\放大倍数=\magstep1第17章24维奇幺模格。R.E.Borchers公司。本章完成了24维单模的分类通过枚举奇数格来生成格。这些（本质上）在与相邻Niemeier格对的一一对应。24维的偶数幺模数格由尼迈耶[Nie2]和上一章中给出的结果，以及奇偶幺模格的计数尺寸小于24。有二十四个Niemeier格，在本章中，它们将被其组成部分所指$D_{24}$，$D_{16} E_8（E_8）$，Leech晶格表示为$\Lambda_{24}$，还有希腊字母$\alpha、\beta、\ldots$（见表16.1）。24维和25维的{bf奇数}幺模格是归类于[Bor1]。在本章中，我们列出了奇数24维格子。仅给出最小范数至少为2的那些，即。，那些是严格24维的，因为其他的很容易从低维晶格获得（见表2.2中的总结第2章）。这里有一张所有665个25维单模格的表还有我家里121个甚至25维的行列式2格子第页（目前http://www.dpmms.cam.ac.uk/home/emu/reb/.my-home-page.html).如果他们的十字路口都有索引2（[Kne4]，[Ven2]）。我们现在简要介绍一下[Bor1]中使用的算法列举25维单模格。第一步是观察到存在一对一的对应关系在25维单模格之间（直到同构）偶数洛伦兹格$II_{25,1}中范数$-4$向量的轨道$给出如下：格$\Lambda$对应于范数$-4$向量$v$当且仅当$\Lambda的偶向量的子格$与晶格$v^\perp$同构。因此，如果可以的话，我们可以对25维单模格进行分类对$II{25,1}$中的负范数向量进行分类。我们可以对范数$-2n\le 0$的向量的轨道进行分类$II_{25,1}$通过$n$上的归纳法，如下所示。首先原始范数0向量对应于Niemeier格，如第26章。所以有24个原始范数0向量的轨道，任何范数0向量都可以通过乘法从原向量中获得通过一些常量。假设我们已经将范数为$-200m$的向量的所有轨道分类为$0\ge-2m>-2n$，并且我们有范数$-2n$的向量$v$。我们修复反射群的基本Weyl腔$II_{25,1}$如第26章所示。我们看晶格的根系统$v^\perp$，并发现可能发生以下三种情况之一：\项{1.}有一个范数0向量$z$，其中$（z，v）=-1$。结果是微不足道到对这种范数$-2n$向量$v$进行分类：有一个对应的轨道范数0向量的每个轨道。它们对应于格子$v^\perp$这是尼迈尔晶格和一维晶格的总和由范数$2n$的向量生成。\项{2.}没有范数0向量$z$，其中$（z，v）=1$和根系统$v^\perp$的非空。在这种情况下，我们选择$v^\perp$的根系统，并让$r$成为其最高根。然后向量$u=v+r$具有范数$-2（n-1）$，并且关于没有范数0向量$z$且$（z，v）=1$很容易意味着$u$仍在$II{25,1}$的Weyl室。因此，我们将$v$简化为某个已知向量$u$为标准$-2（n-1）$，只要稍加努力，就可以将其逆转从$u$处理并构造$v$。\最后假设$v^\perp$中没有根。由于$v$位于Weyl腔室中，这意味着$（v，r）\le-1$代表所有简单词根$r$。根据第27章的定理1，有一个范数0（Weyl）向量对于所有简单根，$w{25}$具有$（w{25{，r）=-1$的属性$卢比。因此向量$u=v-w_{25}$的所有属性都是$（u，r）\le 0$简单根$r$。所以$u$位于Weyl腔中，并且具有标准$-2n-（u，w_{25}）$它大于$-2n$，除非$v$是$w{25}$的倍数。因此，我们可以从已知向量$u$重建$v$，即$v=u+w_{25}$。在任何情况下，我们都可以从已知向量中重建$v$，因此我们得到了一个算法用于对$II_{25,1}$中的范数$-2n$向量进行分类。（此算法在高维洛伦兹晶格中分解的原因有两个：对范数0向量进行分类太难了，通常没有Weyl向量$w{25}$的类似物。）我们现在应用上面的算法来找到模$-2的121个轨道$（已知）范数0向量中的向量，然后再次应用它来查找范数$-4$向量的665个轨道来自范数0和$-2$的向量。严格24维奇幺模格的邻域可以如下所示。如果II_{25,1}中的范数$-4$向量$v\$对应于严格的24维奇数幺模之和晶格$\Lambda$和一维晶格，那么$II_{25,1}$的两个范数-0向量的内积$-2$与$v$，这些范数$0$向量对应于$\兰姆达$。奇数24维格的计数。}图17.1显示了Niemeier晶格的邻域图，其中有一个每个晶格的节点。如果$A$和$B$是相邻的Niemeier格，共有三个包含$A\cap B$，即$A$、$B$和奇数的积分格单模格$C$（参见[Kne4]）。在节点之间绘制边图17.1中每个严格24维单模的$A$和$B$格子就是这样产生的。因此存在一对一的对应关系严格24维奇幺模格与邻域图的边。156个格子如表所示17.1. 图17.1还显示了尺寸8的相应图表和16。对于表中的每个晶格$\Lambda$，我们给出了其组件（在上一章的符号）及其偶数邻居（表示用2个希腊字母表示，如表16.1所示）。最后一列给出了订购$g_1（\Lambda）$、$g_2（\Lambeda）$组的$g_1.g_2$如下所示。我们可以写$Aut（\Lambda）=G_0（\Lambda）。G_1（\Lambda）。G_2（\Lambda）$其中$G_0$是反射组。群$G_1$是元素的$Aut（\Lambda）$的子群固定Weyl群的基本腔，而不是互换这两个邻居。组$G_2（\Lambda）$的顺序为1或2如果$\Lambda$的顺序为2，则交换它的两个邻居。（它结果表明$G_2（\Lambda）$有2阶当且仅当这两个$\Lambda$的组件是同构的。）组件写为$G_1（\Lambda）$下的轨道并集，在两个圆括号内如果它们在$G_2（\Lambda）$以下熔合，则轨道。表中的第一个晶格是奇数水蛭晶格$O_{24}$，这是唯一一个没有范数2向量的向量。范数2向量由公式$$8h（A）+8h（B）-16$$给出，其中$h（A$h（B）$是晶格偶数邻域的Coxeter数。这些Coxeter数满足不等式$h（B）\le 2h（A）-2$和等式成立的格子用粗线表示如图17.1所示。晶格$\Lambda$的Weyl向量$\rho（\Lambda）$具有由公式$\rho（\Lambda）^2=h（A）h（B）$。\再见