%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\Aut{{\rm Aut}}\宣布格子就像水蛭格子一样。《代数杂志》，第130卷，第1期，1990年4月，219-234。理查德·博彻兹，加州大学伯克利分校数学系，加利福尼亚州94720。\大跳跃\宣布引言。Conway发现水蛭晶格有许多奇怪的性质，帕克和斯隆。例如，它的覆盖半径为$\sqrt{2}$，距离所有点至少$\sqrt{2}$的点的轨道格点对应于除水蛭格子。（见康威和斯隆[6，第22-28]章）水蛭晶格的特性来自于它是洛伦兹晶格$II_{25,1}$的Dynkin图，如Conway中所示[4]. 在本文中，我们证明了其他几个著名的格，在特别是Barnes-Wall晶格和Coxeter-Todd晶格（请参见[6，第4章]）与反射群的Dynkin图有关洛伦兹格；所有这些晶格都具有类似于（但比水蛭格子的更复杂）。康威和诺顿[5]表明，一些水蛭格子的自同构，怪物的一些元素，一些水蛭晶格的子晶格和一些零星的单晶格组。这些东西中的许多也对应于一些洛伦兹格的行为类似于$II_{25,1}$，并且对于某个无限维Kac-Moody代数。大多数符号和术语都是标准的。为了证明关于我们使用的水蛭格子的事实，请参阅康威、帕克和斯隆在康威和Sloane[6]，或参见Borcherds[1]。格总是积分的，并且通常是正定的或洛伦兹的，尽管它们是偶尔是单数。格的根表示向量$r$正范数，使得$r$的超平面中的反射是格的自同构，使得$r$是本原的，即$r$不是其他一些格向量的非平凡倍数；被强者根，我们指的是根$r$，即$（r，r）$将$（r、v）$除以所有$v$在格子里。（例如，范数1的任何向量都是强根。）符号$a_n、b_n、\ldots、e_8$代表球形Dynkin图及其相应的仿射Dynkin图被表示出来按$A_n、B_n、\ldots、E_8$。在后面的一些示例中，我们给出了$E_8$也代表$E_8$格。符号$I_{n，1}$和$II_{n、1}$表示维的奇偶幺模洛伦兹格$n+1$，在同构之前是唯一的。自同构群洛伦兹格的$\Aut（R）$是指自同构群修正了负范数向量的两个锥（因此$\Aut（R）$在$R$的“full”自同构组中有索引2。洛伦兹晶格的反射群是由它的根的倒影。对于任何洛伦兹晶格范数$1$向量的两个分量可以用双曲空间，格的所有自同构充当这个空间上的等距线。特别是晶格的反射可以认为是双曲线空间中的反射，因此晶格的反射群是双曲反射群。第1节包含对实际计算有用的几个结果洛伦兹格的Dynkin图，第2节包含一些关于由某些元素固定的子晶格反射群的结果第3节将第1节和第2节的结果应用于水蛭晶格产生几个晶格，其反射群或在的自同构群中具有有限的索引，其行为类似于洛伦兹晶格$II_{25,1}$的反射群。我感谢J.Lepowsky对本文提出了许多改进建议。\宣布1.~洛伦兹格的反射群。在本节中，我们给出了一些定理，这些定理有助于计算洛伦兹晶格反射群的Dynkin图。文伯格[7] 描述了一种算法，用于查找任何双曲线反射组。在双曲线的特殊情况下洛伦兹格的反射群，根的条件简单一点可以稍微磨尖，这样可以减少工作量需要对截面中的一些晶格进行实际计算3.本节的大部分结果不会在本节后面使用但它们在检查第3节中的示例时很有用。我们设$R$是任意洛伦兹格。在作用于格子的有限群中，每个正根都可以是以简单根的和的形式唯一书写。这通常不适用于双曲反射群作为简单根并不总是线性无关，但在洛伦兹格的情况下有仍然是将根写成简单根的和的“规范”方法跟随。\宣布定理1.1。如果$r$是双曲反射群$W的正根$作用于格$R$上，则$R$可以唯一地写为$R=\sumn_is_i$，其中$s$是有限个不同的简单根$W$，$n$是正整数，并且满足以下条件持有：\项目{}设$T_r$是线性生成的（可能是奇异的）晶格具有$（ti，tj）=（si，sj）$的独立元素$ti$。那么$t=\sumn_it_i$与$t_r反射群下的某些$t_i$共轭$由根$ti$的反射生成。（$T_r$是单数，如果$s$是线性独立的，但$T_r$与其二次型的核是洛伦兹或正定的。）{\sl证明}让$T$成为（可能是无限维和奇异）线性无关元素$ti$生成的晶格$W$的每个简单根$s_i$，在$T$上定义了内积通过$（t_i，t_j）=（s_i，s_j）$，并让$W'$成为$t的反射群$由根$ti$的反射生成。（$T$也可以是描述为Dynkin的Kac-Moody代数的根格$W$的图表。）我们让$c$是$R$的向量，它是负的包含所有$s_i$的内积，并通过定义$R$或$T$上的高度$ht（x）=-（x，c）$。由于$W'$是一个线性无关的Weyl群根，$W'$的每个正根都可以唯一地写为简单根。（$W'$的根是$T$与某些$W'$下的$t_i$，如果其高度为正，则称为正。）我们现在检查$W$的每个根是否是的唯一根的图像$W'$位于从$T$到$R$的映射下，从$T_i$到$s_i$。它是足以检查$W$的简单根，如$W的任何根$与简单根共轭，对于简单根，如果我们证明了任何简单的根$s$都不能写成非平凡和$\sum m_is_i$与$m_i$正整数。如果可以的话，那就一个$s_i$中的$s_0$必须是$s$，因为$（s，\summ_is_i）=（s，s）>0$，除$s$外的所有简单根都有内积大多数0包含$s$。现在$ht（s）=\sum m_iht（s_i）\geht（s0）=ht（s）$表示$m0=1$，并且没有其他$m$，因为所有的单根都有正的高度。因此，每一个积极的$W$的根$r$可以以$r=\sum n_is_i的形式唯一写入$这样，$\sum n_it_i$是$W'$的根$t=\sum n_it_i$是根$W'$的当且仅当$t$与下面的$t_i$之一共轭$W'$，或在由$ti$的反射出现在$t$的总和中。Q.E.D.公司。我们用这个来证明Vinberg条件的一个强化形式（文伯格[7]）表示根是简单的。这个推论没有被使用在本文的后面，但有时对实际应用很有用计算。\宣布推论1.2。设$c$是$R$的一个元素，其内积最多为0某些双曲线基本域的所有单根反射组$W$作用于$R$并调用$-（c，R）$的高度$卢比。设$r$是正高度$W$的根。然后是以下内容等效：\项目{（1）}$r$很简单。\项目{（2）}$r$的内积最多为0，所有简单根$s$都是这样的$ht（s）\le ht（r）\min（1，|s|/（|r|\sqrt{2}））$。\项目{（3）}$r$的内积最多为0，所有简单根$s$都是这样的有一个整数$n$满足这两个条件\项目{（a）}$ht（s）/ht（r）\le 1/n\le s^2/r^2$\项目{（b）}如果$n=1$，则$r^2\le为^2/2$。{\sl证明}很明显，（1）意味着（2）和一个简单的论点表明满足（3）中条件的任何根$s$也满足（2）中的条件，因此（2）意味着（3）。因此，我们必须展示如果$r$不是简单的，那么有一个简单的根$s$满足（3）中的条件和具有$r$的正内积。假设$r$并不简单。我们可以使用编写1.1中的$r=\sum n_is_i$$n_i$正和$s_i$简单。让$s$是最小值的简单根具有$r$正内积的可能高度。如果$s$有高度0，那么它满足（3）的条件，所以我们可以假设$s$的高度为正。简单根$s$必须等于一些$si$，所以$ht（s）\leht（r）$，所以我们可以定义一个正整数$n$乘以$n\le ht（r）/ht（s）ht（r）/2$，所以$r-2s（s，r）/（s，s）=r-s$，因为它的高度必须至少为0（所以它不能对于$m>1$，为$r-ms$），因此$2（r，s）=（s，s）$。还有$（r，r-s）\le 0$，因为$r-s$是高度小于$s$（as）的简单根的总和$ht（s）>ht（r）/2$），所以通过$s$的选择，它们都有内积$r$最多为0。因此$（r，r）\le（r，s）=（s，s）/2$。Q.E.D.公司。{\sl备注}从某种意义上说，（3）中的条件是最好的可能。文伯格的条件是，如果$r$具有内部属性，那么它是简单的产品最多为0，所有简单根$s$都是这样的$ht（s）/|s|0.$$如果$r_i\ne r$，则$（r_i，r）\le 0$是$（r，r）/2$的倍数，因此最多只能是$（r，ri）项之一$对于$r\nne r_i$是非零的，这样的非零项必须是$-（r，r）/2$$G$在$r_i$的集合上起传递作用，因此它们都是垂直的，在这种情况下它们会形成Dynkin图$a_1^n$，或者每个都有一个非零内积$r_i$，这个内积是$-（r，r）/2$，在这种情况下，它们形成Dynkin图$a_2^{n/2}$。这证明了（1）。最后，如果$\sigma$是$a_1^n$的Weyl群的元素，或者$a_2^n$将$\rho$映射到$-\rho$s（其中$\rho$是的Weyl向量$a_1^n$或$a_2^n$），然后将$\sigma$限制为$R“$映射$R”$并修复$r'$中$r'$的正交补码。因此$r'$的反射是$r'$提升到$W$的元素$\sigma$，这意味着最小的正$r'$中的$r'$的（实数）倍数是$r'$的根。（如果$r$为一个强根然后$r$的共轭就形成了一个Dynkin图$a_1^n$，$R'$的对应根是这些值的总和共轭，因此也是一个强大的根。）Q.E.D.公司。如果$r$强或$r$的共轭形式形成Dynkin图键入$a_2^n$，则$R'$的根是$R'$的倍数$r$共轭的和；否则它可能是$r$的共轭词。现在我们展示了构建反射组的几种方法$R$、$W$和$G$中的$R'$都属于同一组。\宣布定理2.2。$R的子格$R'$的以下自同构组$都是一样的。\项目{（1）}$W$与$G$交换的元素。\项目｛（2）｝$W$的元素固定子空间$R'$。\项目{（3）}矢量反射生成的反射组$W'$$r'$作为$r$贯穿$W'$的简单根，其预测$r'$具有正范数。\项目{（4）}与（3）相同，将“简单根”替换为“根”。\梅德斯基普\此外，（1）和（2）中$W$的子群忠实地作用于$R'$。{\sl证明}很明显，包含了$W$的子组（1）在子组（2）中，组（3）和组（4）是相同的。我们将通过从$W$的子组（2）到组（4），然后检查将该映射从组（1）限制到组（4）。不包含$R'的$W$超平面的非零交点$带有$R'$的是$R'$s的超平面，通过2.1，这些超平面的反射超平面是$W$到$R'$元素的限制。因此$D$与$R'$的$D'$交叉口是用于反射组$W'$。如果$w$是$W$则有一个元素$W'$of$W'$，这样$ww'$可以修复Weyl腔$D'$的$W'$，通过引理2.1$W'$可以提升为$W'$的元素，我们也用$W'$表示。那么$ww'$是一个$W$的元素固定$D$，因此为1。这意味着从$W$的子组（2）到$R'$的自同构是内射的，并且映射到群（4）中。最后，我们必须检查从（1）到（4）的合成映射是否为满意感；为此，只需检查任何反射$W'$是（1）中某些元素的限制，但如下所示从2.1开始。Q.E.D.公司。我们现在考虑存在非零向量$c的特殊情况$具有所有简单根$W$的有界内积（例如，如果$W$具有有限数量的根）。这是对$西元。这种负范数向量的存在等价于$W$只有有限个简单根，如果$c$的范数为0那么$W$的简单根看起来有点像几个一些格的陪集与有限个额外的根。（见第3节。）这种情况的两个例子是$II_{25,1}$或$I_{9,1}$与$W$的组合是由以下向量的反射生成的分别为2或1。然后可以识别简单根用Leech格子的点（如Conway[4]）或用$E_8$格的点，通常有一个类似的晶格的Dynkin图的描述，如第3节所示。（请注意，在第二种情况下，我们没有使用全反射组，它只有有限个（10）简单根。）这些事实与以下事实密切相关：水蛭格和$E_8$是$\sqrt{2}$和1。我们现在表明，如果$R$有这样一个向量$c$，那么我们可以说更多关于$R'$的内容，在特别是它也有这样一个向量。\宣布引理2.3。设$c$是基本域$D$中的非零向量具有组$W$的所有简单根的有界内积，以及假设这些简单根跨越$R$的向量空间。如果$z$是$D$的范数0向量与$c$不成比例，然后是简单根垂直于$z$的$W$构成仿射Dynkin秩图美元\dim（R）-2$。（回想一下，仿射Dynkin图的秩是点数减去组件数。）{\sl证明}对于垂直于$z$的$R$的任何向量$v$将$r$中的$r$映射到$r+（r，z）v-（（r，v）+（v，v）（r，z）/2）z$的函数是很容易检查为$R$固定所有向量的自同构垂直于$z$和$v$，特别是固定$z$。如果垂直于$z$的$W$的简单根没有秩$\dim（R）-2$我们可以找到一个向量$v$，它的内积为0，其中$z$和所有简单根，它不是$z$的倍数。的自同构$nv$修复$z$和所有垂直于$z$的简单根，以及因此修复了Weyl腔室$D$，并因此作用于简单根。我们让$r$是$W$的任意不垂直的简单根并考虑其在$nv$自同构下的图像大$n$。这样一个带有$c$的图像的内积是$-n^2（v，v）（r，z）（z，c）+$n^1$和$n^0$中的$项，作为内部简单根与$c$的乘积是有界的$（v，v）（r，z）（z，c）=0$。然而，$（v，v）$不是零，因为$（v、z）=0$并且$v$不是$z$的倍数，根据$r$的假设，$（r，z）$非零，因此$（z，c）=0$，因此$z$是$c$的倍数，因为$（z、z）=0$and$z$和$c$都在$D$中。Q.E.D.公司。\宣布定理2.4。设$c$是$W的基本域$D$的非零向量$具有$W$的所有简单根的有界内积。那么：要么\项目{（1）}包含$W'$的$\Aut（R'）$的最小正规子群是$\Aut（R'）$中有限索引的反射子群，或\项目｛（2）｝$c$位于$R'$中，其范数为0，$W'$是的反射子组无限索引的$\Aut（R'）$和$W'$的所有简单根都有界$c$的内积。$\Aut（R'）$下$c$的任何两个共轭词是$W'$下的共轭，而$W'$fixing$c$的子群是仿射反射组的每个轨道（$G$以下）都有一个简单根垂直于$c$的$W$的简单根。（可能没有这样的根，在这种情况下，$W'$在下$c$的共轭词上是简单传递的$\Aut（R'）$。）\项目{}此外，如果$W'$没有垂直于$c$的根，则$W'$s为正常，单位为$\Aut（R'）$。{\sl证明}首先注意$\Aut（R'）元素的子组$可以提升到$\Aut（R）$的在$\Aut-（R'）$中具有有限索引的。如果$c$具有非零范数，则$W$具有有限个简单根，并且因此$\Aut（R）$中有有限索引，因此$W'$中有有限索引$\Aut（R'）$，我们在例（1）中，所以我们可以假设$c$为零规范。如果$c$不是由$G$固定的，则$c的两个共轭项之和$是一个非零范数向量，其性质与$c$相同，因此我们可以假设$c$由$G$固定，因此为$R'$。可以提升到$\Aut（R）$的$R'$自同构组具有$\Aut（R'）$中的有限索引，因此只有有限数量的$c$在$D'$中的共轭，因为任何两个$c$低于$\Aut（R）$在$W$下是共轭的。首先假设有更多$D'$中$\Aut（R'）$下$c$的一个共轭。通过引理2.3 any$D'$中$c$而非$c$的共轭词具有$W'的简单根$垂直于它形成仿射Dynkin秩图$\dim（R）-2$，因此$c$也是如此。因此，如果$W“”$是任何包含$W'$的$R'$反射组与Weyl腔$D''$$W“”$在其正规化器中的索引是$c$在$D''$乘以$R'$固定$c的自同构群的阶$和$D''$，这是有限的。特别是如果$W''$是最小的$\Aut（R'）$的正规子群包含$W'$，然后$W''$是正规子群$\Aut（R'）$中有限索引的反射子群（1） 再次。因此，我们可以假设$D'中只有一个$c$的共轭$在$\Aut（R'）$下。这意味着$c$的任何两个共轭$\Aut（R'）$在$W'$下是共轭的，如果没有$W'的根$垂直于$c$，则$W'$在共轭上是简单传递的因为$W'$在$D'$的共轭词上只是传递的。最后假设$W$没有垂直于$c$的根，并设$W“”$是包含$\Aut（R'）$的最小正规子群$西元。如果$r$是$W“”$的任何根，则$（r“”，c）$等于$（r'，c）$对于某些根$r“$of$W”$，因为$W“$在$\Aut（R'）$下$c$的共轭词，特别是$（R'，c）$是非零。因此，$W“”$在$c的共轭词上是简单传递的$在$W''$下，由于$W'$也是如此，$W''$与$W'$，因此$W'美元在$\Aut（R'）$中是正常的。Q.E.D.公司。{\sl备注}假设$c$在$R'$中，$（R，c）$除以$（v，c）$对于$W$的每个简单根$r$和$r$的每个向量$v$（对于示例$R$可以是$II{25,1}$）。那么每个人都是如此$W'$的根$r$和$r'$的每个向量$v$。\宣告3.~例子。格$II_{25,1}$有一个非零范数0向量，该向量有界具有所有简单根的内积，并通过应用构造在最后一节中，我们可以找到许多其他的洛伦兹格相同的属性。这些晶格的特性类似于$II_{25,1}$。例如，$II_{25,1}$的Dynkin图可以是与与事实密切相关的水蛭格子相一致半径为$\sqrt{2}$的球刚好覆盖水蛭晶格，类似地，对于其他洛伦兹晶格，我们可以用一些正晶格来描述他们的Dynkin图，以及可以用球和半平面覆盖一些向量空间。现在，当存在$R$的非零范数0向量$c$具有有界内积$W$的所有简单根，其中$W$是正常反射子组$\Aut（R）$的。我们让$T_0$（分别为$T_1$）作为点集$R$的实向量空间的内积为0（分别为1） 使用$c$，我们将$T_0的商写成$V_0$和$V_1$$和$T_1$，其中我们确定$T_0$或$T_1$s的两个点，如果它们差异是$c$的倍数$V_1$是上的仿射空间$\dim（R）-2$维向量空间$V_0$，$V_0$s继承$R$的正定内积。对于的每个简单根$r$$W$我们让$S_r$是范数表示的$V_1$的点的子集$T_1$的0个向量与$r$的内积至少为0。（注$V_1$的每个点都由唯一的范数0向量表示$T_1$）我们为$V_0$中的格向量写$R_0$和$R_1$$V_1$。水蛭晶格是$II_{25,1}的Dynkin图$意味着水蛭晶格的向量空间被球覆盖每个格点的半径为$\sqrt{2}$，每个球对应到一个简单的根。这可以通过替换$II_{25,1}来概括$上面的格$R$如下。\宣布定理3.1。仿射空间$V_1$对应的球和半空间$S_r$简单根$r$具有以下属性：\项目{（1）}如果$r$的高度为0，则$S_r$为闭合半空间；否则是关闭的中心为$r/（r，c）$，半径为$|r/（r，c）|.$的球（警告--$S_r$不包含0，因为0不在$V_1$中！）\项目｛（2）｝集合$S_r$覆盖$V_1$，并且它们的数量有限与$V_1$的任何有界子集相交。\项目{（3）}如果其中两个球的半径分别为$r_1$和$r_2$以及距离在它们的中心之间是$d$，然后是$d^2 \ge r_1^2+r_2^2$。的中心任何球都不包含在任何其他集合$S_r$中。特别是，如果删除任何集合$S_r$，其余集合不包括$V_1$。\项目{（4）}点$z$不在任何集合$S_r$的内部与$R$的原始范数0向量的自然1:1对应$W$的基本域$D$不是$c$的倍数。这个根$r$，使$z$位于$S_r$的曲面上，形成仿射等级$\dim（R）-2$的Dynkin图。（警告--任何仿射Dynkin图发生；甚至是“扭曲”的。）\项目{（5）}设$R_0$是由以下点表示的$V_0$的点阵$R$，并让$L$是垂直向量$R_0$的子格高度为0的$W$的所有根。然后$L$通过翻译作用于$S_r$的集合，在该集合上只有有限个轨道。证明是例行公事，将被省略。Conway[4]为格子$II_{25,1}$$R_0$和$L$都与水蛭同构晶格，$R_1$是仿射Leech晶格。集合$S_r$都是半径为$\sqrt{2}$的球以仿射水蛭的点为中心格子，而点$z$不在这些球的内部是Leech晶格中所谓的“深孔”。格子最靠近深孔的点构成了对应于深孔的范数0向量的Niemeier格。A类类似的示例是，当$R$是$I{9,1}$时，$W$由当$R_1$是$E_8$格且$V_1$是围绕每个点阵点被半径为1的球覆盖。定理3.1声明一般情况与此类似，只是球不一定具有相同的半径（并且可能退化为半空间），它们的中心可能在格$L$和具有不同长度根的仿射Dynkin图可能发生。（在$II_{25,1}$的情况下，有一个本原范数0向量的轨道与尼迈尔格子。对于任意洛伦兹格，也有一个本原范数0向量的轨道与a的对应有限个正定格，但这些格不必须具有相同的行列式。）大致来说很简单$W$的根对应于格的有限个陪集$L$，如果$L$有维度小于$R_0$。如果我们知道某个晶格反射群的Dynkin图，我们可以找到其单根为有界内积与非零向量的关系引理。\宣布引理3.2。设$W$是基本域为$D$的双曲反射群，设$W'$是具有基本域的正规反射子群$D'$包含$D$。那么组$W$是$W'的拆分扩展$反射组$H$的简单根是$W$不是$W'$的根。{\sl Proof.}$W$是的组$G$对$W'$的拆分扩展$W$修复$D'$的元素。这个组当然包含$W$的任何非$W'$根的简单根的反射，以及因此包含由这些反射生成的组$H$。如果$E$为$D$在$H$下的所有共轭词的并集，然后所有面向$E$是$W$下$D'$面的共轭，因此是的超平面因为$W'$是$W$的正规子群。因此，$E$是一个联盟$W'$的基本域，特别是包含$D'$，所以$H$包含$G$，因此等于$G$。Q.E.D.公司。这意味着我们有时可以找到有趣的法向反射$\Aut（R）$的子群$R$是仿射的或球形的，因此任何简单根$\Aut（R）$下的共轭到该子图的某个根已经是在子图中。例如，假设$R$是$I_{9,1}$。然后$R$的Dynkin图有范数2的9个根，形成扩展的$E_8$Dynkin图和范数1的一个根。因此，反射组由$R$的范数2生成的向量有11个简单根和索引2在$W$中，而由范数1向量与仿射$E_8$Weyl群同构。事实上范数1生成的反射群的单根向量与$E_8$晶格等距，方法与$II_{25,1}$的简单根与Leech晶格等距。我们现在把所有的东西放在一起证明以下定理显示了几个著名的晶格的行为类似于水蛭晶格。\宣布定理3.3。设$G$是Leech格$\Lambda的一组自同构$这样，$\Lambda$的向量的子格$\Lambeda'$由$G$没有根，让$R$成为洛伦兹格，它是$\Lambda'$与二维偶幺模Lorentzian的和格子$U$。那么$R$具有范数0向量$c$，使得$R$反射组的根正好是$R的根$R$$使得$（r，c）$为负数，并对所有向量$v除以$（r、v）$$$R$。组$\Aut（R）$与它的拆分扩展同构反射群由$\Lambda'$的仿射自同构群组成。Leech格的仿射自同构群$\Lambda$可以用$II_{25,1}$，因此$G$可以被视为$\Aut（II_{25,1}）$，很容易检查$G$固定的$II_{25,1}$点与$R$同构。定理然后从2.4开始，除了我们仍然需要检查2.4的组$W'$是$R$的全反射子组$二_{25,1}$有一个向量$c$，它的内积为1，所有的简单根都是$II_{25,1}$，由此可以得出$（r，c）$除以$W'$的所有简单根$r$和$r$的所有向量$v$，所以$（r，c）\le|（s，c）|$对于$r$的任何共轭$s$。但再加上1.3$r$就很简单了$R$的完全反射组的根，因此$W'$是完全反射组$R$的反射组。Q.E.D.公司。{\sl备注}$（r，c）$将$（r、v）$除以所有$v$意味着$（r，c）$是$（r、r）$或$（r和r）/2$；两种情况发生。$R$的任何根都有除$2|G|$的范数。有一个与$II_{25,1}$，$\Lambda$和全反射的相似定理将$II{25,1}$组替换为$I{9,1}$、$E_8$和反射由范数1向量的反射生成的$I{9,1}$群；属于当然，$W'$的所有根都将是强大的根。{\sl Examples.}$\Aut（\Lambda）$具有顺序2和3的元素，其固定格$\Lambda{16}$和$K{12}$没有根并且有尺寸分别为16和12。（$\Lambda_{16}$是巴恩斯墙格，$K{12}$是Coxeter-Todd格；参见Conway和斯隆[6，第四章]。）这些格子与婴儿怪物和$\Lambda$给怪物的$Fi_{24}$。（请参见康威和诺顿[5]。）上述定理表明，有18个14维洛伦兹格子$R$与他们的Dynkin关联图表可以用16维和12维来描述格子。请注意，它们有规范4和6的根以及根范数为2，因此几何结构比韭菜格子。$R$的简单根对应于$\Lambda'$的对偶向量（但不一定全部；例如，不是格子向量$\sqrt{2}$中的那些。）这个$\Lambda'$本身的向量对应于$雷亚尔。例如，如果我们将$\Lambda'$设为$\Lampda_{16}$维数16和行列式256，则$R$具有范数2的简单根对于$\Lambda{16}$的每个向量和范数4的简单根$\Lambda{16}$的120个陪集之一中的每个向量。如果我们画一个关于$\Lambda{16}$的每个点的半径为$\sqrt{2}$的球体，以及半径为1的，关于这120个陪集的每一点，那么这些球体用同样的方法覆盖$\Lambda{16}$的向量空间围绕$\Lambda$点的半径为$\sqrt{2}$的球体正好覆盖$\Lambda$的向量空间。我们也有大量的“深孔”在$\Lambda_{16}$（例如，$F_4^4$）中，其行为类似于$\兰姆达$。（同样，$K_{12}$也有深度炒作$G_2^6$等等上的）$\Aut（\Lambda）$还有一个2阶元素，其固定子格是$E_8（2）$（即具有所有向量范数的格$E_8$加倍）。在本例中，$\Lambda'$具有根，并且反射组$R$的在$\Aut（R）$中具有有限索引。类似地，如果$R$是$E_8（n）$与二维偶幺模洛伦兹格$U$对于$2\le n\le 6$，则$R$的反射组具有有限$\Aut（R）$中的索引。（事实上，从2.4可以看出这是真的对于由$\Lambda的某些自同构组固定的任何格$R$$其根跨越其向量空间。）例如，当$n=6$Dynkin图有范数2、2或范数4的4个根，范数6的1和范数10的范数12及其自同构群为4阶；的定理第1节对进行这些计算很有用。如果$R$是洛伦兹格，则``$R$的非反射群“”，它是生成的子群的$R$自同构群反思。（这些可以被认为是“椭圆”，``抛物线“”和“双曲线”情况，尽管这个术语不要太认真。）\项目{（1）}这个群是有限的。这个案例包括许多格维数和行列式都很小。\项目｛（2）｝非反射群如果$R$是无限的，但有一个自由阿贝尔有限指标的子群。这个案例是本案中研究最多的案例纸张，似乎很少见。自由交换子群的存在性有限指数的存在等价于范数至多为0，由基本域的所有自同构固定反射组，因此$II_{25,1}$是这种情况的一个示例，并且3.3给出了几个其他示例。\项目{（3）}一般情况是：其他一切。这个案例似乎包括了大多数洛伦兹格子，可能所有尺寸都超过26。在Borcherds[2]计算了几个非反射组幺模格，在这些情况下是一个直接的有限个有限群的极限。的许多结果当$\Lambda$被某些晶格替换时，Borcherds[2]仍然成立$R$在上述第（2）类中，因此可以找到更多非反射群可以直接表示为有限群的极限。怪物李代数（Borchers、Conway、Queen和Sloane，[6，Chap.30]或Borcherds[3]）是一个广义Kac-Moody代数正简单根为简单根的根格$II_{25,1}$$II_{25,1}$的根。（它也有范数0的简单根，所以它是不是Kac-Moody代数。）（1998年添加的注释：此代数现在称为假怪物李代数。）如果$G$是图的有限组$II_{25,1}$的自同构然后通过Borcherds[3，定理3.1]$G$固定的怪物李代数的子代数仍然是广义Kac-Moody代数。注意，广义类Kac-Moody代数在取由有限组图自同构固定的子代数，但Kac-Moody代数的类不是。因此，我们可以定义婴儿怪物李代数、$Fi_{24}$Lie代数等等适当固定的怪物李代数的子代数组。这些代数是广义Kac-Moody代数，其正简单根是对应的洛伦兹晶格。，范数为0的简单根是向量$c$的倍数。有一些数字证据表明怪物李代数没有负范数的简单根（注1998年：这已经被证明了），所以很自然会问这是否是对新代数来说是正确的（注：1998年补充道：这是错误的）。{\sl问题}找到所有非零的洛伦兹格具有所有简单根的有界内积的向量。（注这包括一个特殊情况，即查找所有反射群具有有限折射率的洛伦兹晶格。）是这种维数的格基本上只有有限个大于2？（1998年补充说明：Nikulin证明了这一点，如果我们假设$c$的范数最多为0。）这种晶格具有相同的属性。）$II_{25,1}$是唯一这样的吗晶格尺寸至少为26？$I_{9,1}$是的唯一格吗维度$\ge 10$，这样反射组的简单根由强根生成的具有有界内积的向量$c$？\宣布参考文献。\项目{1.}R.E.Borcherds，水蛭晶格。程序。罗伊。Soc.伦敦Ser。A 398（1985），编号1815，365-376。\项目{2.}R.E.Borcherds，洛伦兹格的自同构群。J.Algebra 111（1987），第1期，133--153.\项目{3.}R.E.Borcherds，广义Kac-Moody代数。《代数杂志》115（1988），第2期，501--512。\项目{4.}J.H.Conway，$26$维偶幺模Lorentzian的自同构群格子。《代数杂志》80（1983），第1期，159-163。\项目{5.}J.H.Conway，S.P.Norton，巨大的私酒。牛市。伦敦数学。Soc.11（1979），第3号，308--339.\项目{6.}J.H.Conway，N.J.A.Sloane，球形填料、格架和组。格兰德伦德Mathematischen Wissenschaften维森沙芬290。Springer-Verlag，新约克伯林，1988年。国际标准图书编号：0-387-96617-X\项目{7.}\`E.B.Vinberg，Loba\v-cevski\u\i~空间中的一些算术离散群。in``离散子群李群及其对模“”的应用（Internat.Colloq.，孟买，1973年），第323-348页。牛津大学出版社，孟买，1975年。\再见