%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\宣布水蛭晶格的细胞结构。R.E.Borcherds、J.H.Conway和L.Queen（这是“球体填料、晶格和组”的第25章，由康威和斯隆编辑。）我们完成了水蛭洞的分类通过显示有284种类型的浅孔。\宣布1.~引言。在[C-S]的第23章中，表明有23种类型的深部水蛭格子$\Lambda{24}$中的洞，这些洞位于与Niemeier格的一一对应。存在以及最近发现的信件在Monster群中的共轭类和某些模之间函数[C-N]表明可能值得枚举浅层水蛭格子上的洞并完成其分类Delaunay细胞，以防任何“深层结构”变得明显。尽管这还没有发生，深孔和浅孔的完整列表已经发现了几种用途，而且似乎值得一试记录。主要结果如下。\宣布定理1。Leech晶格中有307种类型的空穴，包括深孔23种，浅孔284种。它们列于表1中。深孔的邻域图可参见[C-S]第17章。\宣布2.~洞的名称。我们使用[C-S]第23章的符号，并描述水蛭套餐图的格点，带有每个晶格点的节点，其中两个节点$x$和$y$是$$\eqalign美元{\hbox{未连接}\h填充&\hbox{if}N（x-y）=4，\cr\hbox{通过~a~单边连接到一起}填充&\hbox{~if}N（x-y）=6，\cr\hbox{通过~两条~边}\h将&\hbox{~if}N（x-y）=8.\cr连接}$$更多的连接将不要出现在这里。在[C-S]第23章中，深孔的顶点在$\Lambda{24}$中，用一个图来描述具有总下标（或维数）的扩展Coxeter-Dynkin图24和恒定Coxeter数$h$。（Coxeter编号如所示下表2）只有23种可能的组合，可以是见表1的前23行。使用相同的图形我们证明了以下结果。\宣布引理2。水蛭晶格中浅洞的顶点是25个$\Lambda_{24}$的点，对应的图是其并集球形Coxeter-Dynkin图。证明。[C-S]第23章的定理5和6表明该图是球面Coxeter-Dynkin图的并集，按维度注意：孔必须包含至少25个顶点。但是对应于这样一个图的基本根（无论它是否连接）在其所在的向量空间中线性无关in和so是密切独立的。这表明图形不能包含25个以上的节点。验证任何这样的25个点集是浅孔的顶点集。争论类似于[C-S]第23章的定理7，即深孔的相应结果。因此水蛭晶格是简单的。\宣布3.~体积公式。设$P_1、P_2、\ldot、P_N$成为所有人的代表制$\Lambda{24}$中的孔位于全自同构群$\cdot\infty$$\Lambda_{24}$的。让vol$（P_i）$表示体积$P_i$和$g（P_i）的$其自同构群的阶（即$\cdot\infty的子组$修复$P_i$）。然后我们有了{\it体积公式}：$$\eqalign美元{\hbox{~a~基本~域的体积~~}\Lambda_{24}的=&\sum_{i=1}^{N}卷（P_i）~\times~\hbox{第~张，共~张，第~张}张~P_i~\hbox｛在~｝下\cdot 0\cr=&~\sum_{i=1}^N~{{|\cdot 0|}\在{g（P_i）}}上卷（P_i）~，\cr}$$其中$|\cdot 0|$表示$\cdot 0$的顺序。孔的体积$P$可以表示根据谎言中熟悉的概念理论（参见[B]）。对于深孔，$$vol（P）~=~{1\超过24！}~h\sqrt d~，$$对于浅孔$$vol（P）~=~｛1\超过24！｝~\sqrt｛sd｝~，$$其中$h$是Coxeter编号，$d$是Cartan矩阵的行列式球面Coxeter-Dynkin图，$s$是Weyl向量的范数。对于连接的组件这些数量如表2所示（注意$s~=~h（h+1）n/12$）。对于断开连接的图形，$h$和$d$是产品在分量的值中，而$s$是总和。还可以显示半径浅孔的$\sqrt{2~-~{1\overs}}~$。表2\halign{#\hfill&&~~\hfill#\hfill\cr&$a_n（或~a_n）$&$d_n$h:$&$n+1$&$2n-2$&12&18&30\cr$d:$&$n+1$&4&3&2&1\cr$s:$&$~~{n（n+1）（n+2）\超过12}$&${（n-1）n（2n-1）\超过6}$&78&${399\超过2}$&620\cr}\宣告4.~浅洞的计数。我们只简要描述一下这些浅孔是如何形成的并证明了定理1。两种分类方法是已使用。{\bf方法1.}此方法用于查找所有浅孔包含一个特殊的球形Coxeter-Dynkin图$X$作为组件，通过在水蛭格子。此方法仅在$X$至少有七个点，否则分类会变得太复杂。我们绘制了$\Lambda{24}$中未连接到任何点的所有点的图形$X$，然后从该图中删除足够的点，使$X$与其余图形的并集是球面的集合图表，共有25个点。这些洞的群序，通过检查发现，通常为1或2。作为一个例子，我们考虑图$X~=~a{15}$。我们从中找到[C-S]的图23.9表示只有九种类型的有序$a_{15}$水蛭格子中的图表。当我们识别反转时减少为五种不同类型，如图1（a）-（e）所示粗线条。（这些图的背景取自图[C-S]的27.3，并显示35个点对之间的所有边距离$a{24}$型深孔中心最近。这是一个水蛭晶格的方便部分，用于special包含$\Lambda_｛24｝$的所有未连接到$a{15}$图表。）在图（a）-（e）中的四个图中，我们发现在子图中没有连接到$a{15}$图（由阴影节点和虚线）不可能求不相交球面Coxeter-Dynkin图与总共$10（=~25-15）$个节点，因此相应类型的$a{15}$图表不能是浅孔的一部分。然而，对于第五类（图（e）），分离子图包含11个点，通过依次省略每一点，我们可以将其分解为Coxeter-Dynkin如图所示。十一种可能性中的三种失败（标记为x的），因为它们会留下一个包含{\它扩展了}图。剩下的八个成功了。因此，有八种类型的浅孔图中的$a{15}$：$a{15-e_8a_1^2$，$a{15.e_7a_3$，$a{15}e_6d_4$，$a{15}d_5^2$，$a{15}d_6a4$，$a{15{d_7a_2a_1$、$a{15}d9a_1$和$a{15-d{10}$。{\bf方法2.}我们取一个给定的深孔，找到所有的浅孔有一张和它相同的脸。一个深洞的周围是[C-S]第24章对此进行了详细说明很容易。这些孔的组顺序可以通过以下方式找到考虑对应自同构的子群深孔，用于修复有问题的表面，然后进行适当补偿因为浅孔可能会接触到同样的方式。通过结合这两种方法进行了完整的枚举并使用体积公式进行检查。提供了第二次检查事实上，每个洞的数量$sd$必须是完美的平方（因为孔的体积是有理数）。大多数枚举进行了两次：首先由L.Q.和J.H.C.进行，然后由完成列表的R.E.B独立完成。小组订单是由两个团队计算。{\bf备注}（1） 事实证明（与深洞形成对比）浅孔的图解并不能唯一地确定它。有$a17a8$、$a{17}d7a1$、$a{11}d7中每种类型的两个孔a_3a_2^2$和$a_9^2a_4a_3$。（2） 有一个类型为$a_1^{24}a_1$的独特洞。这个有形状具有25个顶点的正则单纯形，尽管其组不是在顶点上具有传递性。该组是Mathieu组$M_{24}$作用于大小为24和1的轨道。这个洞最小半径，即$\sqrt{2~-~{2\超过25}}~$，而最大半径的浅孔是$d_{25}$，带有半径$\sqrt｛2~-~｛1\超过4900｝｝~$。深孔半径为$\sqrt 2$。（3） 如果闭合多边形对应于类型的深孔$D_4^6$从$\bf{R}^{24}$中删除，得到的空格为断开的。{\bf致谢。}我们要感谢R.A.Parker一些有益的讨论。\宣布表1。水蛭格子中所有307个洞的列表。前23个入口是深孔。这些条目给出了孔的名称$P_i$，其自同构群的顺序$g（P_i）$，其标度体积$$s卷（P_i）~=~vol（P_i）~\cdot~{24！\over|\cdot 0|}~$$其Weyl向量的范数$s（P_i）$和行列式$d（P_i）$然后体积公式变成$$\总额_i~{svol（P_i）\over g（P_i）}~=~{24！\over |\cdot 0|}~=-74613~。$$孔的名称表示其自同构群的轨道图中的组件。因此，孔$a_7^2 a_3^2 a_2 a_1^2$具有两个$a7$类型的等效组件，两个$a_1$类型的等价组件，以及$a3$类型的三个，其中只有两个在自同构群。\宣布表1（a）。\哈利恩{#&&\h将~~#\cr名称&$g$&svol&$s$&$d$\cr$D_{24}$&2&92&&4\cr$A_{24}$&10&125&&25\cr$A_17 E_7$&12&1944&&36 \cr$D_{16}E_8$&2&1800&&4\cr$A_{15}D_9$&16&2048&&64\cr$D_{12}^2$&8&1936&&16\cr$A_{12}^2$&52&2197&&169\cr$A_{11}D_7 E_6$&24&20736&&144\cr$D_{10}E_7^2$&8&23328&&16\cr$A_9^2 D_6$&80&20000&&400\cr$E_8^3$&6&27000&&1\cr$D_8^3$&48&21952&&64\cr$A_8^3$&324和19683和&729\cr$A_7^2 D_5^2$&256&131072&&1024\cr$E_6^4$&432&186624&&81\cr$D_6^4$&384&160000&&256\cr$A_6^4$&1176&117649&&2401 \cr$A_5^4 D_4$&3456&559872&&5184 \cr$D_4^6$&138240&2985984&&4096\cr$A_4^6$&30000和1953125&&15625\crA_3^8美元&688128美元&16777216美元&4^8美元\cr$A_2^{12}$&138568320&387420489&&$3^{12{$\cr$A_1^{24}$&1002795171840&68719476736&&$2^{24{$\cr$d_{25}$&1&140&9800/2&4\cr$a{25}$&1&195&2925/2&26\cr$d_{24}a_1$1&186&8649/2&8\cr$a{24}a_1$&2&255&2601/2&50\cr$a{23}a_2$&2&288&2304/2&72\cr$d_{22}a_2 a_1$&282&6627/2&24\cr$d_{21}a_4$&1&240&5760/2&20\cr$a{21}a_3a_1$&396&1782/2&176\cr$d_{20}d_5$&1&200&5000/2&16\cr$a{20}a_5$&1&315&1575/2&126\cr$d_{19}e_6$&1&162&4374/2&12\cr$a{19}d_6$&1&240&1440/2&80\cr$a_｛19｝a_4 a_1^2$&2&520和1352/2&400 \cr$d_{18}e_7$&1&126&3969/2&8\cr$a{18}e_7$&1&171&1539/2&38\cr$a{18}a6a_1$&399&1197/2&266\cr$d_{17}e_8$&1&92&4232/2&4\cr$a{17}e_8$&2&141&2209/2&18\cr$a{17}a8$&2&297&1089/2&162\cr$a{17}a8$&2&297&1089/2&162\cr$a{17}e_7 a_1$&2&222&1369/2&72\cr$a{17}d_7 a_1$&288&1152/2&144\cr$a{17}d_7 a_1$&2&288&1152/2&144\cr$a{17}d_6 a_2$&2&342&1083/2&216\cr$a{17}a6a_2$&2&441&1029/2&378\cr$a{17}a5a_3$&2&468&1014/2&432\cr$a{17}a_4a_3a_1$&2&600&1000/2&720\cr$d_｛16｝d_9$&1&152&2888/2&16\cr$d_{16}a9$&1&230&2645/2&40\cr$d_{16}e_8 a_1$&122&3721/2&8\cr$d_{16}a8a_1$&306&2601/2&72\cr$d_{16}e_7 a_2$&186&2883/2&24\cr$d_{16}e_6a_3$&252&2646/2&48\cr$d_{16}a6a_2a_1$&462&2541/2&168\cr$d_{16}d_5a_4$&132&2560/2&80\cr$d_{16}a_5a_4$&390&2535/2&120\cr$a{16}d_9$&1&204&1224/2&68\cr$a{16}e_8 a_1$&187&2057/2&34\cr$a{15}d_{10}$&2&200&1250/2&64\cr$a{15}d_9 a_1$&2&264&1089/2&128\cr$a_｛15｝e_8 a_1^2$&2&248&1922/2&64\cr$a{15}e_7 a_3$&2&264&1089/2&128\cr$a{15}d_7 a_2 a_1$&2&408&867/2&384\cr$a_{15}e_6 d_4$&2&288&864/2&192\cr$a{15}d_6 a_4$&2&360&810/2&320\cr$a{15}d_5d_5$&2&320&800/2&256\cr$d_{14}d_{10}a_1$&188&2209/2&32\cr$d_{14}a{10}a_1$&286&1859/2&88$d_{14}a9a_1a_1$&380&1805/2&160\cr$d_{14}e_8 a_2 a_1$&186&2883/2&24\cr$d_{14}e_7 a_3 a_1$1&256&2048/2&64\cr$d_{14}a7a_2a_1a_1$&576&1728/2&384\cr$d_{14}e_6 a_4a_1$&330&1815/2&120\cr$d_{14}a6a4a_1$&490&1715/2&280\cr$d_{14}d_5a5a_1$&408&1734/2&192\cr$a{14}a9a_2$&2&405&729/2&450\cr$a{14}e_8 a_2 a_1$&285&1805/2&90\cr$a{14}d_7 a_2 a_2$&1&450&750/2&540\cr$a{14}a6a_3a_2$&630&630/2&1260\cr$a{14}a_4^2a_2 a_1$&2&825&605/2&2250\cr$d_{13}d_{12}$&136&2312/2&16\cr$d_{13}a{12}$&1&208&1664/2&52\cr$d_{13}a{11}a_1$&276&1587/2&96\cr$d_{13}a9a_2a_1$&420&1470/2&240\cr$d_{13}e_8 a_4$&160&2560/2&20\cr$d_{13}a_8a_4$1&360&1440/2&180\cr$d_{13}e_7 a_5$&1和204&1734/2和48\cr$d_{13}a7d_5$&1&304&1444/2&128\cr$d_{13}e_6 a_6$和1&252&1512/2&84\cr$a{13}a{12}$&273&819/2&182\cr$a{13}d_{10}a_2$&1&294&1029/2&168\cr$a_｛13｝a_9 a_3$1&420和630/2和560\cr$a{13}e_8 a_4$&245&1715/2&70\cr$a_{13}e_8 a_2 a_1 a_1$&1&378&1701/2&168\cr$a_{13}e_7 a_4a_1$&350&875/2&280\cr$a{13}d_7 a5$&1和336&672/2和336\cr$a{13}a7a4a_1$&560&560/2&1120\cr$a_{13}e_6 d_5 a_1$和1&336&672/2&336\cr$a_｛13｝a_6 a_6$1&441&567/2&686\cr$d_{12}^2 a_1$&2和180&2025/2和32 \cr$d_{12}d_{10}a_2a_1$&276&1587/2&96\cr$d_{12}d_9a_4$&240&1440/2&80\cr$d_{12}e_8d_5$&136&2312/2&16\cr$d_{12}d_8d_5$&1&208&1352/2&64\cr$d_{12}e_7d_6$&1&156&1521/2&32\cr$d_{12}d_7e_6$&1&180&1350/2&48\cr$a{12}^2a_1$&4&351&729/2&338\cr$a_{12}e_8 d_5$和1&208&1664/2&52 \cr$a_｛12｝e_8 a_4 a_1$&1&325&1625/2&130\cr$a{12}e_7 a_6$和1&273&819/2&182\cr$a{12}d_7 e_6$&234&702/2&156\cr$d_{11}e_8 e_6$&1和114&2166/2和12\cr$d_{11}e_7^2$&2&112&1568/2&16\cr$a{11}d_{10}a_3a_1$&408&867/2&384\cr$a{11}d_{10}a_2^2$&432&864/2&432\cr$a{11}d_9 a_5$&2&324&729/2&288\cr$a{11}a9d_4a_1$&480&480/2&960\cr$a_{11}e_8 e_6$&1&174&1682/2&36 \cr$a_{11}e_8 d_5 a_1$&276&1587/2&96\cr$a_{11}e_8 a_2^2 a_1^2$&2&576&1536/2&432 \cr$a_{11}d_8 e_6$&2&228&722/2&144\cr$a{11}e_7 d_7$&1&204&867/2&96 \cr$a_{11}e_7 a_5 a_1^2$&456&722/2&576\cr$a_｛11｝d_7 e_6 a_1$&2&300&625/2&288\cr$a{11}d_7a6a_1$&420&525/2&672\cr$a{11}d_7 a_5 a_2$&2、468、507/2、864$a{11}d_7 a_3a_2^2$&648&486/2&1728\cr$a{11}d_7 a_3a_2^2$&648&486/2&1728\cr$a{11}a7d_5a_1a_1$&576&432/2&1536\cr$a_{11}e_6 e_6 a_1^2$&2&360&600/2&432\cr$a_{11}e_6 d_5 a_3$&2&384&512/2&576\cr$a_{11}e_6 d_5 a_2 a_1$&2&468&507/2&864\cr$a_{11}e_6 d_4 a_4$&2&420&490/2&720\cr$a{11}d_6 a_5 a_3$&2&504&441/2&1152$a{11}a6d_4a_2^2$&2&756&378/2&3024\cr$a{11}d_5a5a_3a_1$&2&672&392/2&2304\cr$a_｛11｝d_5 a_4 a_2^2 a_1$&2&900&375/2&4320\cr$a{11}a5a5d_4$&2&576&384/2&1728\cr$d_{10}^2a_3a_1^2$&384&1152/2&256\cr$d_{10}a{10}a5$&1、330、825/2、264\cr$d_{10}d_9a5a_1$&312&1014/2&192\cr$d_{10}a9d_6$&1&260&845/2&160\cr$a{10}a9a_3a_2a_1$&600&750/2&960\cr$d_{10}e_8 e_7$&1&94&2209/2&8\cr$d_{10}d_8d_6a_1$&248&961/2&128\cr$d_{10}a8e_7$&1&198&1089/2&72\cr$d_{10}a_8a_5a_2$1&486&729/2&648\cr$d_{10}e_7^2a_1$&2&148&1369/2&32\cr$d_{10}e_7 d_7 a_1$&192&1152/2&64\cr$d_{10}e_7 d_6 a_2$&228&1083/2&96\cr$d_{10}e_7 a_6 a_2$&1&294&1029/2&168\cr$d_{10}e_7a5a_3$&312&1014/2&192\cr$d_{10}e_7a_4a_3a_1$&400&1000/2&320\cr$d_{10}a7d_6a2$&1&384&768/2&384\cr$d_{10}a_7a_3^2a_1^2$&2832&676/2&2048\cr$d_{10}d_6^2a_3$&2&320&800/2&256\cr$d_{10}d_6a5a4$&420&735/2&480\cr$d_{10}d_6a5a_3a_1$&528&726/2&768\cr$d_{10}a6a5a3a1$&672&672/2&1344\cr$d_{10}a5^3$&2&540&675/2&864\cr$a{10}a9d_6$&1&330&495/2&440\cr$a_｛10｝e_8 e_7$&1&143&1859/2&22\cr$a_{10}e_8 e_6 a_1$&231&1617/2&66\cr$a_{10}e_8 a_4a_2 a_1$&495&1485/2&330\cr$a_{10}e_7 a_7 a_1$&1&352&704/2&352 \cr$a{10}d_7a6a_2$和1&462&462/2&924\cr$d_9^2 a_7$&2&240&900/2&128 \cr$d_9 a_9 a_6 a_1$&420&630/2&560\cr$d_9 e_8^2$&2&76&2888/2&4\cr$d_9 d_8 ^2$&2&176&968/2&64 \cr$d_9 a_8^2$&2&324&648/2&324\cr$d_9 a_7^2 a_1^2$&4&544&578/2&1024\cr$a_9 a_9 e_7$&2&270&729/2&200\cr$a_9^2d_7$&4&320&512/2&400\cr$a_9^2 d_6 a_1$&4&420&441/2&800\cr$a_9^2 d_5 a_1^2$&4&560&392/2&1600\cr$a_9^2 d_4 a_2 a_1$&4&660&363/2&2400\cr$a_9^2a_4a_3$&4&600&360/2&2000\cr$a_9^2a_4a_3$&2&600&360/2&2000\cr$a_9 e_8^2$&2&115&2645/2&10\cr$a_9 e_8 e_7 a_1$&190&1805/2&40\cr$a_9 e_8 d_5 a_2 a_1$&1&420&1470/2&240 \cr$a_9 e_8 a_4^2$&2&425&1445/2&250 \cr$a_9 d_8 e_7 a_1$&260&845/2&160\cr$a_9 a_8^2$&2&405&405/2&810 \cr$a_9 e_7 d_7 a_2$&1&300&750/2&240 \cr$a_9 e_7 a_6 a_3$&420&630/2&560\cr$a_9 e_7 a_4^2 a_1$&2&550&605/2&1000 \cr$a_9 a_7 d_5 a_3 a_1$&640&320/2560\cr$a_9 d_5 a_4^2 a_2 a_1$&2&900&270/2&6000 \cr$a_9 a_4^2 a_4,2$&4&875&245/2&6250 \cr$e_8^3a_1$&6&61&3721/2&2\cr$e_8^2 a_8 a_1$&2&153&2601/2&18\cr$e_8^2 e_7 a_2$&2&93&2883/2&6\cr$e_8^2 e_6 a_3$&2&126&2646/2&12\cr$e_8^2 a_6 a_2 a_1$&2&231&2541/2&42 \cr$e_8^2 d_5 a_4$&2&160&2560/2&20\cr$e_8^2a_5a_4$&2&195&2535/2&30\cr$e_8 a_8 d_5 a_4$&1&360&1440/2&180 \cr$e_8 a_8 e_6 a_2 a_1$&1&351&1521/2&162\cr$e_8 e_7 ^2 a_3$&2&128&2048/2&16 \cr$e_8 e_7 a_7 a_2 a_1$和1&288&1728/2&96 \cr$e_8 e_7 e_6 a_4$和1&165&1815/2&30\cr$e_8 e_7 a_6 a_4$&245&1715/2&70\cr$e_8 e_7 d_5 a_5$和1&204&1734/2&48\cr$e_8 a_7 e_6 a_4$&1&300&1500/2&120 \cr$e_8 a_7 d_5^2$&2&304&1444/2&128\cr$e_8 e_6^2 a_5$&2&207&1587/2&54 \cr$e_8 e_6 a_6 d_5$和1&252&1512/2&84 \cr$d_8^3 a_1$&6&232&841/2&128 \cr$d_8^2 e_7 a_1 a_1$&2和248&961/2和128 \cr$d_8^2 e_6 a_3$&2&264&726/2&192\cr$d_8^2 d_6 a_2a_1$&2&360&675/2&384\cr$d_8^2 d_5 d_4$&2&288&648/2&256\cr$d_8^2 d_5 a_4$&2&320&640/2&320 \cr$d_8 e_7^2 a_2 a_1$&228&1083/2&96\cr$d_8 e_7 d_6 a_3 a_1$&320&800/2&256\cr$d_8 e_7 a_7 a_2 a_1$&1&384&768/2&384 \cr$d_8 e_7 a_5 a_4 a_1$和1&420&735/2&480\cr$d_8 e_7 a_5 a_3 a_1 a_1$和1&528&726/2&768\cr$d_8 a_7 e_6 a_4$&1&360&540/2&480 \cr$d_8 a_7 d_5^2$&2&352&484/2&512\cr$d_8 e_6 a_5^2 a_1$&2&468&507/2&864\cr$d_8 d_6 ^2 d_4 a_1$&2&368&529/2&512\cr$d_8 d_6^2 a_3 a_1^2$&2&512&512/2&1024\cr$d_8 d_6 d_5 a5 a1$和1&432&486/2&768 \cr$a_8^3a_1$&12&513&361/2&1458\cr$a_8 a_7 d_5^2$&2&432&324/2&1152 \cr$a_8 e_6^2 a_2^2 a_1$&2&567&441/2&1458\cr$a_8 e_6 d_5 a_4 a_2$&1&540&360/2&1620\cr$e_7^3 d_4$&6&140&1225/2&32\cr$e_7^2 d_7 a_4$&2&200&1000/2&80\cr$e_7^2 e_6 d_5$&2&156&1014/2&48\cr$e_7^2 d_6 d_5$&2&176&968/2&64\cr$e_7 d_7 a_7 a_3 a_1$和1&416&676/2&512\cr$e_7 d_7 d_6 a_5$&1&264&726/2&192\cr$e_7 d_7 a_6 a_5$和1&336&672/2&336\cr$e_7 a_7^2 a_3 a_1$&2&544&578/2&1024\cr$e_7 a_7 a_6 a_4 a_1$和1&560&560/2&1120\cr$e_7 a_7 a_5 a_4 a_1 a_1$&720&540/2&1920\cr$e_7 e_6 ^3$&6&153&867/2&54 \cr$e_7 d_6 ^3$&3&216&729/2&128 \cr$e_7 a_6^3$&3&441&567/2&686 \cr$e_7 a_5^3 a_1^3$&6&936&507/2&3456 \cr$d_7 a_7^2 a_3 a_1$&4&608&361/2&2048\cr$d_7 a_7 a_6 a_3 a_2$&1&672&336/2&2688 \cr$d_7 a_7 a_3^2 a_3 a_2$&2&960&300/2&6144\cr$d_7 d_6 ^3$&6&256&512/2&256\cr$d_7 a_6^3$&3&490&350/2&1372 \cr$d_7 a_3^6$&24&1408&242/2&16384 \cr$a_7^3a_1^4$&24&1024&256/2&8192\cr$a_7^2 e_6 d_5$&2&384&384/2&768\cr$a_7^2 d_6 d_5$&4&416&338/2&1024\cr$a_7^2 d_5^2 a_1$&8&544&289/2&2048 \cr$a_7^2 d_5 a_4 a_1^2$&4&800&250/2&5120\cr$a_7^2 d_5 a_3 a_2 a_1$&4&864&243/2&6144\cr$a_7^2 a_5 a_3 a_1^2 a_1$&4&1152&216/2&12288 \cr$a_7^2 a_3^2 a_2 a_1^2$&8&1280&200/2&16384 \cr$a_7 e_6^2 a_5 a_1$&2&432&432/2&864\cr$a_7 d_6^2 a_3^2$&4&576&324/2&2048 \cr$a_7 a_6^3$&3&588&252/2&2744\cr$a_7 a_5^3 a_1^3$&6&1152&192/2&13824 \cr$a_7 a_3^6$&24&1536&144/2&32768 \cr$e_6^4 a_1$&48&225&625/2&162 \cr$e_6^3 a_6 a_1$&6&315&525/2&378 \cr$e_6^3 a_5 a_2$&12&351&507/2&486\cr$e_6^3 a_3 a_2^2$&12&486&486/2&972 \cr$e_6^2 a_5^2 a_3$&8&504&392/2&1296\cr$e_6^2 a_5 a_4 a_2^2$&4&675&375/2&2430\cr$e_6^2 a_5 a_2^4$&8&891&363/2&4374 \cr$e_6 d_5 a_5^2 a_2^2$&4&756&294/2&3888 \cr$e_6 a_5^3 d_4$&12&612&289/2&2592 \cr$d_6^4 a_1$&24&336&441/2&512\cr$d_6^3d_5a_1^2$&6&448&392/2&1024\cr$d_6^3d_4a_2 a_1$&6&528&363/2&1536\cr$d_6^3a_4a_3$&6&480和360/2和1280\cr$d_6^3d_4a_1^3$&6&608&361/2&2048\cr$d_6^2 a_5 d_4 a_3 a_1$&2&672&294/2&3072 \cr$d_6^2 d_4^2 a_3 a_1^2$&4&768&288/2&4096\cr$d_6 a_5^3 d_4$&6&648&243/2&3456 \cr$d_6 d_4^4 a_1^3$&24&960&225/2&8192$a_6^4 a_1$&24&735&225/2&4802 \cr$a_6 a_5^3 d_4$&6&756&189/2&6048 \cr$d_5 a_5^4$&16&720&200/2&5184 \cr$d_5 d_4^5$&120&640&200/2&4096 \cr$d_5 a_4^5$&20&1000&160/2&12500\cr$a_5^4 d_4 a_1$&48&936&169/2&10368 \cr$a_5^4 a_2 a_1^3$&48&1512&147/2&31104 \cr$a_5a_4^5$&20&1125&135/2&18750\cr$a_5a_2^{10}$&720&3645&75/2&354294\cr$d_4^6 a_1$&2160&832&169/2&8192 \cr$d_4^5 a_2 a_1^3$&360&1344&147/2&24576\cr$d_4^4 a_3 a_1^6$&144&2048&128/2&65536 \cr$d_4^4 a_1^9$&432&2816&121/2&131072 \cr$d_4 a_3^7$&336&1792&98/2&65536 \cr$d_4 a_1^{21}$&120960&14336&49/2&8388608\cr$a_4^6 a_1$&240&1375&121/2&31250 \cr$a_4a_3^7$&168&1920&90/2&81920\cr$a_3^8 a_1$和2688&2304&81/2&131072\cr$a_3a_2^{11}$&7920&4374&54/2&708588 \cr$a_3a_1^{22}$&887040&16384&32/2&16777216\cr$a_2^{12}a_1$&190080&5103&49/2&1062882 \cr$a_2 a_1^{23}$&10200960&18432&27/2&25165824\cr$a_1^{24}a_1$&244823040&20480&25/2&33554432\cr}\大跳跃图1。浅孔计数其图表包含组件$a{15}$。对于类型（a）-（d），不相交的点集从$a{15}$没有的10点子图相互分离的球面图，所以只有外壳（e）通向孔洞。（这个数字还没有包括在内，因为我不想费心在\TeX中绘制它。）\宣布参考文献。\第{[B]}项布尔巴吉、尼古拉斯·Groupes等人。第4、5和6章。马森，巴黎，1981年。国际标准图书编号：2-225-76076-4\项目{[C-N]}康威，J.H。；诺顿，S.P.Monstrous私酒。牛市。伦敦数学。《社会分类》第11卷（1979年），第3期，第308--339页。\项目{[C-S]}康威，J.H。；斯隆，N.J.A.球体填料、格架和组Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，第290页。施普林格-弗拉格，纽约，1999年。国际标准图书编号：0-387-98585-9\再见