%这是一张普通的特克斯纸\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\宣布K3曲面族。J.代数几何。7（1998），第1期，183--193。Richard E.Borcherds\脚注｛$^\匕首$｝{Grant DMS-9401186和皇家学会教授}{加州大学伯克利分校埃文斯霍尔数学系，3840，邮编94720-3840}{D.P.M.M.S.，英国剑桥CB2 1SB Mill Lane 16号}电子邮件：{reb@pmms.cam.ac.uk}{卢德米尔·卡扎尔科夫}{M.S.R.I.，1000 Centennial Drive，Berkeley，CA 94720}{加州大学欧文分校数学系，加利福尼亚州欧文92697-3875}电子邮箱：{lkatzark@math.uci.edu}Tony Pantev脚注{$^\ddagger$}{部分由NSF拨款DMS-9500712支持。}{麻省理工学院数学系，马萨诸塞州剑桥02139}电子邮件：{pantev@math.mit.edu}N.~I.~Shepherd-Barron\脚注{$^{*}$}{部分由欧洲共同体HCM拨款支持。}{D.P.M.M.S.，英国剑桥CB2 1SB Mill Lane 16号}电子邮件：｛nisb@pmms.cam.ac.uk｝\宣布引言。我们将证明以下定理并给出一些示例其中的大多数条件都是必要的。回忆一下，一个家庭基空间$B$上变种的$X\~B$称为等积，如果有一个覆盖$\ tilde B\到B$的“故事”$X\times_B\tilde B$是$\tillde B$上的一个普通族。\宣布定理1.1。最小K“ahler曲面的任何完整族Kodaira维数为0，皮卡德数为常数，则为等量。这是一个众所周知的事实，即任何复杂椭圆曲线的完整族是等量的，因为科达伊拉的K“ahler，复杂椭圆曲线自动最小维度为0，并且具有Picard编号1。大致来说，它提供了一些当表面的模量空间不包含完整的子变体时的情况。在本文中，所有品种都是平滑的，并且定义为${\bf{C}}$，除非我们显式地声明其他内容。回想一下，Kodaira尺寸0的任何最小K“ahler曲面都是阿贝尔、超椭圆、恩里克或K3。我们用以下公式证明定理1.1分别治疗这些病例。我们可以很快处理这些案件中的大多数，并减少到投影K3曲面如下所示。我们经常想推导出一个紧凑的曲面族结构（至少包括极化）是从一个合适的模空间是拟仿射的事实出发（因此，该家族中的所有纤维都与任何拟仿射空间中的紧簇必须是点）。如果我们有一个所讨论品种的精细模数空间这将是自动，在这种情况下，家庭将是琐碎的，而不仅仅是等量的。一般来说，我们只有一个粗糙的模空间。然而，众所周知，除了Enriques曲面，可以通过引入$H^2（\cdot，｛\bf Z｝）$上的$n$级结构（$n\ge 3$）。更多准确地说，我们必须使光纤$H^2（\cdot，{\bf Z}/3{\bf-Z}）$，可以通过获取基本空间的有限元覆盖。这种僵化$H^2（\cdot，{\bf Z}/3{\bf-Z}）$提供了一个精细的模空间因为$GL_N（{\bf Z}）$的任何有限阶元素都是标识模块$n\ge3$是标识。（对于Enriques曲面相反，我们必须用${\bf中的系数来严格化上同调Z} /3{\bf Z}$的K3封面。）为了证明紧凑型家庭是等量的，我们只需要显示相应的粗模空间是拟仿射的。的模空间超椭圆曲面是仿射曲面（[BPV]），因此定理1.1如下因为模空间不能包含正维度的完全亚变体，因此，一个家族中的所有纤维都是同构的，因此这家人对上面的话一视同仁。类似地，根据的定理1[B96]Enriques曲面的模空间是拟仿射的，因此定理1.1再次出现。对于阿贝尔曲面，定理1.1如下从K3表面的情况来看变化和使用的事实是Kummer曲面是16加上阿贝尔曲面的Picard数。对于非投影K3曲面族，定理1.1根据Fujiki的结果[定理4.8（1），{F}]。所以定理1.1来自于投影K3曲面的情况，我们在第2节结束。证明的主要思想是构造带标记K3曲面周期空间上的自守形式包含给定格的Picard格，使得自形形式对应于具有较大Picard的K3表面格子。然后我们使用自守形式的零点给出模空间上的一个充分除数。我们使用分母构造这些自守形式伪怪兽李代数的函数如[B95]所述，其方式与分母公式基本相同假怪物的李超代数被用于[B96]证明Enriques曲面的模空间是拟仿射的。我们可以通过以下方法获得更精确的结果更仔细地看一下我们构建的自形形式。召回某些洛伦兹格$S\子集II_{3,19}的$S$-K3曲面$X$$是一个K3曲面，在Picard中嵌入了$S$的固定基元组，使$S$的图像包含一个半示例类。（半示例类是一个类$D$，这样$D^2>0$和D.美元。K3曲面$X$上的所有曲线$C$均为0$。）\宣布定理1.2。标记$S$-K3的周期空间上有一个自守形式仅在向量$t$in的除数$t^\perp$上消失的曲面$T=S^\perp$与$0>（T，T）\ge-2$的对偶$T'$。（周期空间是二维正定空间的开子集$T\otimes{\bf R}$和$T^\perp$的子空间是周期空间中与$t$正交的子空间；见第2节。）通过将$S$设为由以下向量生成的一维晶格正常$2$我们得到：\宣布定理1.3。任何家族$f:X\至B$的光滑，射影上偏振度为2的极化K3曲面品种$B$是等量的。如果标记的$S$-K3曲面的周期点位于零轨迹上根据定理1.2的自守形式，则曲面为$S$-坏以下意义。\宣布定义1.4。如果$S$为，我们将$S$-K3曲面称为$S$-坏包含在Picard格的子格$S_1$中这样，$\dim（S_1）=\dim。下面是一些$S$-坏K3曲面的示例。如果有标准$-2$Picard晶格中与$S$正交的向量，则K3曲面为显然是$S$-坏（将$S_1$作为$S$生成的晶格，并且这个向量）。周期点位于定理1.2自守形式的零点也是$S$-坏的（取$S$和Picard格的向量生成$S_1$，该向量对$T'$的投影是$T$）。如果$S$由范数向量生成$2n$，因此$S$-K3曲面包括极化为度$2n$，则很容易检查K3曲面是否为$S$-如果其Picard晶格的向量$D$的度数为$k$，因此$-2\le（D，D）-k^2/2n<0美元。（通过将极化矢量的倍数相加$D$并可能更改$D$的符号，我们也可以假设$0\le k\le n$）定理1.2的直接结果是：\宣布定理1.5。$S$-K3表面的任何非等渗族$f:X\到B$$B$至少具有一美元——坏纤维。我们现在说明为什么定理1.1的大多数条件都是必要的。如果我们取一个Picard数为$n$的固定K3曲面，并将其放大一个变点，我们得到一个完整的非等同性族Picard数为$n+1$的非最小曲面。因此定理1.1不会延伸到非最小曲面。我们证明了K“ahler条件是必要的椭圆曲线$A$和$B$，并让$B_{A}$成为从$A$到$B$的分析映射。层$B_{A}$是一层阿贝尔代数$A$和$H^{1}（A，B_{A}）$上的组对所有主Kodaira进行分类基本$A$和纤维同构于$B$（[BPV]，V.5。，第143-147页）。将$B$表示为商${\bfC} /\兰姆达$。在H^{2}（a，\Lambda）$中选择一个非零元素$c\，并让$T\子集H^{1}（A，B_{A}）$是$c$在自然条件下的前像从短精确序列$0\到\Lambda\到{\cal的映射O} _{A}\到B_{A{\到0$。陪集$T$同构于商（堆栈）$H^{1}（A，{\cal O}_{A}）/H^{1'（A，\Lambda）=A/{\bfZ} ^{2}$。通过在$T$we上撤回$A$通用家庭获得一个完整的非等量初级Kodaira家族曲面。后者自第一次贝蒂之后就再也不是K\“{a}hler了数字等于3，因此定理1.1不适用于非K\“{a}hler曲面。曲线的模空间大于2属的包含紧凑曲线，因此模拟定理1.1中关于高亏格曲线的结论是错误的。通过服用以下产品曲线属为0.1或更大的这些科比1，我们可以找到极小曲面的紧致非等积族常数Picard数字2，Kodaira尺寸为$-\infty$、1或2。所以定理1.1对于非零Kodaira维数的曲面是不成立的。特征$p>0$的字段已完成超奇异K3曲面的非等积族常数Picard数为22。（见[S]）所以定理1.1是错误的在非零特征中（将“K”ahler替换为``投影“”）。然而，一个似是而非的类比特征零的结果可能是在一个完整的超奇异K3曲面的非等积族——Artin不变量必须跳跃。在本文的第3节中，我们构造了一个非等量族平滑极化K3表面。由定理1.1该族不能有常数Picard数，我们发现$S$的一些显式示例-一些一维$S$中的坏光纤。这表明了定理中关于常数Picard数的条件对于K3表面，不能省略1.1。（假设关于常数皮卡德数是无关紧要的对于Enriques或超椭圆曲面，因为所有这些曲面分别具有Picard数字10和2。）第3节中族的K3曲面都没有固定点以恩里克斯曲面为商的对合。我们使用定理1.1证明不存在全局不动点自由整个家庭的内卷。定理1.1中我们没有给出的唯一条件是必要的是对二维变种的限制。我们不知道在更高维度中发生的事情。\无音（noindent）{\bf确认：}我们要感谢J.Jorgensen和A.Todorov就结果进行了一些有趣的讨论本文的第二部分。特别是R.E.Borchers希望感谢A.Todorov解释了他们使用攻击K3曲面Shafarevich猜想的自守形式；这导致了使用自形形式的想法[B95]证明关于曲面模空间的结果。Jorgenson和Todorov独立地注意到K3表面族的等亲性将遵循已知零的自守形式及其预印本[JT96]与本文的结果有一些重叠，如定理1.3。（[JT96]中用于构建自守形式与本文中的方法有很大不同并基于[JT94]中的正则化行列式。）我们还要感谢裁判指出了一些差距。F.A.Bogomolov指出，对于K3曲面，定理1.1如下很容易从Picard组的排名在密集子集，因此最好允许“非$S$-坏”光纤进入定理1.1。\在K3曲面的模空间上声明2.~自守形式。在本节中，我们构造了一些具有已知零的自守形式在具有额外结构的标记K3曲面的特定周期空间上，它给出了相应的模空间，因为自守形式的零点集是充足的除数。额外的结构由一个固定的基元组成在Picard中嵌入签名$（1,m）$的某些格$S$K3表面的晶格。我们将这样的K3曲面称为$S$-K3表面。我们把$S$看作格的固定子格$II_{3,19}$，并为签名的格$S^\perp$写入$T$2.19亿美元。格子$T$的（厄米）对称空间是复射影空间中的范数0点集其实部和虚部跨越2的$T\otimes{\bf C}$$T\otimes{\bfR}$的维数正定子空间。我们回想一下[BOV]，$S$-K3曲面的模空间可以是用格的对称空间的商来标识$T=某个算术组的S^\perp$。Bailly-Borel定理暗示自守形式的零轨迹是模空间的紧化，因此自守形式不消失的商点集是一个拟仿射变种。本节的主要结果是定理1.2的证明，其中说明标记$S$-K3的空间上有一个自守形式仅在向量$t\in t'$的除数上消失的曲面$0>（t，t）\ge-2$。我们将通过首先嵌入格来构造这种自同构形式T美元$在格$II_{2,26}$中，然后限制某种自守形式重量为12的晶格到$T$的对称空间。我们可以找到K3曲面的几何解释，其周期点位于定理1.2中的除数上，如下所示。我们知道Picard格包含$S$。作为t'$中的$t\和$II_{3,19}$是我们可以在II_{3,19}$中找到一个向量$D\，它的投影到$T$是$T$。然后$S$生成的格$\langle S，D\rangle$$D$具有属性\物品{}$\langle S，D\rangle$具有签名$（1，m+1）$\项目{}$|\det（\langle S，D\rangle）|\le 2|\dete（S）|$。因为$v$投影到$S的正交补码中$绝对值的范数最多为2。因此K3表面包含具有上述性质的晶格。尤其是任何K3表面$S^\perp$中的范数$-2$向量满足上述条件，因为我们可以取$D$作为这个范数$-2$向量。我们现在证明定理1.2。{\bf-Proof.}我们首先将$T$的一些原语嵌入到$II_{2,26}$。Nikulin[N79]的推论1.12.3暗示我们可以将任何格$T$基本嵌入到单模格中$II_{2,26}$提供$T\otimes{\bf R}$嵌入到$II_{2,26}\otimes{\bf R}$和$T'/T$小于$\dim（II_{2,26}）-\dim。因此，我们可以发现将我们的格$T$嵌入到$II_{2,26}$中的原语，因为组$T'/T$的秩最多是$S$的维数，因此此秩加上$T$的维数小于$II_{2,26}$。我们将为正交补码$T^\perp写$U$$$II_{2,26}$中的$T$。那么$T$和$U$的行列式与$T$是$II_{2,26}$的本原子格。我们回忆起示例中定义的函数$\Phi$的一些属性[B95]第10节第2条。我们将使用的$\Phi$属性$\Phi$是厄米对称上的自守形式吗$II_{2,26}$的空间及其唯一零位于范数的除数上$II_{2,26}$的$-2$向量。$\Phi$的其他一些属性我们不会使用它的零都是重数1，它的重量是12，它是伪怪物李代数的分母函数，它的傅里叶级数是明确的，可以明确地写出来作为无限乘积。$\Phi$对$T$的厄米对称空间的限制是自形形式，但只要$U$包含范数$-2$向量。我们可以先用$\Phi$除以线性函数在每个因子上消失的乘积norm$-2$向量，然后对其进行限制。此限制是自形形式如[B95]第200-201页所示。所以在所有情况下，我们在的hermitian对称空间上获得自守形式$\Phi_T$其唯一零位于范数$-2$向量的超平面上的$T$$II_{2,26}$。虽然我们不需要它，但我们可以计算出$\Phi_T$如下：每次除法，重量增加1$\Phi$通过线性函数计算，因此最终重量为重量（=12）$\Phi$的值加上$U$的正常$-2$向量数的一半。我们想知道$\Phi_T$的零在$T向量中的位置$而不是以较大晶格的范数$-2$向量$r$表示$II_{2,26}$。这些零对应于负的超平面$II{2,26}$的范数$-2$向量$r$到$T$中的范数投影。$r$到$U$的投影最多为0，因为$U$为负数确定，因此$r$的$t$到$t$的投影是$t'的向量$$0>（t，t）\ge-2$。这证明了定理1.2。对于标记Enriques曲面的周期空间，存在在与$-2正交的点上完全消失的自守形式$向量[B96]，所以自然会问是否存在自形极化K3表面在点上消失的形式与$S^\perp=T$中的范数$-2$向量正交，这将很大比上面的结果更强。定理1.3表示存在这样一种形式极化度为2的K3表面，但Nikulin[N95]已经表明，对于一些大型的极化值。定理1.2中形式的零点并不总是多重的一个；事实上，它们往往具有很高的多重性。我们可以通过计算向量的个数来计算零点的重数在格$U$的对偶$U'$中，具有给定范数和给定图像美元/美元。（但请注意，某些超平面可以具有更高的多重性比预期的要多，因为它们从多个向量中得到零$t$）我们现在给出极化K3曲面的一些示例，因此我们取$S$为一维晶格，其跨度为正整数$n$的范数$2n$的基元向量。我们可以参数化$T$到$II_{2,26}的嵌入$通过$-E_8$中的原始范数$-2n$向量$v$。待办事项我们只需标识$T=（-2n）\oplus（-E_8）\oprus（-E-8）\opmusH\oplus H$与子格${\bf Z}v\oplus（-E_8）\oplu斯（-E_9）\oprus$II_{2,26}的H\oplus H$=H$（美元）。然后，格$U$是$-E_8$中$v$的正交补码。下面是$U$的标准$-2$根数和范数$U’$格中向量$a$的个数对于介于0和$n$之间的$k=（a，v）$的值，大于$-2$。$$\矩阵{2n&roots&k=0&k=1&k=2&k=3&k=4&k=5&k=6&k=7\cr2、126、1、564&84&1&64&14\cr6、74、1、54、27、28、126、1、0、56、0、18、56、1、56、28、8、010&60&1&44&33&12&1&0 \cr12、46、1、48、30、16、3、48、1014、44、1、42、35、14、7、0、21、214、72、1、28、27、27、1、1、27、02n&roots&k=0&k=1&k=2&k=3&k=4&k=5&k=6&k=7\cr}$$可以计算其他$k$值的向量数如果$k$被替换，这个数字不会改变减去$2n+k$或减去$-k$。对于$n$的某些值一条线，因为格子$E_8$可以有几个向量的轨道相同的范数，对应于几种不同的自形形式。$2n=8$的第一行对应于$E_8$so的非原语范数$8$向量不对应将$T$的原语嵌入到$II_{2,26}$中。一些条目为0，对应于自形定理1.2的所有除数上的形式并不总是消失（因此定理1.2中的除数不一定是最小值大量除数）。{\bf示例2.1.}我们将精确计算出$2n=2的自守形式$看起来像。它的重量是（$\Phi$的重量）+（根的数量$E_7）/2=12+126/2=75$。此形式的零来自$k=0$或1在定理1.2中。对于$k=0$，我们得到1对重数的贡献$T$中每个范数$-2$向量的除数。对于$k=1$，我们得到一个对偶$T’$中每个标准$-1/2$向量的贡献为56元新台币。这并不意味着自形形式有零重数56，因为$T'$的两倍范数$-1/2$向量是范数$T$的$-2$vector具有与所有向量的偶数内积元新台币。特别是$T$的范数$-2$向量的除数是可约：它有两个组件$E_1$和$E_2$，对应于范数$-2$向量具有奇数内积和$T$向量规范具有偶数内积的$-2$向量$T$。除数$E_1$是重数为1，除数$E_2$是重数的零$1+56=57$，这些都是零。特别是这个例子证明了引言中的定理1.3。｛\bf示例2.2。｝Nikulin在[N95]中推测只有有限个格$S$，因此存在自守仅在具有范数$-2$向量的$S$-K3曲面上的形式消失单位为$S^\perp$。我们可以找到几个格子$S$的例子属性。首先，如果$S$是$L中的幺模洛伦兹格$则$T=T'$，因此$S$具有此属性。单模洛伦兹$L$中的格是$II{1,1}$、$II{1.9}$和$II{1.17}$。第二如果$S$具有行列式2和维度1 mod 8，则它具有属性，因此我们还得到了格$（2）$，$（2）\oplus（-E_8）$和$（2。{\bf示例2.3.}如果2n$是4、6、8或10，那么我们可以从上表中看到我们可以假设$（D，D）=-2，（D，P）=0$或$（D、D）=0$。因此，如果K3曲面的周期在自守形式的零点上则曲面是奇异的（在Picard群包含与$S$正交的$-2$向量）或其Picard格包含自交数为零的非零元素。\宣布引理2.1。具有恒定Picard数的任何K3曲面族是指在有限的基本单位变化后，$S$-K3曲面族对于一些洛伦兹格子$S$。证明。根据关于常数秩的假设，以及自PicardK3曲面的群总是$H^2$的本原子格Picard组形成了$H^2$本地系统的子本地系统。由于Picard群上的单值作用是有限的，我们可以，在一个基本单位改变后，假设这个子系统是恒定的。这意味着存在常量局部系统的原始嵌入光纤$S$接入$H^2$的本地系统。根据定义这是一个$S$-K3曲面族。这证明了引理2.1。我们现在证明定理1.1。根据定理1.1后的注释，我们可以假设族中的所有曲面都是K3曲面。通过引理2.1，我们可以假设我们有一个$S$-K3族某些晶格$S$的曲面。作为K3曲面是投影的，格子$S$是洛伦兹的。根据定理1.2和本节开头附近的注释，如果家庭不是等量的，必须有Picard数为的曲面至少比$S$的维度多1个。这与事实相矛盾族中所有曲面都具有相同的Picard编号，并证明定理1.1。\宣布3。~一些例子。在本节中，我们构造了一个完整的非等量光滑极化K3表面族，以表明假设关于定理1.1中的皮卡德数，不能省略。假设$A\to C$是一个完整的单参数族主要是极化阿贝尔曲面。这样一个家庭存在是因为Satake紧化的边界模空间的余维数为$2>1$。将$f:K=A/\{\pm1\}\设置为加元。由于$f$在其临界位点的邻域内是等流的，我们可以通过映射同时解决奇点$\sigma:\ tilde K\到K$以获得$\ tilde K \到C$是一系列平滑的K3曲面。假设$\Theta$是$A$上的相对主极化。它是众所周知，2美元\Theta$是相对充足的$K$上的除数$H$。让$E$表示$\西格玛$。众所周知，在每根几何纤维上$E$是唯一的偶数。几何通用纤维$\tilde K_{\bar\eta}$有一个唯一的除数类$\bar L$这样$E_{\bar\eta}\sim 2\bar L$。回想一下“童话上同调群”$H^1_{et}（\cdot，{\bf G}_m）$是Picard组$Pic（\cdot）$，而$H^2_{et}（\cdot，{\bf G}_m）$是Brauer组$Br（\cdot）$。{}来自Hochschild-Sere光谱序列$$E^{pq}_2=H^p（Gal（{\bf C}（\bar\eta）/{\bf-C}，H^q_｛et｝（波浪K_｛\bar\eta｝，｛\bf G｝_m））\向右箭头H^{p+q}_{et}（波浪线K_\eta，{bf G}_m）$$我们得到了一个精确的序列$$0\右箭头Pic（\tilde K_\eta）\rightarrow Pic（\ tildeK_{bar\eta}）^{Gal（{\bf C}（\bar\eta）/{\bf-C}\右箭头Br（{\bf C}（\eta））。$$由于的Brauer组$Br（{\bf C}（\eta））$复曲线的函数域是平凡的（Tsen定理）因此，$E$甚至位于通用光纤$\tilde K_\eta$上。它以下是$E\sim 2L+V$（对于某些$L$和某些$V$）纤维。如有必要，我们可以在底座上覆盖一层树枝状的双层覆盖物可以假设$V$是偶数，因此$E$是偶数。说$E\sim 2M$。放置$B=2\sigma^*（H）-M$，因此$B$是$\ tilde K$，前提是$H$在$K$上非常充足，这是等价的到阿贝尔表面$A$是不可分解的极化阿贝尔簇。（见[GH]，第773-787页。）如果，然而，$A$是可分解的，因此是椭圆曲线的乘积那么，B$仅仅是半充足的。然而，以$S$作为格子由$B$生成。我们已经构建了一个完整的非等量$S$-K3曲面系列。（除数$B$并不适用于所有光纤；如果我们也想这样，我们可以取除数类$D=B+\sigma^*（H）$它提供了程度的两极化$（3H）^2+M^2=3^2\乘以4-8=28$）{\bf示例3.1.}假设C$中的$0\为$A_0$对于椭圆曲线$X$和$X'$，同构于$X\乘以X'$。然后有一个映射$\alpha:K\到{\bf-P}^1\次{\bf P}^1$2次，因为$｛\bf P｝^1$是椭圆的Kummer变种曲线。设$F_1，F_2$是投影${\bf的纤维P} ^1\次{\bf P}^1到{\bf-P}^1$。让$D_i$作为回调从$F_i$到$\ tilde K_0$。我们知道$（D_i，D_i）=0$，因为$D_i$是曲线上的态射纤维。此外，$（D_i，E_0）=0$，其中$E_0$是$\tilde K_0$上的异常位置。因为$B=2（D_1+D_2）-E/2$it遵循$（B，D_i）=4$，因此$S=\langle生成的晶格B \rangle$和$D_1$具有区分符$-16$。这是一个示例$S$-纤维不良。{\bf备注}以上系列中的每个K3曲面都是Kummer曲面曲面等的结果[K]有一个自由不动点对合（不一定是唯一的！）使得商是强化表面。但根据定理1.1，我们无法找到全局固定的无点内卷作用于整个家庭，否则我们会得到Enriques曲面的一个完整的非等量族。\宣布参考文献。\项目{BPV}{\bf W.Barth，C.Peters，A.Van de Ven}｛“紧凑复杂曲面”，施普林格出版社，1984年。｝\项目{B95}{\bf R.E.Borcherds}{它在$O_{s+2,2}（R）$和无限乘积上的自同构形式，《数学发明》，第120卷，1995年，第161-213页。\项目{B96}{\bf R.E.Borcherds}{\it Enriques曲面的模空间与假怪物李超代数，拓扑，第35卷，第3期，699-7101996。\项目{BOV}{\bf}{\it Geometrie des surfaces K3：模与周期，Ast’erisque，1261985。\项目{F}{bf A.Fujiki，}{关于原辛紧K“ahler V-流形维度四。\/}英寸代数流形和解析流形的分类，（Katata，1982），71-250，Progr。数学。，39, Birkh“auser Boston，马萨诸塞州波士顿，1983年。\项目｛GH｝｛\bf P.Griffiths，J.Harris｝代数几何“，Wiley，1978年。\项目{JT94}{\bf J.Jorgenson，A.Todorov}一个分析判别式对于极化代数K3曲面，1994年预印本。\项目{JT96}{\bf 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