%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\新计数\分区编号\分区编号=0\新计数\子节编号\def\section#1{\advance\sectionnumber by 1\bigbreak{\bf\number\sectionnumber\#1}\medskip\par\nobreak\subsectionnumber=0}\定义｛\number \ sectionnumber｝\定义\citex#1{[#1]}\定义\多重{{\rm多重}}\定义\广告{{\rm广告}}\定义\事务{{\rm事务}}\定义\Aut{{\rm Aut}}\定义\半{{1/2}}\定义{\theta_{E_8}}\定义{\tl{\theta_{\Lambda_2}}\定义\定义\ddp{\eta{2+}}\定义\ddm{\eta{2-}}\定义\im{{\rm-im}}\定义\C{{\bf C}}\定义\Z{{\bf Z}}\定义\R{\bf R}}\定义\vv{V_{II_{1,1}}}\宣布《怪物李代数导论》。《群、组合数学和几何》，第99-107页，M.W.Liebeck编辑和J.Saxl，L.M.S.讲座笔记系列165，C.U.P.1992。理查德·博彻兹，\大跳跃我要感谢J.M.E.Hyland提出的许多改进建议到本文。怪兽零星的简单群体，有序$$2^{46}3^{20}5^97^611^213^317.19.29.31.41.47.59.71美元在上梯度向量空间$V=\oplus_{n\in\Z}由Frenkel、Lepowsky和Meurman构建的V_n$\城市{Fre}$V_n$的维数等于系数$c（n）$椭圆模函数的$$j（\tau）-744=\sum_nc（n）q^n=q^{-1}+196884q+21493760q^2+\cdots$$（其中我们为$e^{2\pii\tau}$写$q$，和$\im（\tau）>0$）。主要问题是描述$V$作为怪物的分级表示，或者换句话说计算怪物的每个元素$g$的跟踪${\rm Tr}（g|V_n）$每个空格$V_n$。描述此信息的最佳方式是定义汤普森级数$$T_g（q）=\sum_{n\in\Z}{\rm-Tr}（g|V_n）q^n$$对于的每个元素$g$怪物，所以我们的问题是找出这些汤普森系列是。例如，如果1是怪物的身份元素然后${\rm-Tr}（1|V_n）=\dim（V_n$T_1（q）=j（\tau）-744$是椭圆模函数。麦凯，汤普森、康威和诺顿推测Thompson级数$T_g（q）$对于某些模总是Hauptmoduls0属的群（我稍后将解释这意味着什么。）本文描述了在{Bor}中使用一个被称为怪物李代数。这些Hauptmodules是明确已知的，因此给出了$V$的完整描述，作为怪物。我们现在回顾Hauptmodule的定义。组$SL_2（\Z）$作用于上半平面$H=\{\tau\in\C|{\rm-Im}（\tau）>0\}$${a\b\choose c\d}（\tau）={a\tau+b\ over c\tau+d}$。椭圆模函数$j（\tau）$或多或少是定义在$H$上的最简单函数，在$SL_2（\Z）下是不变的$与函数$e^{2\pii\tau}$在$\tau\mapsto\tau+1$下是最简单的函数不变量的方式大致相同。元素${1\1\选择$SL_2（\Z）的0\1}$$取$\tau$到$\tau+1$，所以特别是$j（\tau）$是周期的，并且可以写为$q=e^{2\pii\tau}$中的Laurent系列。确切地说$j$的表达式是$$j（\tau）={（1+240\sum_{n>0}\sigma_3（n）q^n）^3\overq\prod_{n>0}（1-q^n）^{24}}$$其中$\sigma_3（n）=\sum{d|n}d^3$是$n$；请参阅任何关于模形式或椭圆函数的书，例如\citex{Ser}。另一种思考$j$的方式是商空间$H/SL_2（\Z）的同构$到复平面，可以认为是黎曼球面减去无穷远处的点。$SL_2（\Z）组没有什么特别之处$按$H$行事。我们可以认为函数是不变的在作用于$H$的任何组$G$下，例如有限索引的某些组$G$$以$SL_2（\Z）$为单位。如果$G$满足一些温和的条件那么商$H/G$将再次成为紧致黎曼曲面用有限的数字已删除个点（共个）。如果这个紧致黎曼曲面是球，而不是更高属的东西，那么我们说$G$是一个0属群。当这种情况发生时，从$H/G$到复平面$\C$有一个或多或少唯一的映射，这会产生一个从$H$到$\C$s的函数，该函数在作用于$H$的组$G$下是不变的。当此函数正确规范化时被称为0属群$G$的Hauptmodule。例如，$j（\tau）-744$是属0群$SL_2（\Z）$的Hauptmodule。例如，我们可以将$G$作为组$\Gamma_0（2）$，其中$\Gamma_0（N）=\{{a\b\choose c\d}\in SL_2（\Z）|c\equiv 0\bmod N\}$。商$H/G$是一个去掉2个点的球体，因此$G$是一个0属群。它的Hauptmodule从$T_{2-}（q）=q^{-1}开始+276q-2048q^2+\cdots$，等于Thompson级数2级怪物的某些元素（地图集中的2B型符号）。类似地，$\Gamma_0（N）$是多个$N$的其他值，对应于怪物。（然而，$\Gamma_0（N）$的属趋向于无穷大为$N$增加，因此只有有限数量的整数$N$它有0属；更广泛地说，汤普森已经表明，只有亏格0子群的有限个共轭类与$SL_2（\Z）$可公度的$SL_（\R）$。）第一个人注意怪物和属0子群之间的任何联系$SL_2（\R）$可能是Ogg，他观察到$SL_ 2（\R）$中的$\Gamma_0（p）$的归一化器具有亏格0正是那些划分怪物顺序的。所以我们要解决的问题是计算汤普森序列$T_g（\tau）$并显示它们是的Hauptmodules$SL_2（\R）$的亏格0子群。这样做的困难如下。Frenkel、Lepowsky和Meurman构造了$V$作为两个子空间的和$V^+$和$V^-$，它们是的$+1$和$-1$特征空间怪物中的2级元素。如果怪物的元素$g$用这个2阶元素通勤，就不难了计算其汤普森级数$T_g（q）=\sum_n{\rm-Tr}（g|V_n）q^n$作为由其在$V^+$和$V^-$上的迹给出的两个级数之和检查起来会很乏味但很简单这些都给了牵引模块。然而，如果怪物的某个元素与通勤的东西有了这个2阶元素，就没有明显的直接制定汤普森系列的方法，因为它混淆了$V^+$和$V^-$以一种非常复杂的方式。我们现在对本文的其余部分进行鸟瞰。我们首先从$V$构造一个李代数，称为怪物李代数。这个是一个广义的Kac-Moody代数，所以我们回顾一些关于它的事实代数，特别是显示了每个这样的代数如何给出这个恒等式称为分母公式。这是一个众所周知的例子仿射Kac-Moody代数的分母公式是麦克唐纳身份。怪物谎言的分母公式代数是椭圆模的乘积公式函数$j$，我们用它来计算怪物的结构李代数，特别是寻找它的“简单根”。一旦我们知道简单的根，我们可以写下一种扭曲的分母怪物组中每个元素的公式。这些扭曲了分母公式暗示了汤普森系列的怪物，它们足够强大描述它们的特征并验证它们确实是Hauptmodules。我们现在介绍怪兽李代数。这是一个$\Z^2$分次的李代数，其阶数$（m，n）\in\Z^2$作为怪物上的一个模块与$V_{mn}同构$如果$（m，n）\ne（0,0）$和到$\R^2$如果$（m，n）=（0,0$），那么对于小角度看起来像$$\矩阵｛&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\cr\cdots&0&0&0&0&V_3&V_6&V_9&\cdots\cr\cdots&0&0&0&0&V_2&V_4&V_6&\cdots\cr\cdots&0&0&V_{-1}&0&V1&V_2&V_3&\cdots\cr\cdots&0&0&0&\R^2&0&&0&\cdots\cr\cdots&V_3&V_2&V_1&0&V_{-1}&0&\cdots\cr\cdots&V_6&V_4&V_2&0&0&0&\cdots\cr\cdots&V_9&V_6&V_3&0&0&0&\cdots\cr&\vdots&\ vdots&\ vdots&\ vdot&\ vdotes&\ vdots&\vdots＆\cr}.$$这是一个非常大的李代数，因为$V_n$的维数以指数速度增长；数学中出现的大多数无限维李代数都可以进行分级，这样分级块的维数只有多项式增长。简单地说，这个李代数的构造如下（此结构以后不再使用，因此如果读者觉得这毫无意义）。梯度向量空间$V$是一个顶点代数；粗略地说，这意味着$V$有一个无穷大它上满足一些相当复杂的产品的数量身份。（196884维空间上的Griess产品$V_1$是顶点代数乘积之一的特例。）我们也可以从任意偶数格构造顶点代数，以及张量两个顶点代数的乘积是一个顶点代数。我们取张量怪物顶点代数$V$与二者的乘积维偶数洛伦兹格（由矩阵${0,1\choose定义1,0}$）以获得新的顶点代数$W$。怪物李代数是然后是顶点代数的物理状态空间$W$；这是一个$W$的子商，它大致是一个具有最高权重向量的空间对于$W$上的Virasoro代数的一个作用。次商可以是使用弦论中的no-ghost定理准确识别，以及结果是如上所述。我们需要知道怪物李代数的结构是什么。它被称为广义Kac-Moody代数，所以我们现在有一个题外话来解释这些是什么。为了激励Kac-Moody代数，我们首先研究有限维简单李代数。典型的有限维李代数是$sl_4（\R）$，$4\乘以4$矩阵的代数跟踪0，括号由$[a，b]=ab-ba$给定。如果我们看看这个谎言代数我们看到它有三个子代数$sl_2（\R）$，如图所示以下（以及其他许多）：$$\pmatrix公司{*&*&&\铬*&*&&\铬\铬\铬},\pmatrix公司{\铬&*&*&\铬&*&*&\铬\铬},\pmatrix公司{\铬\铬&&*&*\铬&&*&*\铬}.$$$sl_4（\R）$的Dynkin图是通过为每个$sl2$，并通过不同数量的行取决于$sl2$的排列方式；例如，如果这两个$sl_2$的通勤，则在相应的点，如果$sl2$在一个角上重叠，则绘制单个点之间的线。因此，$sl_4$的Dynkin图为$\bullet-\bullet-\bullet$，其中两个外部点未连接因为$sl4$通勤的对应$sl2$，依此类推。相反，我们可以通过编写以下代码从Dynkin图中重建$sl_4$从Dynkin图中找出一些生成器和关系。大致上也就是说，$sl4$是由$sl2$为每个点生成的Dynkin图以及依赖于线条的一些关系点之间；例如，如果两个点未连接，则添加表示相应的$sl2$通勤的关系。我们可以构造所有其他有限维分裂半单李代数从Dynkin图（通常由$A_n$、$B_n$、$C_n$、，$D_n$、$E_6$、$E-7$、$E_8$、$F_4$和$G_2$）以类似的方式。如果我们给出了一些不是Dynkin图中的图有限维李代数，我们仍然可以写下生成器和关系；主要区别是这些李代数将无限维而非有限维。我们可以考虑作为由$sl_2$的副本生成的李代数的Kac-Moody代数其Dynkin图的每个点。无限维Kac-Moody代数的最简单示例是$2\乘以2$矩阵的李代数$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$条目是罗朗多项式。（这是一个小小的简化Kac-Moody代数实际上是这个李代数的中心扩展，但我们将忽略这一点。）Dynkin图是$\bullet=\bullet$，所以此代数由$sl_2（\R）$的两个副本生成，它们是形式为$｛a，b\选择c，-a｝$和$｛a，bz \选择的元素的子代数cz^{-1}，-a}$。代数$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$可以是$\z^2$-分级依据让${0，z^n\选择0,0}$具有度$（2n+1,1）$，让${z^n，0\选择0，-z^n}$具有度（2n，0），并让${0,0\选择z^n，0}$具有度$（2n-1，-1）$。我们得到的图片看起来像\哈利恩{$#$&&$#$\cr\cdots&\pmatrix{0&0\crz^{-2}&0\cr}&&\pmmatrix{0-0\crz ^{-1}&0\ cr}&&\pmatrix{0&0\cr1&0\cr}&&\pmatrix{0&0 \cr z&0\铬}&\cdots\cr\cdots&&\pmatrix{z^{-1}&0\cr0&-z^{-1}\cr}&&\p矩阵{1&0\cr 0&-1\cr}&&\pmatrix{z&0\cr 0&-z\cr}&&\cdots\cr\cdots&\pmatrix{0&z^{-1}\cr0&0\cr}&&\pmmatrix{0&1\cr0&0 \cr}&&\pmatrix{0&z\cr0&0\cr}&&\pmatrix{0&z ^2\cr0&0 \cr}&\cdots\cr}在$\Z^2$的每个点上，我们都写了一些跨越李代数的相应子空间。我们现在将Kac-Moody代数的分母公式描述为一个例子表明，对于李代数$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$it成为雅各比三重产品标识。字符$Ch（V）$of有限维不可约表示$V$维简单李代数由Weyl特征描述公式$$频道（V）={\sum_{w\在w}\det（w）e^{w（\lambda-\rho）}中\超过e^{-\rho}\prod_{\alpha>0}（1-e^\alpha）^{\mult（\alpha）}}$$和相同的公式结果证明，对于Kac-Moody代数的最小权表示的特征是正确的。我们将使用的唯一情况是，当$V$是带有字符1的普通一维表示时，当字符公式成为分母公式$$e^{-\rho}\prod_{\alpha>0}（1-e^\alpha）^{\mult（\alpha）}=\sum_｛w\in w｝\det（w）e ^｛-w（\rho）｝.$$与其精确解释这个公式中所有术语的含义，我们将在$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$的情况下描述它们。这个产品位于“正根”$\alpha$；对于$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$这些是向量$\alpha=（m，n）$，其中$m>0$对于它，在该度的$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$中有一些东西，换句话说，向量$（2m，0）$、$（2m-1,1）$和$（2m-1，-1）$用于$m>0美元。重数$\mult（\alpha）$是该度的子空间，对于$sl_2（\R[z，z^｛-1｝]）$总是1.如果我们把$e^{（m，n）}=x^my^n$，那么乘积变成$$\prod_{m>0}（1-x^{2m}）（1-x^{2m-1}年)（1-x个^{2m-1}年^{-1}).$$ 总数为一笔款项在“Weyl群”$W$的所有元素上，这是一个反射由Dynkin的每个点的一个反射生成的组图表。在这种情况下，Weyl群是无限二面体群，它有一个索引为2的无限循环子群，因此Weyl群本质上是整数$\Z$的和。如果我们解决了很明显，Weyl分母公式变成了$$\prod_{m>0}（1-x^{2m}）（1-x^{2m-1}年)（1-x个^{2m-1}年^{-1})=\sum_{n\in\Z}（-1）^nx^{n^2}y^n$$这就是雅可比三乘积恒等式。毫不奇怪，我们可以用任何其他替换$sl_2$来做同样的事情简单的有限维李代数，然后我们得到一些被称为麦克唐纳身份的身份。（事实上还有更多一些有限维李代数的一个Macdonald恒等式，因为有时有“扭转”这种结构的方法。）广义Kac-Moody代数很像Kac-Moody代数，除了我们被允许以更复杂的方式将$sl2$粘合在一起允许使用海森堡李代数和$sl_2$生成代数。用专业术语来说，Kac-Moody代数的根可以可以是实数（normal$>0$）或虚数（norm$\le0$），但所有简单根必须是真实的。广义Kac-Moody代数也可以有想象中的简单根源。它们有一个分母公式，即与上面的相似，只是它有一些额外的修正对应于假想简单根的术语。（简单根广义Kac-Moody代数的对应于正根的子代数的生成器；对于例如，$sl_2（\R[z，z^{-1}]）$的简单根是$（1,1）$和$(1,-1)$. 对于Kac-Moody代数，简单根也对应于Dynkin图的点和Weyl发电机组。）现在我们回到怪物李代数。这是一个广义的Kac-Moody代数，我们要写下它分母公式表示正根上的乘积是Weyl群的和。正根是向量$m>0$，$n>0$的$（m，n）$和向量$（1，-1）$，以及根$（m，n）$具有重数$c（mn）$。Weyl集团具有2阶，其非平凡元素映射$（m，n）$到$（n，m）$，因此它交换$p=e^{（1,0）}$和$q=e^}（0,1）}$。分母公式是$j$函数的乘积公式$$p^{-1}\prod_{m>0，n\in\Z}（1-p^mq^n）^{c（mn）}=j（p）-j（q）$$（左侧在$p$和$q$中显然不是反对称的但事实上是这样的因为$p^{-1}（1-p^1q^{-1{）的因子$在产品中。）为什么我们得到$j（p）$和$j（q）$而不是只是一个单项式右边分别用$p$和$q$表示（就像我们对普通的Kac-Moody一样代数）是由于虚单根的修正共百万美元。$M$的简单根对应于一组生成器度为$y$轴的右侧（因此$E$的根是$M$的正根），结果是向量$（1，n）$，每个向量的重数为$c（n）$。在前面给出的怪兽李代数的图片中，简单的根由右边的列给出包含$\R^2$的那个。简单根空间的和与空间$V$同构。简单根$（1，-1）$是范数2的实数，和for的简单根$（1，n）$$n>0$是范数$-2n$的虚数，并且具有重数$c（n）=\dim（V_n）$。因为这些重数正是$j的系数$函数，$j$出现在更正中就不足为奇了由假想的简单根引起的。这个讨论有点误导，因为我们暗示我们得到了$j$函数的乘积公式作为怪物李代数的分母公式我们对简单根的了解；事实上，我们真的必须使用这个参数相反，使用$j$函数的乘积公式为了计算出怪物李代数的简单根是什么。我们现在将提取关于基于扭曲分母公式的汤普森级数$T_g（τ）$对于怪物李代数。对于任意广义Kac-Moody代数中有一个更强大的Weyl分母版本公式表明$$\Lambda（E）=H_*（E）$$其中$E$是对应于正根的子代数。此处$\Lambda（E）=\Lambda^0（E）\ominus\Lambda^1（E）/oplus\Lambeda^2（E）/ldots$是外观的交替总和$E$的权力，类似地，$H_*（E）$是同调的交替和李代数$E$的群$H_i（E）$（参见\citex{Car}）。这个恒等式适用于任何李代数因为$H_i$是其术语为$\Lambda^i$的复合体。左侧手端对应于正根上的乘积因为$\Lambda（A\oplus B）=\Lambda\otimes\Lambda（B）$，$\Lambda（A）=1-A$，如果$A$是一维的，而$E$是${\rm-mult}（\alpha）$一维的总和每个正根$\alpha$的空格。这更难用Weyl群上的和来标识$H_*$，我们这样做大致如下。对于Kac-Moody代数$H_i$的维数等于这个数长度为$i$的Weyl群中的元素；对于有限维李代数这是Bott首次观察到的，并被Kostant给出了Weyl字符公式的同调证明。因此，同源群上的和可以用和来标识Weyl集团。对于广义Kac-Moody代数，情况如下有点复杂。同调群上的和成为Weyl群上的和，由对合生成每个简单根，我们求和的东西包含项对应于假想的简单根。总之，我们可以显式地计算出$E$的同调群只要我们知道李代数的简单根；例如，第一个同调群$H_1$是简单根空间的和。为了怪物李代数我们已经算出了简单根使用它的分母公式，这是$j的乘积公式$函数和$E的同源群$结果是$H_0=\R$，$H_1=\sum_{n\in\Z}V_npq^n$，$H_2=\sum_｛m>0｝V_mp^｛m+1｝$，并且所有的高同源性基团都是0。每个同源群是怪物的$\Z^2$分级表示，我们使用$p$和$q$来跟踪评分。如果我们将这些值代入公式$\Lambda（E）=H_*$我们发现了$$\Lambda（\sum_{n\in\Z，m>0}V_{mn}p^mq^n）=\sum_mV_mp^{m+1}-\sum_nV_npq^n$$这两面都是怪物的虚拟分级表示。如果我们按尺寸替换所有东西，我们就可以恢复产品$j$函数的公式。一般来说，我们可以追溯到两边怪物的一些元素，经过一些计算给出了身份$$p^{-1}\exp\Bigl（-\sum_{i>0}\sum_{m>0，n\in\Z}{\rm-Tr}（g^i|V_{mn}）p^{mi}q^{ni}/i\较大）=\sum_{m\in\Z}{\rm-Tr}（g|V_m）p^m-\sum_{n\in\Z{\rm Tr}（c|V_n）q^n$$其中${\rm Tr}（g|V_n）$是向量空间$V_n$上$g$的轨迹。汤普森系数之间的这些关系这个系列的实力足以刻画它们并检查它们是否是属0子群的Hauptmodules。不幸的是，证明的最后一步相当混乱。上述关系决定了汤普森级数的前几个系数。Norton和Koike检验了亏格0的某些模函数也满足相同的递归关系。因此，我们可以证明通过检查两个函数的前几个系数是否相同，汤普森级数$T_g（q）$是亏格0的模函数。诺顿推测具有整数系数的Hauptmodules基本上是相同的作为满足类似于上述关系的函数对此的证明或解释将大大改进证明。（应该可以证明这个猜想通过一个漫长而乏味的过程逐个检查，因为所有属于Hauptmodules的功能或者满足上述关系可以明确列出。）\大跳跃\parindent=0pt\everypar={\hangindent=.3in}\medbreak目录\{[Bor]}{R.E.Borcherds，畸形私酒和畸形谎言超代数，发明。数学。109, 405-444 (1992). }\项{[Car]}{H.Cartan，S.Eilenberg，同调代数，普林斯顿大学出版社1956年。}\项目{[Con]}{J.H.Conway，S.Norton，Monstrous moonshine，牛市。伦敦。数学。Soc.11（1979）308-339.}\项目{[Fre]}{I.B.Frenkel，J.Lepowsky，A.Meurman，顶点算子代数与怪物，学术出版社，1988年。}\项目{[Ser]}{J.P.Serre，算术课程数学7，Springer-Verlag，1973年。}\再见