi6^2的A_2（q^2）+^2A_2（q），如果q=2 mod 3
和一类带有扶正器
   顺序为q^12 Phi1^6 Phi2^4 Phi3 Phi4^2 Phi6的D_ 4（q）+（q^2-2*q+1），如果q=1 mod 3
   ^序号q^12 Phi1^4 Phi2^4 Phi Phi3 Phi4 Phi6 Phi8的2D_4（q）+（q^2-1），如果q=2 mod 3。
那么q=1 mod 3有三个带中心化器的类
   顺序为q^15 Phi1^6 Phi2^3 Phi3^2 Phi4 Phi5 Phi6的A_5（q）+（q-1）。
对于q=2 mod 3有一个类带有中心化器
   顺序为q^15 Phi1^5 Phi2^4 Phi3^2 Phi4 Phi5 Phi6的A_5（q）+（q+1）。

2E类6（q）供应链（简单连接）

订单2要素：与^2E_6型伴随群的描述相同。

订单3要素：有两类中心元件，扶正器
   ^顺序为q^36 Phi1 ^4 Phi2 ^6 Phi3 ^2 Phi4 ^2 Phi ^3 Phi8的2E_6（q）Phi10 Phi12 Phi18，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   ^2A_2（q）+^2A_2（q）+^ 2A_2（q^9 Phi1^3 Phi2^6 Phi6^3，如果q=2 mod 3
   A_2（q^2）+A_2（q），顺序为q^9 Phi1^4 Phi2^3 Phi3^2 Phi4 Phi6，如果q=1 mod 3
和一个带中心化器的类
   顺序为q^12 Phi1^4 Phi2^6 Phi3 Phi4^2 Phi6的D_4（q）+（q^2+2*q+1），如果q=2 mod 3
   ^序号q^12 Phi1^4 Phi2^4 Phi Phi3 Phi4 Phi6 Phi8的2D_4（q）+（q^2-1），如果q=1 mod 3。
那么q=2 mod 3有三个带中心化器的类
   ^序号q^15 Phi1 ^3 Phi2 ^6 Phi3 Phi4 Phi6 ^2的2A_5（q）+（q+1）功率因数10。
对于q=1 mod 3有一个类带有中心化器
   ^序号q^15 Phi1^4 Phi2^5 Phi3 Phi4 Phi6^2 Phi10的2A_5（q）+（q-1）。

E类7（q）广告（伴随）

订单2要素：有一个类具有中心化器
   的D_6（q）+A_1（q）订单q^31 Phi1^7 Phi2^7 Phi3^2 Phi4^2 Phi5 Phi6^2 Phi8 Phi10
和一个几何类，其扶正器类型为（A_7）。2，分裂到：
一个带中心化子的G（q）类
   2号订单A_7（q）.2 q^28 Phi1^7 Phi2^4 Phi4^2 Phi5 Phi6 Phi7Phi8系列
   （仅当q=1 mod 4时，该类才在派生子群中）
和一个带中心化子的G（q）类
   ^序号2q^28 Phi1^4 Phi2^7 Phi3 Phi4^2 Phi6^2 Phi Phi8 Phi10的2A_7（q）.2Phi14、，
   （仅当q=-1 mod 4时，该类才在派生子群中）
和一个带中心化子的几何类（E_6）。2，分裂到：
一个带中心化子的G（q）类
   （E_6（q）+（q-1））第2页，共页订单2 q^36 Phi1 ^7 Phi2 ^4 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^2 Phi 8 Phi912相
   （仅当q=1 mod 4时，该类才在派生子群中）
和一个带中心化子的G（q）类
   （^2E_6（q）+（q+1））第2页，共页订单2 q^36 Phi1 ^4 Phi2 ^7 Phi3 ^2 Phi4 ^2 Phi ^3 Phi8 Phi10 Phi12Phi18（18相）
   （仅当q=-1 mod 4时，该类才在派生子群中）。

订单3要素：有一个类具有中心化器
   A_5（q）+A_2（q）的顺序为q^18 Phi1^7 Phi2^4 Phi3^3 Phi4 Phi5 Phi6，如果q=1 mod 3
   ^2A_5（q）+^2A_2（q）的顺序为q^18 Phi1^4 Phi2^7 Phi3 Phi4 Phi6^3 Phi10，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   的E_6（q）+（q-1）订单号q^36 Phi1 ^7 Phi2 ^4 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^2 Phi 8 Phi9 Phi12，如果q=1 mod 3
   ^的2E_6（q）+（q+1）订单号q^36 Phi1^4 Phi2^7 Phi3^2 Phi4^2 Phi 6^3 Phi8 Phi10 Phi12 Phi18，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   的D_5（q）+A_1（q）+（q-1）订单q^21 Phi1^7 Phi2^5 Phi3 Phi4^2 Phi5 Phi6 Phi8，如果q=1 mod 3
   ^的2D_5（q）+A_1（q）+（q+1）订单q^21 Phi1^5 Phi2^7 Phi3 Phi4^2 Phi6 Phi8 Phi10，如果q=2 mod三
和一个带中心化器的类
   顺序为q^21 Phi1^7 Phi2^3 Phi3^2 Phi4 Phi5 Phi6 Phi7的A_6（q）+（q-1），如果q=1 mod 3
   ^序号q^21 Phi1 ^3 Phi2 ^7 Phi3 Phi4 Phi6 ^2 Phi10 Phi14的2A_6（q）+（q+1），如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   的D_6（q）+（q-1）订单号q^30 Phi1 ^7 Phi2 ^6 Phi3 ^2 Phi4 ^2 Phi 5 Phi6 ^2 Phi8 Phi10，如果q=1 mod 3
   的D_6（q）+（q+1）订单号q^30 Phi1 ^6 Phi2 ^7 Phi3 ^2 Phi4 ^2 Phi 5 Phi6 ^2 Phi8 Phi10，如果q=2 mod 3。

E类7（q）供应链（简单连接）

订单2要素：有一个中央阶级有中央集权者
   顺序为q^63 Phi1 ^7 Phi2 ^7 Phi ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^3 Phi 7 Phi8的E_7（q）Phi9 Phi10 Phi12 Phi14 Phi18
有两个带中心化器的类
   第D_6（q）+A_1（q）个订单号q^31 Phi1 ^7 Phi2 ^7 Phi ^2 Phi4 ^2 Phi 5 Phi6 ^2 Phi8 Phi10。

订单3要素：这与类型的伴随组相同E_7。

E类8（q）

订单2要素：有一个类具有中心化器
   顺序为q^64 Phi1 ^8 Phi2 ^8 Phi ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^3 Phi 7的E_7（q）+A_1（q）Phi8 Phi9 Phi10 Phi12 Phi14 Phi18
和一个带中心化器的类
   顺序为q^56 Phi1 ^8 Phi2 ^8 Phi ^2 Phi4 ^4 Phi5 Phi6 ^2 Phi 7 Phi8 ^2的D_8（q）功率因数10功率因数12功率因数14。

订单3要素：有一个类具有中心化器
   的E_6（q）+A_2（q）订单号q^39 Phi1 ^8 Phi2 ^5 Phi3 ^4 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^2 Phi 8 Phi9 Phi12，如果q=1 mod 3
   ^第2E_6（q）+^2A_2（q）个订单q^39 Phi1^5 Phi2^8 Phi3^2 Phi4^2 Phi6^4 Phi8 Phi10 Phi12 Phi18，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   第A_8（q）页，共页订单q ^36 Phi1 ^8 Phi2 ^4 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 Phi7 Phi8 Phi9，如果q=1 mod 3
   ^第2A_8（q）页，共页订单q ^36 Phi1 ^4 Phi2 ^8 Phi3 Phi4 ^2 Phi6 ^3 Phi8 Phi10 Phi14 Phi18，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   的E_7（q）+（q-1）订单号：q^63 Phi1 ^8 Phi2 ^7 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^3 Phi 7 Phi8 Phi9Phi10 Phi12 Phi14 Phi18，如果q=1 mod 3
   的E_7（q）+（q+1）订单号：q^63 Phi1 ^7 Phi2 ^8 Phi3 ^3 Phi4 ^2 Phi5 Phi6 ^3 Phi 7 Phi8 Phi9Phi10 Phi12 Phi14 Phi18，如果q=2 mod 3
和一个带中心化器的类
   的D_7（q）+（q-1）订单号q^42 Phi1 ^8 Phi2 ^6 Phi3 ^2 Phi4 ^3 Phi5 Phi6 ^2 Phi 7 Phi8 Phi10 Phi12，如果q=1 mod 3
   ^第2D_7（q）+（q+1）页，共页订单号q^42 Phi1 ^6 Phi2 ^8 Phi3 ^2 Phi4 ^3 Phi5 Phi6 ^2 Phi 8 Phi10 Phi12 Phi14，如果q=2 mod 3。

上次更新时间：2022年10月6日星期四11:09:38（CET）