• 非线性科学杂志
• 非线性分析
• SIAM数学杂志分析（SIMA）

• 林晨（Lin Chen）
• 韩瑞玉
• 桑民公园

• 王丽涵（Lihan Wang）

• Jeff Eisenbeis（2017年博士，HERE Technologies）
• Nicolas Garcia Trillos（2015年博士，布拉格助理教授，Brown大学）
• Slav Kirov（2017年博士，Eigen Technologies）
• 罗伯特·西蒙（2014年博士，坎夫斯）。
• 安德鲁·沃伦（2022年博士，高等科学研究院（IHES））
• 徐蓝天（2024年博士，塔尔研究资本）
• 丽江吴  （2015年博士，高盛）
• 朱丹蕾（2023年博士，Akuna Capital）

• Xin Yang Lu（麦吉尔博士后） 
• 弗朗西斯科·帕塔奇尼（IFP新能源）
• 马修·索普（剑桥大学博士后）

我对使用应用分析技术、变分法和PDE分析数据云、基于图形的数据表示和图像数据集感兴趣。以下是一些正在进行的项目：

我和Nicolas Garcia Trillos一起研究了随机几何图周长的性质。当人们考虑通过采样一些分布（比如说支持在具有连续密度的流形上）获得的数据云V时，就会出现这样的图。通过基于距离为点之间的边赋予权重，可以获得表示配置的加权图。这包括设置长度刻度，&#949，因此，长度不超过&#949的边缘具有重要的权重。A⊂V的周长是根据A和之间的边的权重定义的V\A.在与数据分析任务（如聚类和分类）相关的各种客观函数中，边界自然呈棱角状。我很想知道如果有大量数据点可用，则此周长的行为类似于基础分布上的连续体周长。特别是当涉及图周长的图上泛函的极小值接近连续泛函的极大值时。出于这个原因，我们研究了一个称为&#115收敛的收敛的变分概念。我们研究了图周长&#915收敛到欧几里德空间周长的N上&#949的缩放比例。
我和泽维尔·布列松（Xavier Bresson）和托马斯·洛朗（Thomas Laurent）、尼古拉斯（Nicolas）正在考虑将其应用于特定功能，如平衡切割（balanced cut），并从数字上研究小社区（即多小&#949）可以被占用。

2009年，古斯塔沃·罗德（Gustavo Rohde）和我开始研究使用最佳运输距离来衡量图像之间的相似性。此后，合作涉及索拉夫·巴苏（Saurav Basu）、C.陈（C.Chen）、索海尔·科洛里（Soheil Kolouri）、安·李（Ann Lee）、刘迪（Di Liu）、约翰·奥佐利克（John Ozolek）和王伟（Wei Wang）。基本观察结果是，对于某些类别的图像，特别是那些代表某种量的测量值的图像，这些量具有相对不规则的分布，并且几乎没有几何约束，最优运输和相关距离是衡量相似性的自然工具。这类图像在生物学中非常丰富，我们将我们的技术应用于细胞核染色质和细胞蛋白质的图像。我们引入了与最优运输相关的距离，我们称之为线性最优运输，它保留了最优运输的许多理想特征，但计算速度更快。我们的方法还简化了许多统计任务，因为它提供了一个嵌入到欧几里德空间的等距嵌入。我们正在继续致力于设计测量图像（2D和3D）之间相关差异的距离，并为其使用构建计算框架。我们感兴趣的距离是基于变形的，并提供了图像空间的几何描述。

使用更简单、低维的对象近似和表示点云可以是表示为一个变分问题。也就是说，定义了一个惩罚近似误差的目标泛函答案的复杂性。对于Slav Kirov和Xin Yang Lu，我考虑使用一维对象，即曲线和树来近似数据。我们发现平均距离问题（这是网络规划中引入的一个数学问题）与统计学和机器学习中考虑的（正则化）主曲线之间存在联系。我们发现，尽管存在正则项问题可能是带角的Lipschitz曲线。然而，总曲率（视为一种测量）可以控制。杨欣和我证明了根据数据总量和函数参数对总曲率的一个精确的初步估计。这让我们了解了如何准确地使用参数来调整答案的复杂性。如上所述，如果给定越来越多来自固定分布的采样数据，考虑使用最小化器会发生什么是很有意义的。我们表明，当数据点的数量趋于无穷大时，极小值的拓扑结构无法越来越复杂，这就是极小值保持的拓扑低半连续性。事实上，从数据分析的角度来看，最小化器可能有转角，这是不可取的，因为它将数据项目中不可忽略的一部分转化为一个点，从而导致信息丢失。我们正在修改函数以消除此问题。借助Slav Kirov，我们正在致力于优化问题的高效且稳健的数值实现。

非局部相互作用方程出现在生物聚集模型和许多存在成对相互作用的系统中粒子/个人/试剂之间保持一定距离，从而产生的粒子速度与“力”成正比。这种系统表现出一种令人惊讶的可达行为，它对粒子之间相互作用的细节非常敏感。这些模型通常可以在概率测度空间中的梯度流框架中建立，从而可以统一处理粒子和连续体描述。在研究这些系统时，我与安德烈·贝尔托齐、何塞·安东尼奥·卡里略、马可·迪·弗朗西斯科、杰夫·艾森贝斯、阿莱西奥·菲加利、托马斯·洛朗、鲍勃·佩戈、罗伯特·西蒙和丽江·吴进行了合作。以下是我的研究生正在进行的一些项目：

杰夫·艾森贝斯（Jeff Eisenbeis）介绍了一种新的生物聚集模型，在该模型中，个体对刺激的反应取决于整体结构。特别是，它考虑到个体A B对个体A的影响取决于A附近是否有其他个体。特别是，如果A附近有其他个体，它的影响将减弱。这个模型令人惊讶的是，它仍然具有与原始模型相同的梯度流结构。也就是说，如果考虑非局部迁移率，那么系统就变成了一个修正势的梯度流，相对于非局部迁移所提供的配置空间的几何结构。在标准情况下，对于局部迁移，配置空间的几何是Wasserstein度量。非局部迁移提供了一种新的有趣的几何，从而产生了新的效果。考虑到在拥挤的地方搬家更加困难，人们确实会期望一群人以这样的方式搬家。

这是罗伯特·西米奥尼的作品。据观察，根据势的不同，非局部相互作用方程可以具有各种形状和性质的稳态，包括在有限集、环、全维集（径向对称和非对称）上支持的稳态。即使只考虑平滑的短程排斥势和长程吸引势，这一点也成立。我们正在努力严格证明其中一些状态的非线性稳定性，特别是那些在有限集上支持的状态。为此，我们利用方程的梯度流结构。有趣的问题是如何以适当的方式表述线性化问题，以解释稳态的所有扰动，特别是那些传播具有点集中的测量值的扰动。

这是吴丽江的一个项目。我们研究了个体的流动性取决于其位置并考虑到环境边界存在的情况下的方程。依赖于空间的迁移率给出了基本空间的黎曼结构，这使得我们研究流形上的方程。这带来了许多挑战，但也带来了新的有趣现象。例如，如果有一个蜂群在同质环境中，受单向电位（比如个体都知道/感觉到食物在哪里）的影响，这会导致有序的转化，而在某些自然异质环境中，这会造成蜂群的滚动，与蝗虫成群的情况没有什么不同。

大约十年来，我一直对粗化感兴趣。该研究首先与Felix Otto和Tobias Rump合作，对薄膜方程描述的液滴进行粗化。此后，我研究了不适定方程（与Selim Esedoglu合作）、非局部界面问题、流体分层（与Felix Otto和Christian Seis合作）、晶界网络和Voronoi图（与Matt Elsey合作）。粗化是指图案演变的过程，在这个过程中，所看到的典型形状保持大致相同，而系统的长度尺度却在增长。以下是一些例子：左图像显示早期阶段，右图像显示后期阶段；系统大小不会从左到右改变。

   

薄液膜中的液滴

   

液体分层-Siggia的生长

   

平均曲率运动的晶界网络

   

通过平均曲率移动的Voronoi图

大多数粗化系统都是能量驱动的，也就是说，自由能正在被消耗以移动系统。耗散机制赋予配置空间几何结构（两个配置之间的距离平方是单位时间内将一个配置变形为另一个配置所需的最小功）。研究这种几何学中自由能的能量分布提供了有关动力学的信息。特别是，获得能量平均斜率的估计值可以提供粗化速度的估计值。

课程描述：本课程将建立最佳运输的基础，并研究结果空格。对最优运输和变量（如熵正则化运输和非平衡运输）的动态描述也将提出了。我们将介绍一些应用，特别是概率测度空间中的梯度流。该课程将包括数值计算最优交通地图、计划和距离，以及近似最优的统计特性随机运输。材料将被严格覆盖，作业中需要有严格的论点这门课程将是一个结构，以便为一些更实用的作业和项目提供选择。
先决条件：测量和集成的知识以及以下要素：高级实数分析（Sobolev空间基础）、微分方程、泛函/凸分析（Fenchel-Rockafellar对偶）、概率（Prokhorov紧性定理）、微积分变分（直接法，下半连续性）和微分几何（可微流形的概念，切空间，黎曼公制）。

1. （与Andrew Warren合著）非局部wasserstein距离：度量和渐近性质，（2022）预印本,
2. （与Anna Korba和Lantian Xu合著）通过基于粒子的交互优化精确量化度量，国际机器学习会议(2022) 24576-24595.出版
3. （与Jeff Calder和Sangmin Park合著）点云边界估计：算法、保证和应用，科学计算杂志92 (2), (2022) 1-59.预印本,出版
4. （与Katy Craig和Nicolas Garcia Trillos合著）图上的聚类动力学：通过Fokker–Planck从谱聚类到均值偏移插值，《活性粒子》，第3卷，第105-151页，Birkhäuser（2022）预印本,出版
5. （与Francesco Patacchini）吸引流形附近的非局部相互作用方程，离散和连续动力系统42 (2), (2022)预印本,出版
6. （与信阳路合著）数据参数化中带曲率惩罚的平均距离问题：极小值的正则性，ESAIM：控制、优化和变分计算27, (8), (2020),预印本,出版
7. （与Antonio Esposito、Francesco Patacchini和Andre Schlichting合作）图上的非局部相互作用方程：梯度流结构和连续极限，理性力学和分析档案, 240 (2), (2021), 699-760.预印本,出版
8. （与马可·卡罗西亚和安东宁·尚波勒合作）图上的Mumford-Shah泛函及其渐近性，非线性33 (8), (2020) 3846预印本,出版
9. （和杰夫·考尔德一起）半监督学习的加权拉普拉斯图，应用数学优化82 (3) (2019), 1111-1159.预印本,出版
10. （与Yousuf Soliman和Keenan Crane合作）保角展平的最佳锥奇点，ACM图形事务第37页，第4页，（2018），第105条，第1-17页，预印本,出版
11. （与马修·邓洛普、安德鲁·斯图亚特和马修·索普）基于图的半监督学习算法的大数据和零噪声极限，应用和计算谐波分析(2019)预印本,出版
12. （与尼科拉斯·加西亚·特里洛斯、莫里茨·格拉赫和马蒂亚斯·海因合作）随机几何上拉普拉斯图谱收敛的误差估计拉普拉斯的图形--贝尔特拉米算子，找到计算数学(2019),预印本,出版
13. （和马修·索普）半监督学习中的p-Laplacian正则化分析，SIAM J.数学。分析。51 (3), 2085-2120,预印本,出版。
14. （与马修·索普（Matthew Thorpe）、塞里姆公园（Serim Park）、索海尔·科洛胡里（Soheil Kolohuri）和古斯塔沃·罗德（Gustavo Rohde）合作）用于信号分析的运输距离，数学成像与视觉杂志59 no.2（2017）第187-210页，预印本,出版
15. （与Soheil Kolohuri、Serim Park、Matthew Thorpe和Gustavo Rohde合作）最佳质量运输：信号处理和机器学习应用，IEEE信号处理杂志34 no.4（2017）第43-59页，预印本,出版
16. （与刘建国和鲍勃·佩戈）不可压缩流的最小作用原理和之间的最优传输形状，变分法和偏微分方程58（5），179 预印本,出版
17. （与尼科拉斯·加西亚·特里洛斯和詹姆斯·冯·布莱希特合作）使用图形切割估算周长，应用概率的进展49第4号（2017）第1067-1090页，预印本,出版
18. （和斯拉夫·基洛夫）多重惩罚主曲线：分析与计算，数学成像与视觉杂志59 no.2（2017）第234-256页，，预印本 出版
19. （与尼科拉斯·加西亚·特里洛斯（Nicolás García Trillos））谱聚类一致性的变分方法，应用和计算谐波分析45第2期，（2018年），第239-281页，预印本,出版
20. （与尼科拉斯·加西亚·特里洛斯、詹姆斯·冯·布莱希特、托马斯·洛朗和泽维尔·布莱森合作）Cheeger和比率图切割的一致性，机器学习研究杂志, 17, 第181期，（2016），第1-46页。预印本,出版
21. （与Xin Yang Lu一起）参数化曲线的平均距离问题，ESAIM：控制、优化和变分计算，第22卷第2期（2016年），第404-416页。预印本 出版
22. （与Nicolás García Trillos合著）关于无限运输距离中经验测度的收敛速度，加拿大数学杂志，67（2015）第1358-1383页。预印本 出版
23. （与Robert Simione和Ihsan Topaloglu一起）非局域相互作用基态的存在性能量，统计物理杂志，第159卷，第4期，（2015年），第972-986页。预印本 出版
24. （与JoséAntonio Carrillo和Lijiang Wu合著）一致的非局部相互作用方程近似正则集，离散和连续动力系统A，第36卷第3期（2016年），页码1209 - 1247.预印本 出版
25. （与Nicolás García Trillos一起）点couds上总变化的连续极限，架构（architecture）。定额。机械。分析。，第220卷，第1期，（2016），第193-241页。预印本,出版
26. （与吴丽江）具有异质性和边界的环境中的非局部相互作用方程，偏微分方程中的通信，第40卷，第7期，（2015），第1241-1281页。预印本,出版
27. （与Matt Elsey一起）Voronoi图的平均曲率流，非线性科学杂志,第25卷第1期（2015年），第59-85页。预印本,出版
28. 离散平均距离问题极小元的性质测量值的近似值，SIAM J.数学。分析。第45卷第5期，(2013) 3114-3131.预印本,出版
29. 平均距离问题中正则性的反例，Ann.Inst.H.庞加莱分析。不莱内尔，第31卷，第1期，（2014）169-184，预印本,出版。
30. （与Wei Wang、Saurav Basu、John Ozolek和Gustavo K.Rohde合作）一个线性最优运输框架，用于量化和可视化图像集，国际计算机视觉杂志，第101卷，第2期，（2013），254-269，出版
31. （与费利克斯·奥托和克里斯蒂安·塞斯合作）二元粘性液体分层中粗化率的交叉，数学科学传播，第11卷，第2期，（2013），441-464，预印本,出版.
32. （与何塞·安东尼奥·卡里略、马可·迪·弗朗西斯科、阿莱西奥·菲加利和托马斯·洛朗合作）非局部相互作用方程中的约束，非线性分析，75号，第2期，（2012），550-558，预印本,出版
33. （与Wei Wang、John Ozolek、Ann Lee、C.Chen、Gustavo K.Rohde合作）基于核结构病理学的最佳运输方法，IEEE传输。医学影像学。30，第3期（2011）621-631出版
34. （与何塞·安东尼奥·卡里略、马可·迪·弗朗西斯科、阿莱西奥·菲加利和托马斯·洛朗合作）全局时间弱测度解，非局部相互作用方程的有限时间聚集和限制，杜克数学。J。156，（2011），第2期，229-271。预印本,出版
35. （与安德烈亚·贝尔托齐）带退化扩散的聚集方程解的存在唯一性，Commun公司。纯应用程序。分析。9第6期（2010），第1617-1637页。预印本,出版
36. （与何塞·安东尼奥·卡里略、斯特凡诺·利西尼和朱塞佩·萨瓦雷合作）非线性导纳连续方程和广义位移凸性，J.功能。分析。258（2010）第1273-1309页，预印本,出版
37. （与JoséAntonio Carrillo合著）一阶位移凸泛函示例，计算变量和PDE 36（2009）第547-564页。 预印本,出版
38. （与Selim Esedoglu一起）离散不适定扩散方程粗化率的精确上界，非线性21（2008）第2759-2776页。预印本,出版
39. 非局部界面系统中的粗化，SIAM J.数学。分析。40，第3期，（2008）第1029-1048页。预印本,出版
40. （与卡尔·格拉斯纳（Karl Glassner）、费利克斯·奥托（Felix Otto）和托拜厄斯·朗普（Tobias Rump）一起）液滴的奥斯特瓦尔德熟化：迁移的作用，欧洲的应用数学杂志20，第1期，（2009）第1-67页。预印本,出版
41. （与Robert McCann一起）快速扩散方程的二阶渐近性，国际。数学。Res.通知（2006年），第24947条，第1-22页。预印本,出版
42. （与费利克斯·奥托和托拜厄斯·朗普一起）液滴模型中的粗化率：严格的上限，SIAM J.数学。分析。38，第2期，（2006），第503-529页。预印本,出版
43. 不稳定薄膜方程自相似解的线性稳定性，界面和自由边界，（2009）第3期，第375-398页。预印本,出版
44. （与玛丽·C·普格）不稳定薄膜方程的自相似爆破，印第安纳大学数学。J54（2005）第6期第1697-1738页。预印本,出版
45. （与弗朗西丝卡·达里奥（Francesca da Lio）和因原·C·金（Inwon C.Kim））具有Neumann型边界条件的有界区域中的非局部波前传播问题及其应用，渐近分析37（2004）第3-4号，第257-292页。预印本,出版
46. 关于任意余维流形运动的水平集方法，界面和自由边界，5（2003）第417-458页。出版
47. 具有非局部速度和Neumann边界条件的波前传播的近似格式，非线性分析，52（2003），第79-115页。出版