%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\宣布什么是怪物。Richard E.Borcherds，%作者\脚注{$^*$}{支持NSF拨款DMS-9970611。}数学系，埃文斯·霍尔\#3840，加州大学伯克利分校，加利福尼亚州94720-3840美国。电子邮件：reb@math.berkeley.eduwww主页www.math.berkeley.edu/\hbox{\~{}}-reb\大跳跃当我还是研究生的时候，我的导师约翰·康威会他1岁的儿子进入了该部门，很快被称为小怪物。对这个问题的一个更严肃的回答是怪物是最大的（已知\脚注{**}{关于有限单群分类的公告20年前有点过于热情，但最近Aschbacher预印1300页史密斯最终应该完成它。}）零星的简单群体。它的名字来源于它的大小：元素的数量是$$\eqalign美元{&8080174247945128758864599049617107570057543680000000\cr= &2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2. 13^3.17.19.23.91.41.47.59.71，\cr}$$大约等于木星中基本粒子的数量。菲舍尔和格里斯最初预测该怪物存在20世纪70年代初，格里斯在几年后建造了它在作为线性变换组的一次非凡的巡视中关于维196883的向量空间交换但非结合双线性积，现在称为格里斯积。我们对怪物的结构和表现的了解是现在相当不错。194个不可简化的复杂表示是由费舍尔、利文斯通和索恩（在怪物甚至显示存在）它们占据了地图集[A]中的8大页有限群，这是关于怪物（和其他有限的简单组）。子组结构大部分为人所知；特别是有一个几乎完整的列表最大子群和我们知识关注的主要差距在怪物中嵌入非常小的简单组。如果有人希望明确地增加怪物的元素，R·A·威尔逊可以提供两个生成怪物的矩阵。但有一个注意：每个矩阵占用大约5GB的存储空间从威尔逊的地图集页面上看：“标准发电机现在已经制成$196882\乘以GF（2）上的196882$矩阵。。。他们已经成倍增加了使用Lehrstuhl D f“ur的大部分计算资源Mathematik，亚琛RWTH约45小时……”。（困难在于怪物的两个元素相乘并不是因为由于缺乏“小”表示而导致的巨大规模；对于例如，对称组$S_{50}$比怪物，但只需几分钟就可以将两个元素乘以手。）最后是大型怪物的模块化表示素数由Hiss和Lux计算得出；小素数的目前似乎仍遥不可及。20世纪70年代末，约翰·麦凯决定放弃有限群理论伽罗瓦理论。伽罗瓦理论中出现的一个函数是椭圆模函数$$j（\tau）=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots=\sumc（n）q^n$$（$q=e^{2\pi i\tau}$），这本质上是最简单的非常数函数在的$\tau\mapsto（a\tau+b）/（c\tau+d）$作用下不变$SL_2（{\bf Z}）$位于上半平面$\{\tau|\Im（\tau）>0\}$上。他注意到了$q^1$的系数196884几乎等于度196883年，怪物的最小复杂表示（最多为小实验误差）。“私酒”一词大致意思是奇怪零星群和模函数（以及任何事物）之间的关系else）类似。许多人都清楚，这只是毫无意义的巧合；毕竟，如果你有足够大的来自不同数学领域的整数很偶然，John McKay被告知观察就像看茶树叶子一样有用。约翰汤普森进一步分析了麦凯的观察结果，并指出椭圆模函数的接下来几个系数也是不可约维数的简单线性组合怪物形象；例如，$21493760=21296876+196883+1$. 他建议在那里应该是自然的无限维分级表示$V=怪物的sum_{n\in{bf Z}}V_n$，这样$V_n的维数$是$j（τ）$中$q^n$的系数$c（n）$，至少对于$n\ne0$. （$j（\tau）$的常数项在添加常数时是任意的到$j$仍然会在$SL_2（{\bf Z}）$下生成函数不变量，并且设置为744，主要是出于历史原因。）康威和诺顿[C-N]跟进了汤普森的建议查看McKay-Thompson系列$T_g（\tau）=\sum_n系数由下列轨迹给出的轨迹（g|V_n）q^n$表示$V_n$上怪物的元素$g$，由发现计算前几个项，它们似乎都是Hauptmodules属于0属。（Hauptmodule是一个类似于$j$的函数，但具有不变性在$SL_2（{\bf Z}）$以外的组下。阿特金、方和史密斯通过计算机计算显示确实有一个无限维的梯度表示麦凯·汤普森系列的怪物Conway和Norton发现的Hauptmodus，以及不久之后，弗兰克尔、勒波斯基和梅尔曼使用顶点操作符显式构造此表示。如果一个群作用于向量空间，自然会问它保留了任何代数结构，例如双线性形式或乘积。FLM构造的怪物模块具有在怪物行为下不变的顶点代数结构。不幸的是，没有简单的方法解释什么是顶点代数；参见[K]了解对他们的最佳介绍。顶点代数是带导子的交换环（至少在特征0中）。大致来说，它们可以被认为是带有导数的交换环环乘法并非处处都有定义；这类似于代数几何中的有理映射，即也不是到处都有明确的定义。更具体但不太直观顶点代数的定义是它由一个空间组成满足可数双线性乘积某些相当复杂的身份。在以下情况下怪物顶点代数$V=\oplus V_n$，这给出了双线性对于所有整数$i、j、k$，从$V_i\times V_j$映射到$V_k$，而$V_2\乘以V_2$到$V_2$的映射的特例是（本质上）格里斯产品。所以格里斯代数是怪物顶点代数的一部分。根据Frenkel的思想，可以使用怪物顶点代数用Goddard T角构造怪物李代数弦理论中的no-ghost定理。这是一个${\bf Z}^2$级的谎言代数，其在{\bf Z}^2$中的度$（m，n）具有维数$c（mn）$每当$（m，n）\ne（0,0）$。应该想到这个怪物作为这个李代数的一组“图自同构”，在与对称组$S_3$是一组图的方式相同李代数$D_4$的自同构。怪物李代数有一个分母公式，类似于有限维李代数和的Macdonald Kac恒等式仿射李代数，看起来像$$j（\sigma）-j（\tau）=p^{-1}\prod_{m>0\top n{\bf Z}}（1-p^mq^n）^{c（mn）}$$其中$p=e^{2\pii\sigma}$，$q=e^}2\pii\陶}$。这个公式是由几个人在20世纪80年代独立发现的，包括Koike，诺顿和扎吉尔。替换的$j（\tau）$有类似的标识由麦凯·汤普森（McKay-Thompson）系列的任何怪物元素、康明斯（Cummins）和甘农（Gannon）制作证明了满足这种恒等式的任何函数都是Hauptmodule。所以这为康威和诺顿的观察到McKay-Thompson级数都是Hauptmodules。因此，“怪物是什么”这个问题现在有几个合理的答案：\怪物是最大的零星简单群体，或者说唯一的简单群及其顺序。\它是Griess代数的自同构群。\项目{3}它是怪物的自同构群顶点代数。（这可能是最好的答案。）\项目{4}它是一组图的自同构怪兽李代数。不幸的是，这些定义中没有一个是完全令人满意的。目前，上述代数结构的所有构造似乎人工；它们被构造为两个或多个的和显然不相关的空间，并且需要花费大量精力来定义这些空间和的代数结构，并检查怪物会对生成的结构进行操作。\宣布参考文献。\项目{[A]}J.H.Conway、R.T.Curtis、S.P.Norton、，R.A.Parker，R.A.Wilson，有限群地图集，克拉伦登出版社，牛津，1985\项目{[C-N]}J.H.Conway、S.Norton、Monstrous私酒，牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷（1979）308-339页。\项目{[K]}V.Kac，初学者的顶点代数。第二版。大学讲座系列，10。美国数学学会，普罗维登斯，RI，1998\再见