%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\C{{\bf C}}%复数\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\宣布私酒问题。Richard E.Borcherds，%作者\脚注{$^*$}{支持NSF拨款DMS-9970611。}数学系，埃文斯·霍尔\#3840，加州大学伯克利分校，加利福尼亚州94720-3840美国。电子邮件：reb@math.berkeley.eduwww主页www.math.berkeley.edu/\hbox{\~{}}-reb\大跳跃I.C.C.M.的演讲是对私酒的介绍。就在那里已经有几篇关于私酒的调查文章了（[B94]，[B99]，[D-M94]，[CD-M96]，[F-H98]，[J]），这篇论文与谈话不同，将集中讨论主要是关于我们不知道的事情。月光不是一个定义明确的术语，但这个地区的每个人当他们看到它的时候就会认出它。大致来说，这意味着奇怪模块形式与零星简单群之间的联系。它可以也可以扩展到包括相关区域，如无限维李代数或复双曲反射群。此外，它应该只适用于奇怪和特殊的事情：如果有有无数的例子，那么它就不是空谈。我们首先快速回顾一下最初的私酒猜想麦凯、汤普森、康威和诺顿[C-N]。有限单群的分类表明，每个有限单群要么属于大约20个无限家族中的一个，要么就是其中之一在26个例外中，称为零星简单组。怪物单群是零星有限单群中最大的群，是费舍尔和格里斯发现的。它的顺序是$$\eqalign（等效对齐）{&8080174247945128758864599049617107570057543680000000\cr=& 2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2.13^3.17.19.23.29.31.47.59.71\cr}$$（这大致是地球上基本粒子的数量）。最小不可约表示具有维数119688321296876美元。另一方面椭圆模函数$j（\tau）$，定义为$$j（τ）={左（1+240\sum_{n>0}\sigma_3（n）q^n\右）^3\超过q\prod_{n>0}（1-q^n）^{24}}$$拥有力量串联扩展$$j（\tau）=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\ldots$$其中$q=e^{2\pii\tau}$。约翰·麦凯注意到一些相当奇怪的事情椭圆模函数系数与怪物的描述如下：$$\eqalign（等效对齐）{1&=1\cr196884&=196883+1 \cr21493760=21296876+196883+1 \cr}$$其中左边的数字是$j（\tau）$的系数右边的数字是的不可约表示的维数怪物。“可怕的私酒”一词（由康威创造）指的是麦凯观察的各种延伸，特别是零星简单群和模块化功能。麦凯和汤普森建议应该有分级代表制$V=\oplus_{n\in\Z}怪物的V_n$，例如$\dim（V_n）=c（n-1）$，其中$j（\tau）-744=\sum_nc（n）q^n=q^{-1}+196884q+\cdots$。要描述$V$，汤普森建议看一下麦凯-汤普森系列$$T_g（\tau）=\sum_nTr（g|V_n）q^｛n-1｝$$对于怪物。例如，$T_1（\tau）$应该是椭圆模功能。康威和诺顿计算了通过对将前几个$V_n$分解为不可约怪物的代表。他们发现了惊人的事实所有的麦凯·汤普森系列似乎都是为了$SL_2（\R）$的某些属0子群。（子群的Hauptmodule$\Gamma$是从$\Gamma\backslash H$到$\C$的同构，归一化，使其傅里叶级数展开开始$q^{-1}+O（1）$。）模块$V$被明确构建为怪物的表示[F-L-M]组，如图所示在[B92]中，该模块满足moonshine猜想，利用它具有顶点代数的结构这一事实。在本文的其余部分，我们将研究各种推测方法来概括这个。{\bf问题1.}找到怪物的“自然”结构顶点代数$V$。所有已知的构造都将其构造为几个（通常是两个）不同部分的总和，需要很多证明顶点代数结构可以在此基础上定义总结一下，并表明怪物在它身上行动。这会更好有一种结构，只给$V$一个件“”。这样做的一个想法可能是“稳定”怪物顶点通过将其与二维偶数洛伦兹格$II_{1,1}$。原因是如果我们把这个格加到任何尼迈尔格上，我们就会得到答案相同$II_{25,1}$，因此可以恢复Niemeier格$II_{25,1}$中的范数0向量。此外moonshine猜想涉及到对顶点取张量积$II_{1,1}$的代数，表明这是一个自然操作。这个这个问题最幼稚的说法是问怪物用$II_{1,1}$的顶点代数张量的顶点代数是同构于$II_{25,1}$的顶点代数。这似乎有点不太可能，尽管据我所知，这还没有被推翻。{\bf问题2.}在怪物顶点上构造一个好的积分形式代数$V$。这应该具有以下属性：$V$的齐次块在上具有自对偶对称双线性形式这个积分形式可以从问题1的一个好的答案开始，但也可能独立证明如下。这个怪物顶点代数的一般构造给出了一个自对偶积分形式“最多2次扭转”。如果我们可以进行类似的为其他素数$p$构造“高达$p$-扭转”，然后也许可以把它们拼接在一起，得到一个好的积分有一些怪物顶点的构造[D-M92]，[M96]代数看起来似乎可以扩展到3-扭转。好的积分形式对怪物的一个优点顶点代数是研究模月光[R] [B-R]，[B98]比较容易。{\bf问题3.}找到整数上的仿射ind群方案对于怪物李代数。（这里的仿射ind组方案是大致是一个可交换的线性拓扑Hopf代数仿射群方案与交换Hopf代数。对于无限维群，似乎允许Hopf代数上的线性拓扑是必要的，因为通常没有从$H$到$H\otimes H$的自然映射，但只有到完成$H\hat\otimes H$。）在有理数上不是很难找到一个其李代数是怪物李的ind群方案代数和其连通分量组是怪物组。问题是能否找到一个好的积分形式这个ind组方案。还有几个中间问题：我们能找到一个很好的怪物李代数的积分形式吗将遵循怪物顶点代数的良好积分形式）我们能在整数上找到一个形式群吗代数？目前还不清楚该怎么办这样的ind组方案。也许它可以用来研究无限与怪物谎言相对应的维度自守形式代数，或者它在有限域中具有值的点可能是有用的群体。关于伪怪物李代数的相关情形[B99a]在这些问题上取得了一些进展，但怪物李代数似乎更难，因为它不是由根生成的零或正范数的根空间。{\bf问题4.}证明诺顿的广义私酒猜想[N86]。大致来说，这些猜想将模函数赋给了偶对怪物的交换元素，而不是对元素。这个重点是群$SL_2（\Z）$不仅作用于（亏格0）模函数也适用于任何群的交换元素对。取得了一些进展是董、李和梅森[D-L-M]根据诺顿的猜想做出的，在$g的情况下，谁证明了广义moonshine猜想$和$h$通过减少到$g=1时的情况来生成循环群$（普通的空想）。G.H“ohn[H]做了一些$g$和$h$不生成循环时较难情况的进展通过构建婴儿怪物所需的模块进行分组（当$g$属于$2A$类型）。他的方法似乎也会为Fischer组$Fi_{24}$工作，但不清楚如何进行更进一步。Dong最近几乎证明了空谈猜测。粗略地说，他的证明是朱证明某些顶点代数特征的推广是等变情况下的模函数。{\bf问题5.}解释私酒之间的联系（如果有的话）以及怪物[ATLAS]的“Y呈现”。后者是一个特别容易地呈现由康威和诺顿最终被伊万诺夫证明（见[I]）大致类似于Coxeter组的演示关系。宫本茂[M95]发现通过找到一组满足必要条件的怪物顶点代数的对合关系。他的证明使用了$E_6^4$Niemeier格的性质。｛\bf问题6.｝对广义Kac-Moody代数进行分类具有Weyl向量且其分母函数是自守的形式（可能带有奇点）。这样一个最简单的例子李代数是具有分母的怪兽李代数函数$j（\sigma）-j（\tau）$。还有很多其他类似的排名2李代数，一些与私密群和零星群有关，还有一些这似乎与零星群体无关。还有许多例子在不同的等级中高达26，这可能是最高的可能的等级。可以放宽广义Kac-Moody的条件Weyl向量应该存在的代数，并且只要求那些分母函数是一种自守形式。格里森科和尼库林将其中一些代数分类为低阶[G-N]，[N]。{\bf问题7.}找到所有“有趣”的双曲线反射组（包括算术组和其他组）。这是与寻找有趣的广义问题密切相关Kac-Moody代数，因为一个有趣的Weyl群广义Kac-Moody代数通常是一个有趣的双曲线反射组。Nikulin已经证明了双曲面的个数接近算术的反射组（在各种感官）是有限的，已知的例子表明几千个。似乎有一个相当神秘的这些双曲反射群与亏格0模的联系组；更准确地说，大多数有趣的双曲线反射组似乎与某些模块形式相关尖角处有低级杆。例如，Conway的反射组$II_{1,25}$与函数$1/\Delta（\tau）$相关联。然而，这封信并不好理解；有关一些示例，请参见[B99b]。{\bf问题8.}找到广义的“自然”结构Kac-Moody代数在前面的问题中。所有这些代数都可以可以使用生成器和关系来构造，但这不是令人满意的构建方式；例如，很难查看这些代数有趣的对称群（例如怪物组）。我们更喜欢在可以清楚地看到有趣的对称群。对于例如，怪物李代数是由怪物构造的顶点代数作为字符串物理状态的李代数26维圆形，所以可以看到怪物的行动直接因为它作用于怪物顶点代数。谢索尔[S]最近发现了“假怪物谎言”的类似结构秩为10的超代数。哈维和摩尔[H-M]使用BPS状态实现这些代数的令人兴奋的建议，或通过使用模空间的上同调群构造它们曲面的向量束。{\bf问题9.}这6个零星的人有没有私酒之类的东西不属于怪物团体的团体？请注意，很可能所有Chevalley群都自然作用于有限上的顶点代数菲尔德和许多参与怪兽行动的零星团体自然地在顶点代数上，有时在有限域上，如模块私酒，有时超过有理数怪物。这意味着大多数有限的简单群自然地作用于顶点代数，一个明显的问题是它们是否都是这样的。假设作用于自然顶点代数的任何简单群都会与模块化功能有某种联系。不幸的是（作为据我所知）没有人发现任何严重的证据表明其余6个散发组（Janko组$J_1$、$J_3$和$J_4$，奥南集团、里昂集团和鲁德瓦利斯集团）与顶点代数或模函数的联系。{\bf问题10.}解释麦凯的奇怪观察（如例如[B99]）关联Dynkin图$E_8$、$E_7$和$E_6$与怪物、小怪物和$Fi_{24}$组。这个重点是交换对合对的共轭类怪物似乎对应于仿射$E_8的顶点$图中，婴儿怪物之间也有类似的联系和$E_7$Dynkin图，以及组$Fi_{24}.2$和$E_6$。这可能与（众所周知的）麦凯有关Dynkin图与3中有限旋转群的对应尺寸。{\bf问题11.}Lian和Yau[L-Y]表明K3的镜像图曲面有时是Hauptmodules的倒数；例如，其中一个他们的镜像地图是$$q-744q^2+356652q^3+\cdots$$，它是椭圆的倒数模块函数$j（\tau）$。他们发现其他几个Hauptmodules出现个元素（共个）。他们提出了一个颇具推测性的问题关于怪物和K3表面。这似乎有点疯狂，因为没有明显的方法怪物可以与K3表面相连，但在另一方面，这是大多数人对麦凯原作的评价观察连接怪物和椭圆模函数！{\bf问题12.}有怪物流形吗？更准确地说，Hirzebruch问是否有一个24维流形被Witten属的怪物$j（\tau）-744$。如果是这样，可能是可以用它来构造怪物顶点代数，或者至少它的底层空间。霍普金斯和马霍瓦尔德最近建造具有正确维数和Witten亏格的流形，但到目前为止尚不清楚如何在其上构建怪物的动作。｛\bf问题13.｝复双曲反射群。奥尔科克[A]最近构造的复数双曲线的一些引人注目的例子Leech晶格的反射组，或者更准确地说，来自复水蛭晶格，艾森斯坦上的12维晶格整数。这个复杂的反射组在几个方面看起来很相似到Conway晶格的真实双曲反射群$II_{1,25}$。Allcock还证明了在复双曲空间在反射上精确消失此反射组的超平面。其他几个复双曲线奥尔科克发现的反射群与各种模空间，例如立方曲面的模空间[A-C-T]。大多数这些复杂的双曲线反射群似乎都有这与私酒有关，尽管很难准确描述关系是什么。例如，其中许多关系与自形形式又与月光有关。所以一个将军一个相当模糊的问题是：发生了什么？对于一些更具体的关于算术复数分类的问题双曲线反射群，对于它们中的每一个，我们都可以问它是不是与一些模空间和一些自守形式有关关于有限复反射群应与一些迄今为止未知的代数结构暂时称为``spetses“[M99]以与真实反射组相同的方式与李代数有关。正如真实的双曲反射群与Kac-Moody代数密切相关，一个显而易见的问题是要问如果spetses扩展到复双曲反射组。{\bf问题14.}是否存在与$II_{1,25}$？10级假怪物谎言的分母函数超代数是周期空间上的自守形式Enriques曲面沿奇异点消失Enriques表面[B96]。这个自守的直接构造该形状由哈维和摩尔[H-M98]以及吉川[Y]发现，根据Jorgenson和Todorov[J-T]的建议。（注意，作为在[Y]中指出，[J-T]中所述的主要定理是不正确的。）伪怪物李超代数和伪怪物李代数看起来在很多方面都很相似，所以我们可以问是否有类似的模伪怪物李代数及其根格的相关空间$II_{1,25}$。所以周期空间应该是厄米对称的具有奇异点的格$II_{2,26}$对应的空间沿着范数$-2$向量的除数，模空间应该是格的自同构群的商$II_{2,26}$。你也可以问类似的问题关于其他广义Kac-Moody代数的问题。弗雷塔格有建议可能会出现最“有趣”的模空间以类似的方式，与厄米对称上的自守形式有关具有无限乘积展开的$\R^{2，n}$空间它的零对应于某个格子的根。参见[F-H]了解一些示例。{\bf问题15.}极点位于顶点的模形式通常出现在本文中的问题。有什么有用的类似物吗经典尖点的$L$-函数或Dirichlet级数的形式形式？注意，明显的Dirichlet级数由系数在任何地方都不收敛，因此我们必须使用不同的定义“$L$-函数”的方法。一种可能性是只使用梅林变换。如果尖端有极点，则不会收敛，因此有必要将积分正则化为方式。另一种可能性是在一些尖点和零点在另一些点，只是在两个零点之间积分。由此产生的梅林变换将满足某些函数方程来自于通常的模形式的函数方程是的，但很难看到人们还能对他们说什么。也许我们可以看到一组具有奇点不变量的模形式在Hecke代数下，并询问梅林变换是。（如果表格没有奇点，赫克代数具有特征函数和特征函数上的Hecke代数对应于Euler$L$-系列上的产品分解。然而，如果模块形式如果有尖角，那么赫克代数往往可以自由操作，因为赫克算子使奇点变得更糟，因此不存在本征函数。）\宣布参考文献。\项目{[ATLAS]}J.H.Conway，R.T.Curtis，S.P.Norton，R.A.Parker，R.A.Wilson，地图集有限群。牛津牛津大学出版社，1985年。国际标准图书编号：0-19-853199-0\项目{[A]}D.Allcock，Leech格与复双曲反射，1997年预印本，可从http://www.math.utah.edu/\hbox{\~{}}allcock\项目{[A-C-T]}D.Allcock、J.A.Carlson、D.A.Toledo、，立方曲面模量的复杂双曲结构。C.R.学院。科学。巴黎高中数学。326（1998），第1号，49-54。\项目{[B92]}R.E.Borchers，Monstrous 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