%普通tex\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\C{{\bf C}}%复数\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\def\F{{\bf F}}%有限域\定义\Sp{\hbox{\rm-Sp}}\定义\GL{\hbox{\rm GL}}\定义\Aut{\hbox{\rm Aut}}\定义\Ma{\hbox{\rm质量}}\定义\OO{{\rm O}}\定义\pii{\pi\hbox{\rmi}}\宣布Siegel尖角形状，度数12，重量12。J.reine angew。数学494（1998）141-153。理查德·博彻兹，\脚注{$^*$}{由皇家学会支持教授职位。}D.P.M.M.S.、。，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。电子邮箱：dpmms.cam.ac.uk\大跳跃E.弗雷塔格，海德堡大学，我是Neuenheimer Feld 288，德国海德堡D-69120。freitag@mathi.uni-heidelberg.de电子邮箱\大跳跃R.Weissauer，曼海姆大学，德国曼海姆D-68131。weissauer@math.uni-mannheim.de\medskip\noindent（医学跳过）这是Witt（1941）推测的后来（1967年）由Igusa独立证明[I]和M.\Kneser[K]关于两个幺模偶的θ级数秩为16的正定格在度$\le 3$在4度时线性无关。在本文中，我们考虑下一个24阶Niemeier格的例子。关联的θ级数在11度上是线性相关的独立的12度。得到的Siegel尖角形状为12度和重量12是赫克特征形有趣的属性。我们要感谢G.\H\“ohn有用的评论和提示。\宣布通过θ级数构造Siegel尖点形式。\无音（noindent）设$\Lambda$是偶幺模正定格，即一个自由阿贝尔群正定对称双线性形式$（x，y）$，$\Lambda$与其对偶项一致，并且$$Q（x）：={1\over 2}（x，x）$$是整数。通过减少模块$2$，我们获得二次型$$q:E:=\Lambda/2\Lambda \longrightarrow\Z/2\Z，\qquad q（a+2\Lambda）=q（a）\hbox{\rm mod}2$$在$\Z/2\Z$-向量空间$E$上。度$n$相对于$\Lambda$是$$\vartheta_{\Lambda}（Z）=\sum_{g\in\Lambda ^n}\exp\pi\hbox{\rm i}\σ（T（g）Z）\qquad（σ=\hbox{trace}）$$哪里$$T（g）：=\bigl（（g_i，g_j）\bigr）_｛1\le i，j\le n｝\qquad（g=（g_1，\dots，g_n））$$变量$Z$在Siegel上半平面上变化学位$n$。这是相对于完整Siegel的模块化形式模块组$\Sp（2n，\Z）$，但不是尖点形式。如果$m$表示$\Lambda$的等级，则权重为$m/2$，$m$可以被$8$整除。为了从中获得尖点，我们修改了这个定义。\小跳跃假设给定函数$\epsilon（F）$，其中依赖于子空间$F\子集E$。对于$g\in\Lambda^n$，我们用$F（g）$表示$\Z g_1+\cdots+\Z g_n$以$E$表示。对于任意度$n$，我们定义$$f^{（n）}（Z）：=\sum_{g\in\Lambda^n}\epsilon（f（g））\exp{\pii\over2}\σ（T（g）Z）\qquad（\sigma=\hbox{\rm trace}）$$一般来说，这不是一个模块化形式关于完整模块组。\小跳跃构造合适的函数$\epsilon（F）$我们使用正交群$\OO（E）$向量空间$E$。它由以下所有元素组成保留二次型$q$的一般线性群$\GL（E）$。$\OO（E）$承认这是我们构建的一个基本事实索引$2$的子组。它是所谓的{\it-Dickson不变量}。我们参考[B]了解一些细节。为了定义Dickson不变量，我们选择了一个基$e$的$e_1，\dotes e_{m}$，这样$q$的形式$$q\Bigl（\sum_{i=1}^{m}x_ie_i\Bigr）=\sum_{j=1}^}m/2}x_jx_{m/2+j}$$这是可能的，因为所有甚至是单模格都是等价的对于任何自然数$p$，超过$\Z/p\Z$。正交群$\OO（E）$现在显示为辛的一个子群组$\Sp（m，\Z/2\Z）$。它由所有辛组成矩阵$M=\左（A B\上C D\右）$使得$A'C$和$B'D$的对角线为零。这是所谓θ群的图像。很容易检查$$D:\OO（E）\longrightarrow\Z/2\Z，\quad D（M）=\sigma（C'B）$$是同态。这是狄克逊不变量。它是非平凡的，因为如果E$中的$a\是具有$q（a）\ne 0$然后是“transvection”$x\mapsto x-（a，x）a$具有非零Dickson不变量。\小跳跃子空间$F\子集E$称为{各向同性\/}如果$q$到$F$的限制消失。我们现在考虑$E$的最大各向同性子空间。它们的尺寸是$m/2$。正交组$\OO（E）$传递作用于这些空间的集合。但在Dickson不变量$D的内核下$有两个轨道。两个空格$F_1$和$F_2$位于同一位置轨道当且仅当它们的交点具有偶数维时。我们从两个轨道中选择一个，称之为第一个轨道另一个称为第二轨道。\小型跳过我们现在定义一个特殊的$\epsilon（F）$，如下所示。当且仅当$F$是最大各向同性的。在第一个轨道上是$1$，在第一个轨迹上是$1$在第二个问题上。\小跳跃在下面我们考虑模形式$f^{（n）}的系统$通过这个特殊的$\epsilon（F）$构造。\小跳跃我们的第一个观察结果是函数$f^{（n）}（Z）$具有句点$1$在所有变量中，因此允许傅里叶展开$$f^{（n）}（Z）=\sum_Ta_n（T）\exp（\pii\sigma（TZ））$$其中$T$遍历所有带偶数的积分对称矩阵对角线的。我们的下一个观察结果是系数$a_n（T）$在幺模下是不变的替换$T\mapsto U'TU$，其中$U\in\GL（n，\Z）$。设$L$是秩为$n$的任意偶数格。这个Gram矩阵$T=\bigl（（e_i，e_j）\bigr）$关于格的基被确定为幺模等效。我们可以定义$$a（L）：=a_n（T）$$简单的计算得出$$a（L）=\#\Aut（L）\sum_{M}\epsilon（M/2M）$$其中金额超过了$M$，因此\项目{1.}$M$是$\Lambda$的$n$维子格。\项目{2.}$M$与$L（2）$同构。（$L（2）$表示加倍格$L$。它与$L$具有相同的基础组，但标准$（x，x）$翻倍。）\项目{3.}$M/2M$在$\Lambda/2\Lambda中是最大各向同性的。\小跳跃组$\Aut（\Lambda）$作用于所有$M$的集合。它也作用于子空间$F\子集E$。我们以后需要知道这个群保持了Dickson不变量。如果包含$\Aut（\Lambda）$，则为这种情况在特殊正交组中。因为这个必须用那个自然同态的合成$\Aut（\Lambda）\to\OO（E）$与$（-1）^D$是行列式[B]。\小跳跃在下面我们假设$\Lambda的所有自同构$具有行列式$+1$。否则所有$f^{（n）}$都会消失。所以我们必须排除包含范数$2$的向量的所有格$\Lambda$。我们可以重新计算公式傅里叶系数为\宣布引理1。的傅里叶系数$a（L）$函数$f^{（n）}$由下式给出$$a（L）=\#\Aut（\Lambda）\#\Aut（L）\sum_M{\epsilon（F）\over\#\Aut（\Lambda，M）}\qquad（F=M/2M）$$这里$M$运行在$\Aut（\Lambda）$-轨道的一组代表上与$L（2）$同构的$\Lambda$的子格。组$\Aut（\Lambda，M）$由以下所有元素组成$\Aut（\Lambda）$将$M$保留为一组。\无音（noindent）现在我们想证明$f^{（n）}$是一个具有关于完整模块组。更准确地说，$f:=（f^{（n）}）$是一个可以得到Siegel模形式的稳定系统，即\$f^{（n）}$通过应用Siegel$\Phi$-运算符从$f^{（n+1）}$开始。众所周知，每个稳定的系统都可以编写以规范的方式作为标准θ函数$\vartheta_L$。这让我们线性组合的以下构造标准θ级数。\小跳跃设$F\子集E$是最大各向同性空间。我们考虑相反的情况自然投影下$F$的图像$\pi^{-1}（F）$$\pi:\Lambda\到E$。二次型$Q/2$是偶数和幺模的关于$\pi^｛-1｝（F）$。通过这种方法，我们获得了一个新的$m$-维偶单模格$\Lambda_F$。这个是$\Lambda$相对于$F的所谓过渡性变化$以Koch和Venkov[KV]的符号表示。\小跳跃我们需要更多的符号。让$\Lambda’$是偶幺模正定维度为$m$的晶格。我们介绍质量和修改质量$$\eqalign美元{\Ma（\Lambda’）&=\sum_{\Lambda_F\cong\Lambda’}{1\over\#\Aut（\Lambda，F）}，\cr\Ma^\epsilon（\Lambda'）&=\sum_{\Lambda _F\cong\λ'｝｛\epsilon（F）\over\#\Aut（\Lambda，F）｝，\cr｝$$其中$F$运行在$\Aut（\Lambda）$-轨道的代表系统上$E$的最大各向同性子空间的$\Lambda'$类型的perestroika。\小跳跃我们修复了代表的系统$\Lambda_1、\dots、\Lambda _h$这类格$\Lambda'$的同构类，并写入$$\Ma（i）：=Ma（\Lambda_i），\quad\Ma^\epsilon（i$$\宣布定理2。我们有$$f=\#\Aut（\Lambda）\sum_{i=1}^h\Ma^\epsilon（i）\vartheta_{\Lambda_i}$$特别是$f^{（n）}$是关于全模块化组。形式$f^{（n）}$n消失1$这并不总是正确的。\小跳跃获取有关Satake参数的信息（在质数$p=2$处）我们需要算子$T（p）的图像$在局部Hecke代数中。此公式可在中找到[F] ●●●●。我们为选择根$yj=\sqrt{xj}$每个Satake参数。直接后果公式[F]、IV.3.14、a）和b）为$${\lambda（p）^2\超过x_0^{-2}×1\cdotsx_n}=\prod_{j=1}^{12}\bigl（yj+yj^{-1}\bigr）^2\quad\hbox{\rm和}\quadp^{{n（n+1）\over2}-12n}=x0^{-2}×1\cdot x n$$计算值$\lambda（2）$现在给出：\宣布定理13。我们的Satake参数$x_i=y_i^2$学位尖角形式$12$和重量$12$地点$p=2$satisfy$$\left\vert\prod_{i=1}^{12}（y_i+y_i^{-1}）\right\vert=｛3^｛11｝\cdot5\cdot17\cdot901141\超过2^｛26｝｝$$1999年9月23日添加的备注：不幸的是定理13是错误的。对于正确的值参见预印本“Duke-Imamoglu猜想”布鲁曼（Breulman）和库斯（Kuss），或者参见下一节提到的池田（Ikeda）的论文。\smallskip\noindent（小跳过）{\bf推论}拉马努扬猜想$\vert x_i\vert=1$违反$p=2$。\宣布公开问题。\无音（noindent）我们列出了一些关于Siegel尖点表格$f$的问题。\小跳跃\项目{1.}是当规范化，使$D_{12}$的系数为1？\smallskip\item{}可以证明$f^{（m/2）}/\#\Aut（\Lambda）的系数$对于任意$\Lambda$，包含在$\Z[1/2]$中，并且对于Leech晶格，在$（1/2）\Z$中。这意味着归一化系数的分母除以$2^7\cdot3^5\cdot5^2\cdot7$。\小跳跃\项目{2.}为什么$f$的系数与这些相似上面的模块化形式？是否存在类似的关系行列式$1\bmod8$？的格的系数？是否可以写下一些简单的显式$f$系数的公式？\smallskip\item{}{}根据[We]，标准的$L$-函数$L（f，s）$共$f$有一根杆子，$s=1$。这表明$L（f，s）=\ zeta（s）L（s）$，其中$L$属于$24$-维$L$-adic伽罗瓦代表。这个Galois表示不能是纯的（定理13），因此人们可能会认为它的重量过滤揭示了与$\ta（8\tau）^{12}\tea（\teau）$。1999年9月23日添加的备注：预印本“关于取消Tomotsu提出的2n’’度Siegel尖点形式的椭圆模形式池田（1999年9月22日）证明了一个普遍的提升定理包括本文的尖点形式作为特例。特别地他演示了如何根据重量计算其系数与Shimura的$\Delta（\tau）$相关的$13/2$cusp表格对应，并表明系数仅取决于相应格的属。他的结果似乎也暗示了本文中尖点形式的系数总是整数。\bigskip\n隐藏%\宣布参考文献。\项目｛[A]｝A.\Andrianov。与Siegel相关的Rankin型齐塔函数模块化形式，单变量VI的模函数，325-338，数学课堂讲稿{\bf 627}，Springer-Verlag柏林-海德堡纽约，1977年\小跳跃\物品{[B]}N.\BourbakiEl\'ements公司数学，Livre VI、Deuxi‘eme Partie、Groupes et Alg‘ebre de Lie，1.赫尔曼，现实是科学et Industrielles，{\bf 1293}，1962年。\小跳跃\物品{[CS]}J.\H.\Conway，N.\J.\A.\Sloane。球形填料、格子和组。纽约斯普林格-弗拉格，格兰德伦数学Wissenschaften，1988年\小跳跃\项目{[DLMN]}C.Dong，H.Li，G.Mason，S.P.Norton。格里斯代数的结合子代数及相关主题，预印本，http://xxx.lanl.gov/abs/q-alg/9607013, 1996\小跳跃\物品{[F]}E.\ Freitag。Siegelsche模块，纽约斯普林格-弗拉格柏林，格兰德伦德mathematischen Wissenschaften（1983年）\小跳跃\物品{[I]}J-I.\伊古萨。\模形式和投影不变量，数学硕士。{\bf 89}，817--8551967年。\小跳跃\项目｛[K]｝M.\Kneer。Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen公司求积形式，数学安纳伦{\bf 168}，31-361967\小跳跃\项目{[KV]}H.\Koch，B.B\Venkov\“Uber ganzzahlige unimodulare公司euklidische记事本，J.\Reine Angew数学。{\bf 398}，144--1681989\小型跳过\物品{[我们]}R.\Weissauer。稳定模量与Eisensteinreihen，数学课堂讲稿{\bf 1219}，施普林格-弗拉格-柏林-海德堡-纽约，1986\小跳跃\物品{[Wi]}E.\Witt。Eine Identit“在茨威辛数学分数模块Sem.\汉堡{\bf 14}，323--3371941\再见