%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\C{{\bf C}}%复数\def\L｛\cal L｝｝%线束\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\V{{\cal V}}%矢量束\定义\Z{{\bf Z}}%整数\在更高的维度上宣布Gross-Kohnen-Zagier定理。\h1997年10月1日和12月31日，2000年3月4日。杜克数学。J.97（1999），第2期，219--233。理查德·博彻兹，\脚注{$^*$}{由皇家学会支持教授职位。}D.P.M.M.S.、。，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。电子邮件：电子邮箱：dpmms.cam.ac.ukwww主页www.dpmms.cam.ac.uk/\~{}reb\大跳跃\宣布1.~引言。Gross-Kohnen-Zagier定理[G-K-Z]大致说明了Heegner定理模椭圆曲线的因子由a的系数给出权重$3/2$的向量值模形式。我们会再提供一个证据（见定理4.5和示例5.1），它扩展到赫米特的一些更一般的商维数为$b^-$的对称空间，并表明形式幂其系数是的高维推广的级数Heegner除数是权重$1+b^-/2$的向量值模形式。定理4.5证明的主要思想很容易表述。其中一个[B]的主要结果是与权重的模形式对应$1-b^-/2$，从奇点到已知零点的自守形式极点，给出了Heegner除数与其更高除数之间的关系维度泛化。另一方面，Serre对偶模块化形式表示找到模块化形式的唯一障碍重量为$1-b^-/2$，具有给定奇点，由模给出重量形式$1+b^-/2$。换句话说，唯一的障碍是发现Heegner除数之间的关系由重量为$1+b^-/2$的模块形式。这是一个正式的结果Heegner因子本身就是模的系数重量形式$1+b^-/2$。将[B]的结果用于证明Heegner除数之间的关系是由R.L.泰勒。定理4.5中大多数有趣的特例尺寸是已知的，尽管它至少简化了统一已知结果的几个先前证明。对于模块曲线定理或多或少与[G-K-Z]表示模曲线上的Heegner因子由下式给出雅可比形式的权重系数2。（参见示例5.1）主要不同的是，我们证明了所有Heegner除数的结果，而[G-K-Z]的作者仅限于Heegner因子的情况为了简单起见，尽管他们的方法是这样的可能会扩展到涵盖所有Heegner除数。唯一的据我所知，以前并没有这样做的原因似乎是要想有一点小小的改进，就需要做很多额外的工作结果。Hayashi[H]将[G-K-Z]的结果推广到了一些其他判别词。Shimura曲线上的CM点也有类似的结果（示例5.3）。Shimura曲线的Jacobian中的阿贝尔变种也在模曲线的雅可比数中，因此很可能Shimura曲线的结果是模[G-K-Z]结果的形式化结果曲线。在二维中，定理4.5表明Hirzebruch-Zagier循环希尔伯特模曲面是权重的模形式的系数$1+b^-/2=2$（示例5.5）。这是[H-Z]的主要结果。还有其他几个更高的Hirzebruch和Zagier关于循环的交积；参见例如[K]。在三维中，我们恢复了van de Geer〔G〕的结果Humbert在尺寸为3的Siegel模变量是重量的模块形式$1+b^-/2=5/2$。还有一个由赫尔曼[He]提供的四维示例，他显示了一些三维度$Sp_4（\R）组的模块化品种$在$U（2,2）$组的模变种中是重量$1+b^-/2=3$的模块形式的系数。上述结果的大多数先前证明证明了通过考虑除数空间上的内积得到除数，模曲线情况下的N状态内积，或Hilbert模的交叉数曲面。这篇论文中的证明没有提到内积，而是通过显式证明除数之间的关系用已知极点构造自守形式零。不幸的是，这意味着没有明显的使用方法本文证明Gross-Zagier结果的方法$L$级数导数消失的Heegner因子。我要感谢A.Agboola、J.H.Bruinier、C.Castano-Bernard、，E.Freitag、B.Gross、S.S.Kudla、J.Nekov{r}，N.I.Shepherd-Barron、R.L.Taylor、J.Wahl和D.B.Zagier他们的帮助。我特别感谢裁判在改进论文方面付出了很多努力。%\宣布符号。%%\项目{$A，B，C$}整数。%\格子$M$具有签名$（b^+，b^-）$。通常$b^+=2$。%\项{$c_{n，\gamma}$}模形式的傅里叶系数。%\项目{\C}复数。%\项目{$\gamma$}$M'/M$的元素。%\项目{$\Gamma$}$Mp_2（\R）$的离散子组。%\项目{$\delta$}$M'/M$的元素。%\项目{$e_\gamma$}$\C[M'/M]$的基元素。%\项｛$f$｝一种向量值的模形式。%\项{$G（M）$}格拉斯曼，等于最大正定集%$M\otimes\R$的子空间。%\项目{$H$}上半平面。%\项目{$i$}$\sqrt{-1}$。%\项{$II_{m，n}$}维的偶幺模格%$m+n$和签名$m-n$。%\项目{$K$}一个实二次域。%\项目{$\L$}一个行束。%\{$M$}签名$（b^+，b^-）$的偶数格，具有双$M'$。%\项目{$Mp$}元选择组。%\项目{$n$}有理数，%通常索引模块形式的系数。%\项目{$N$}整数。%\项目{$q^n$}$e^{2\pi-in\tau}$%\项目{$\Q$}有理数。%\项目{$\R$}实数。%\项目{$\rho_M$}$Mp_2（\Z）$的表示（参见第2节）。%\项目{$SL$}一个特殊的线性组。%\项目{$\tau$}具有正虚部的复数。%\项目{$v$}$M\otimes\Q$中的向量。%\项{$\Psi$}$G（M）$上的亚纯自守形式。%\项{$y_{n，\gamma}$}$G（M）$上的Heegner除数。%\项目{$\Z$}整数。\宣告2.~模数形式。在本节中，我们总结了一些关于模块形式的标准结果并为论文的其余部分设置注释。回想一下，组$SL_2（\R）$具有双重封面$Mp_2（\R）$称为元选择组，其元素可以写在表单中$$\left（{ab\choose-cd}，\pm\sqrt{c\tau+d}\right）$$其中SL_2（\R）中的${ab\choose-cd}\$$\sqrt{c\tau+d}$被视为全纯函数上半平面中$\tau$的平方为$c\tau+d$。乘法的定义是为了模块形式的转换适用于半整数权重，也就是说$$（A，f（\cdot））（B，g（\cdop））=（AB，f（B（\cdto））g（\cdot））$$对于SL_2（\R）$和$f中的$A、B\，g$适用于$H$上的函数。群$Mp_2（\Z）$是$Mp_2（\R）$的离散子群表单元素的$\left（{ab\choose-cd}，\pm\sqrt{c\tau+d}\right）SL_2（\Z）$中的$带有${ab\choose-cd}\。假设$\Gamma$是$Mp_2（\R）$可公度的子组使用$Mp_2（\Z）$，并假设$\rho$是$\Gamma的表示$关于有限维复向量空间$V_\rho$通过$\Gamma的有限商进行因子计算$这样，$\rho=\sigma_k$在$\Gamma\cap k$上。在{1\over 2}\Z$中选择$k\。我们定义了重量$k$和类型的模块化形式$\rho$是上半平面$H上的全纯函数$f$$向量空间$V_\rho$中的值如下$$f\left（{a\tau+b\over c\tau+d}\right）=\sqrt{c\tau+d}^{2k}\rho_M\左（\左（{ab\选择cd}，\sqrt{c\tau+d}\右）\右）f（τ）$$对于元素$\left（{ab\choose-cd}，\sqrt{c\tau+d}\right）$$\Gamma$的。（我们允许在顶点处出现奇点。）模形式在无穷远处的尖端具有傅里叶展开式，如下所示。$f$的Fourier系数$c_{n，\gamma}\in\c$由以下公式定义$$f（\tau）=sum_{n\in\Q}\sum_{gamma}c_{n，\gamma}Q^ne_\gamma$$其中$q^n$表示$e^{2\pi i n \tau}$，其中总和在$V_\rho$的基础$e_\gamma$由$T$的特征向量组成。注释$n$不一定是整数；更确切地说，$c｛n，\gamma｝$仅当$n\equiv\lambda_\gamma\bmod 1$时为非零，其中$e_\gamma$上$T$的特征值是$e^{2\pii\lambda_\gamma}$。我们假设$f$在顶点$i\infty$处是亚纯的，如果$c{n，\gamma}=0$for$n<<0$，我们说$f$在顶点$a/c$if是亚纯的$f（（a\tau+b）/（c\tau+d））$在$i\infty$处是亚纯的SL_2（\Z）$中的${ab\choose-cd}\。我们说$f$是全纯的如果傅里叶展开式的系数$n<0$时，所有尖点都消失。我们会写$ModForm（\Gamma，k，\rho）$表示权重的模形式的空间$k$和$\Gamma$的表示$\rho$是亚纯的在尖端，以及$HolModForm（\Gamma，k，\rho）$用于模的子空间全纯形式在所有的尖端。上面表示$\rho$的一个特别重要的示例$\rho _M$可以如下构造。我们让$M$是签名$（b^+，b^-）$的非奇异偶格，具有对偶百万美元。商$M'/M$是一个有限群，其阶是晶格$M$的判别式的绝对值。$\（lambda，\lambda）/2$的mod 1减法是$M'/M$上的$\Q/\Z$值二次型，其关联$\Q/\Z$值双线性形式是双线性的模1约简$M'$上的表格。我们将M'/M$中$\gamma\的元素$e_\gamma$作为标准群环$\C[M'/M]$的基，因此$e_\gammae_\delta=e_{\gamma+\delta}$。$M$的Grassmannian$G（M）$被定义为$b^+$-$M\otimes\R$的$b^+$-维正定子空间。它是正交群作用的对称空间$O_M（\R）$，如果$b^+=2$，则为厄米对称空间。回想一下，有一个幺正$SL_2（\Z）的双重封面$Mp_2（\Z）$的表示$\rho_M$$在$V_{\rho_M}=\C[M'/M]$上，由定义$$\rho_M（T）（e_\gamma）=e^{2\pi i（\gamma，\gamma）/2}e_\gamma$$$$\rho_M（S）（e_\gamma）=｛\sqrt｛i｝^｛b^--b^+｝\over\sqrt｛|M'/M|｝｝\M'/M}e^{-2\pi i（gamma，delta）}e_delta中的sum_{delta\$$其中$T=（{11\选择01}，1）$和$S=（{0-1\选择1\幻影{-}0}，\sqrt\tau）$是$Mp_2（\Z）$的标准生成器，$S^2=（ST）^3=Z$，$Z=（{-1\幻像{-}0\选择\幻影{-}0-1}，i）美元，$\rho_M（Z）（e_\gamma）=i^{b^--b^+}e_{-\gamma}$，$Z^4=1$。表示形式$\rho_M$通过双保险$Mp_2（\Z/N\Z）$有限群$SL_2（\Z/N\Z）$，其中$N$是最小整数，因此$N（\gamma，\delta）$和$N\gamma^2/2$都是整数$\gamma，\delta\以M'$为单位。特别是表示$\rho_M$通过$Mp_2（\Z）$的有限商计算因子。还要注意，在这种情况下只有一个尖点，因此模形式是全纯的当且仅当它在$i\infty$是全纯。\宣布3.~ Serre二元性。在本节中，我们展示了障碍物的空间求具有给定奇点的模形式对偶于全纯模形式的空间。我们通过识别模曲线上具有线丛上同调群的两个空间；然后，我们想要的结果立即从Serre二元性开始。空格$HolModForm（\Gamma，k，\rho）$可以用全纯空间来识别以下向量束$\V_{k，\rho}的节$在$\Gamma\反斜杠H$上，以及类似的$ModForm（\Gamma，k，\rho）$可以用全纯截面的空间来识别在牙尖外。我们首先做一个特例，当$\rho$是平凡表示时，当$\V{k，\rho}$成为一个行束$\L_k$。设$K$是$Mp_2（\R）$中$SO（2）$的反像，对于{1\over 2}\Z$中的$k\，定义$k$的字符$\sigma_k$$$\sigma_k（\theta）=（\pm\sqrt{ci+d}）^{2k}$$对于$\theta=（{ab\choose-cd}，\pm\sqrt{c\tau+d}）$。请注意$$H\simeq SL_2（\R）/SO（2）\simeq-Mp_2（\R）/K$$因此在上有一个同质全纯线丛$\L_k$$H$由定义$$\L_k=\比格（Mp_2（\R）\次\C\bigg）/k$$其中，K$中的$\theta\由$（g，z）\theta=（g\theta，\sigma_K（\theta）^{-1}z)$.对于$V_\rho上$\Gamma$的$\rho$表示$这样，$\rho=\sigma_k^{-1}$在$\Gamma\cap k$上定义$\Gamma\backslash H$上的全纯向量丛$\V_{k，\rho}$$$\V_｛k，\rho｝=\Gamma\反斜杠\bigg（Mp_2（\R）\times V_\rho\bigg）/k$$其中$K$的作用与以前相同，$\gamma\in\gamma$的作用与$\伽马（g，v）=（\伽马g，\rho（\伽玛）v）$。如果$\kappa$是$\Gamma$的尖点，则让$q_\kappa$成为均匀化参数$\Gamma\反斜杠H$上的$\kappa$。对于上的表示$\rho$$V_\rho$，让$V{\rho}^*$表示对偶。让$$PowSer_\kappa（\Gamma，\rho）=\C[[q_\kampa]]\otimes V_\rho$$是$q\kappa中形式幂级数的空间$系数以$V_\rho$表示，让$$Laur_\kappa（\Gamma，\rho）=\C[[q_\kampa]][q_\ kappa^{-1}]\otimes V_\rho$$是$q_\kappa中形式Laurent级数的空间$系数以$V_\rho$表示，然后让$$Sing_\kappa（\Gamma，\rho）={Laur_\kappa（\Gamma，\rho）\over q_\kapba PowSer_\kampa（\Gamma，\ rho）}$$成为可能的空间奇点与常数项$V_\rho$值的Laurent级数为$\kappa$。这两个空格$PowSer_\kappa（\Gamma，\rho^*）$和$Sing_\kappa（\Gamma，\rho）$通过取余数配对成$\C$$$\langle f，\phi\rangle=\hbox{Res}\big（f\phi\，q_\kappa^{-1}\，dq_\kappa\big）$$对于PowSer_\kappa（\Gamma，\rho^*。这里是$f$和$\phi$的乘积使用$V_\rho$和$V_\ rho^*$的配对定义。然后是空格$$Sing（\Gamma，\rho）=\oplus_{\kappa}Sing_\kappa（\Gamma，\rho）$$和$$PowSer（\Gamma，\rho^*）=\oplus_{\kappa}PowSer_\kappa（\Gamma，\rho ^*）$$其中$\kappa$在$\Gamma$上运行-不等尖点，由顶点处局部对的总和。有地图$$\lambda:HolModForm（\Gamma，k，\rho^*）\longrightarrow PowSer（\Gamma，\rho ^*）$$和$$\lambda:ModForm（\Gamma，2-k，\rho）\longrightarrow Sing（\Garma，\rho）$$以明显的方式定义%或更改为第个，共个通过在各种尖端。我们定义了空间$Obstruct（\Gamma，k，\rho）$找到模块化类型的障碍$\rho$和重量$k$，它在$H$上是全纯的，并且给出了亚纯奇点和顶点处的常数项空间$$障碍（\Gamma，k，\rho）={唱（\Gamma，\rho）\在\lambda（ModForm（\Gamma，k，\rho））}上。$$\宣布定理3.1。假设{1\over2}\Z$中的$k$是$Mp_2（\R）$的一个子组，其中与$Mp_2（\Z）$可公度，$\rho$是有限维通过有限商的$\Gamma$因子分解的复表示$\Gamma$使$\rho=\sigma_k$位于$\Gamma\cap k$上。然后障碍物空间$Obstruct（\Gamma，2-k，\rho）$是有限维的，并且双重到空间$HolModForm（\Gamma，k，\rho^*）$。它们之间的配对是由上述配对引起的在$Sing（\Gamma，\rho）$和$PowSer（\Gamma，\rho^*）$之间。换句话说，$$\lambda\big（ModForm（\Gamma，2-k，\rho）\bigg）=\lambda\bigg（HolModForm（\Gamma，k，\rho^*）\big）^\perp$$而且，由于配对是非退化的，$$\lambda\big（HolModForm（\Gamma，k，\rho^*）\bigg）=\lambda\bigg（ModForm（\Gamma，2-k，\rho）\big）^\perp$$证明。首先假设组$\Gamma$自由作用于上半平面$H$，以及表示$\rho$是一维的，微不足道的。对于｛1\over 2｝\Z$中的任何$k\，我们让$\L_k$是上面定义的线束其部分是重量$k$的全纯模形式。我们让$\L_{cusp}$作为线与除数相对应的束，除数是所有除数的并集$\Gamma\backslash H$的紧化顶点。规范线束与$\L_2\otimes同构\L_{cusp}^*$，因为全纯1-形式本质上与重量的尖点形式2。通过Serre二元性，我们可以看到重量为$k$的全纯形式的$H^0（\L_k）$对偶于$H^1（\L_2\otimes\L_{cusp}^*\otimes \L_k^*）=H^1\L_｛尖点｝^*）$。如果$\L$是紧黎曼曲面上的任何一个线性丛，那么上同调群$H^1（\L）$可以用空间来标识在给定条件下查找$\L$亚纯部分的障碍某些固定非空有限点集上的奇点和其他地方的全形。因此$H^1（\L_{2-k}\otimes\L__{cusp}^*）$是寻找亚纯截面的障碍空间$\L_{2-k}\otimes\L__{cusp}^*$在顶点和其他地方的全纯（因为至少有一个尖点）。这个在转弯是障碍物空间$Obstruct（\Gamma，2-k，\C）$求的亚纯截面$\L_{2-k}$在顶点和其他地方的全形。Serre二元性中的配对是上面的配对由提供取产品残留物的总和。在以下情况下，这证明了定理3.1$\Gamma$在$\rho$上无足轻重，在$H$上自由固定点。在一般情况下，选择有限索引子群$\Gamma_0$$\Gamma$使$\Gamma_0$在$\rho$上的作用微不足道，并修复了其作用在$H$上自由得分。然后是上同调$\Gamma$的组$H^1$和$H^0$是仅对应的$\Gamma/\Gamma_0$下的固定点$\Gamma_0$的上同调群。$\Gamma$的定理现在由如果我们在有限维复数之间有一个完美的对偶在某些有限群下不变的向量空间$\Gamma/\Gamma_0$作用于这些向量空间，然后我们还得到一个$\Gamma/\Gamma_0不动点之间的完美对偶$（根据以下事实，有限维复合表示是完全可约的）。这个证明定理3.1。\宣布4.~海格纳因子为傅里叶系数。在本节中，我们证明了主要定理4.5，大致如下Heegner因子是模形式的傅里叶系数。我们通过使用具有奇点的模形式来实现这一点在第3节中找到Heegner除数之间的大量关系。我们让$M$是签名$（2，b^-）$的偶数格。假设$\Gamma$是作用于Grassmannian的离散群$G（M）$，共$M$。我们将$X_\Gamma=\Gamma\backslash G（M）$上的除数定义为是$G（M）$上的局部有限$\Gamma$不变除数，其支持是有限个$\Gamma$-轨道的局部有限并$G（M）$的不可约余维1子变种。这个定义是对除数定义的一种粗略替代``orbifold“”（或代数堆栈）$X_\Gamma$但已足够就本文而言。请注意，这与复解析空间$X_\Gamma$；上的除数；例如，如果$G（M）$是上半平面$H$，$\Gamma$是$SL_2（\Z）$，则点$i$的图像表示$\Gamma\backslash中的除数H$，是orbifold$\Gamma\backslash H$中除数的两倍，但是不在复杂流形$\Gamma\backslash H$中。回想一下，对于M\otimes\R$中的任何负范数向量$v\，都有一个$G（M）$的除数$v^\perp$，等于格拉斯曼数的点由与$v$正交的2个平面表示。如果$n$为负数有理数和M'/M$中的$\gamma，然后我们定义Heegner除数$y{n，\gamma}$是所有范数$2n的除数之和$$M+\gamma$的向量。注意，$y_{n，\gamma}=y_{n，-\gamma}$是因为如果M+\gamma$中的$v\，则M-\gamma$中的$-v\。我们定义组Heegner除数的$Heeg（X_\Gamma）$是$\Z$由符号$y_{0,0}$和由Heegner除数$y_{n，\gamma}$生成的除数。如果$n>0$或者$n=0，\gamma\ne0$，那么我们将$y{n，\gama}$定义为0。我们定义如果形式为$c，则Heegner除数为主除数_{0,0}年_{0,0}+D$，其中$D$是某些整数$c{0,0}$和某些幺正整数的权重$c{0，0}/2$子群$｛\rm-Aut｝（M）$的有限阶性质$M'/M$的元素。这里自形形式的权重是[B]定理13.3中使用的权重。我们为编写$PrinHeeg（X_\Gamma）$主Heegner因子的子群和$HeegCl（X_\Gamma）$Heegner除数的群$Heeg（X_\Gamma）/PrinHeeg类。（本文出版版本省略了该条件字符具有有限的顺序。J.Bruinier向我指出有时有“太多”的自形形式无限级字符（参见[F]），因此如果无限级字符被允许使用Heegner除数类组有时会崩溃。）有一个满射线性地图$$\xi：Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）\longlightarrow Heeg（X_\Gamma）\otimes_\Z\C$$取$q^ne\gamma$到$y{n，\gamma}$。对于$\C$let的子环$F$$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）_F$是$Sing的$F$-子模块$其中$n\le 0$的$q^ne_\gamma$的系数以$F$为单位$$ModForm（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）_\Z\子结构模式形式（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）$$是$\Z$-子模块其在$\lambda$下的图像位于$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）_\Z$中。\宣布定理4.1。假设$M$是签名$（2，b^-）$的偶数格，$f$是重量$1-b^-/2$的模块形式和表示形式$\rho_M$，即$H$上的全纯和尖端上的亚纯及其系数$c_{n，\gamma}$是$n\le0$的整数。然后$\sum_{n，\gamma}c{n，\gamma}y_{n，\ gamma}$是一个主Heegner除数。换句话说，$$\xi\bigg（\lambda\big（ModForm（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）_\Z\big）\bigPrinHeeg（X_\Gamma）$$证明。[B]的定理13.3暗示，如果$M$和$f$满足条件定理4.1的那么在$G（M）上有一个亚纯函数$\Psi$$具有以下属性。\项目{1.}$\Psi$是权重$c_{0,0}/2的自形形式$${\rm Aut}（M）的子群的某些酉特征$固定$M'/M$的所有元素。\项｛2.｝$\Psi$的唯一零或极点位于除数$\lambda^\perp$对于M$中的$\lambda\，$\lampda^2<0$且为零$$\sum_{02$这是因为这些谎言组没有实数秩为1的几乎简单因子，如果$G$是没有秩为1的简单因子的连通李群$G$的阿贝尔化是有限的。（见[M第333页，建议6.19]。）因此，$G$的任何字符都具有有限阶。对于$n=1$和$n=2$的情况，我们使用嵌入技巧（[B98，引理8.1]）查看如果$f$是$O_{2，n}（\R）$的无限乘积，则$f$是无限乘积$g$的限制$O_{2,24+n}（\R）$。无限乘积$g$不一定是单个的宝贵的；然而，看引理8.1的证明表明，如果$f$是用积分向量值模形式构造系数，则$g^{24}$具有整数级的零和极点因此是某酉的亚纯自守形式性格。根据前一段，这个字符的顺序是有限的，因此，$f$的字符也是如此。这证明了定理4.1。我们注意到[B]定理13.3的证明很长，但大多数证明是对$\Psi$（或其对数），我们在此不使用纸张。我们在这里使用的定理13.3部分的证明是更短，主要在[B]的第6节中。\宣布引理4.2。有一个有限的数字字段$F$度超过$\Q$，这样有限维空间$HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）$具有傅里叶系数全部位于$F$的基，即。，这样，PowSer（Mp_2（\Z），\rho_M^*）_f$中的$\lambda（f）。证明。根据[S，第3.5节]$N$级的模形式有一个形式基，其Fourier所有尖端的展开在某些代数数域中都有系数有限度。（Shimura涵盖了至少2个整体重量的情况，但其他情况可以通过乘以以$\eta（\tau）$的幂形式；注意，如果给我们一个水平$N$模形式空间的基础展开式的系数在$F$中，然后我们可以找到类似的基础对于在不同顶点消失为给定命令的形式空间。）%添加的垂直线$HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）的每个$|M'/M|$组件$是某些$N$的$N$级的模块化形式$\rho_M$显然是定义在有限次代数数域上。这意味着空格$HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）$具有所有系数都位于的元素的基础一些有限代数数域，因为这个空间是模空间的$Mp_2（\Z/N\Z）$-不变子空间等级$N$的形式，系数为$\C[M'/M]^*$。这证明了引理4.2。\宣布引理4.3。设$Gal（\bar{\Q}/\Q）\cdot\lambda（HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*））$be这个元素的$Q$-展开式的$Gal（\bar{\Q}/\Q）$conjugates的空间$HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）$。（这是很明确的和有限维的引理4.2。）那么$$\eqalign美元{&\lambda\big（ModForm（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）_\Z\big）\otimes\C\cr=&\bigg（Gal（\bar｛\Q｝/\Q）\cdot\lambda\big（HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）\big）\bigg）^\perp。\铬}$$此外，该空间在$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）$。证明。使用定理3.1是显而易见的第一个空格包含在第二个空格中。为了显示第二个空格包含在第一个空格中，选择$HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）$组成的基础有限次代数数域$F$中系数的形式，我们可以通过引理4.2来实现。但接下来这个空间的图像$Gal（\bar\Q/\Q）$由有限数量的函数跨越，所有这些函数傅立叶系数是有理的。所以正交补码由有理线性关系定义，因此由模形式组成的基，其图像在$\lambda下$具有有理系数。通过乘以公分母，我们可以假设系数是整数。再次应用3.1这证明第二个空间是包含在第一个中，因此两个空间相等。空间在$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）中具有有限索引的事实$因为它是有限和的正交补有限维$Gal（\bar\Q/\Q）$共轭的数目空间。这个证明了引理4.3。\宣布引理4.4。复向量空间$HeegCl（X_\Gamma）\otimes\C$由Heegner除数类生成是有限维的。{证明。}根据定理~4.1，满射映射$$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）\长右箭头Heeg（X_\Gamma）\otimes_\Z\C\长右箭头HeegCl（X_\Gamma）\otimes\C$$通过空间的因素$$Sing（Mp_2（\Z），\rho_M）/\λ（模态形式（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）_\Z）\otimes\C$$其通过引理4.3是有限维的。这证明了引理4.4。\宣布定理4.5。如果Heegner除数$y_｛n，\gamma｝$被认为是Heegner除数类群的元素$HeegCl（X_\Gamma）\otimes\C$然后$$\sum_{n\in\Q}\sum_{gamma\inM'/M}y_{-n，\gamma}Q^ne_\gamma$$是模块化形式，更准确地说，它位于空间中$$\bigg（HeegCl（X_\Gamma）\otimes\C\bigg）\opimes_\C\大g（Gal（\bar{\Q}/\Q）\cdot\lambda\big（HolModForm（Mp_2（\Z），1+b^-/2，\rho_M^*）\big）。$$证明。根据引理4.4，我们知道$$\sum_｛n\in\Q｝\sum_｛\gamma\in M'/M｝y_｛-n，\gamma｝Q^n e_\gamma\in\bigg（HeegCl（X_\Gamma）_\C\bigg）\otimes_\C PowSer（Mp_2（\Z），\rho_M^*）$$根据定理~4.1，配对$$\sum c{n，\gamma}y{n，\ gamma}=\xi（\lambda（\sum c_{n，\tgamma}q^ne_\gamma））$$使用任何元素$\sumc{n，\gamma}q^ne_\gamma$的$$\lambda\big（ModForm（Mp_2（\Z），1-b^-/2，\rho_M）_\Z\big）$$为零。因此，定理4.5遵循上述引理4.3，在几个例子中，我检查了重量为$1+b^-/2$且类型为$\rho_M的模块形式^*$具有有理系数形式的基础，因此Heegner除数是$\rho_M^*$型模形式的系数。我不知道这种基础是否总是存在。$\rho_M^*$类型和重量$1+b^-/2$的模块形式可以是在几个重量变量中确定了某些雅可比形式$1+b^-$如[E-Z定理5.1]所示，所以定理4.5表示Heegner除数是权重$1+b^-$的雅可比形式的系数。我们通常可以计算出向量值空间的维数使用Riemann-Roch定理的模形式。例如，如果$\rho$是$Z$作用于的$Mp_2（\Z）$的$d$维表示作为$e^{-\piik}$，用于某些$k\ge2$，其中$k\in{1\over 2}\Z$然后是空间的维度类型为$\rho$且权重为$k$的全纯模形式等于$$d+dk/12-\alpha（e^{\piik/2}S）-\alfa（（e^}\piik/3}ST）^{-1}）-\alpha（T）$$哪里$\alpha（X）$是数字$\beta_j$、$1\le j\le d$、，其中$X$的特征值是$e^｛2\pi i\beta_j｝$和$0\le\beta_j<1$。此公式不能直接应用于$\rho_M^*$因为$Z$的条件不满足，但我们可以将其应用于$Z$充当$e^{-\piik}$的$\rho_M^*$的子空间；对于$k=1+b^-/2$这是元素$e^*\gamma+e^*{-\gamma}$跨越的子空间。等式$y_{n，\gamma}=y_{n，-\gamma}$意味着模定理4.5中的形式位于空间中$Z$在其中充当$e^{-\piik}$。\宣布5.~示例。在本节中，我们给出一些示例来说明定理4.5。在大多数情况下，我们将描述格$M$和Heegner除数。{\bf示例5.1}我们在模曲线的情况下得出了定理4.5；有关此案例的更多信息，请参见[Z84]和[G-K-Z]。我们将$N$修正为任何正整数（称为level）。我们让$M$是全对称的三维偶数格矩阵$v=\pmatrix{C/N&-B/2N\cr-B/2N&A/N}$与$A/N、B/2N、C$整数，范数$（v，v）$定义为$-2N\det（v）=（B^2-4AC）/2N$。对偶格是上面的矩阵集合，其中包含$A/N，B，C\ in \Z$，$M'/M$可以用$\Z/2N\Z标识$通过将$M'$矩阵映射到$B\in\Z/2N\Z$的值。格子$M$分裂为二维双曲幺模偶格$II_{1,1}$和由范数$2N$的元素生成的晶格。SL_2（\Z）|c\equiv 0\bmod N\}中的组$\Gamma_0（N）=\{ab\choose-cd}\$通过$v\mapsto XvX^t$作用于晶格$M$$X\in\Gamma_0（N）$，并在此操作下修复$M'/M$的所有元素。我们用格拉斯曼语$G（M）$通过映射H$中的$\τ\到跨越的二维正定空间范数0向量的实部和虚部$\pmatrix{\tau^2&\tau\cr\tau&1\cr}$。对于M'/M=\Z/2N\Z$中的每个$n\in\Q$和$\gamma除数$y{n，\gamma}$是与$M+\gamma$的范数$2n$向量。就$H$的积分而言，这个Heegner除数由H$中的所有点$\tau\组成，因此对于某些整数$A$、$B$、$C$（不一定），$$A\tau^2+B\tau+C=0$$互质）与$N|A$，$B\equiv\gamma\bmod 2N$，$B ^2-4AC=4Nn$。（警告：我们省略了条件$A>0$，该条件有时包含在Heegner除数的定义。兑换$A>0$的积分Fricke对合$\tau\mapsto-1/N\tau$下$A<0$的点，所以只要我们被弗里克商出来，差异就不重要内卷化。）Heegner除数$y_｛n，\gamma｝$在群$\Gamma_0（N）$和Fricke对合，因为对应的向量集在$\Gamma_0（N）$并在Fricke对合下更改符号。元素$y_{0,0}$为0（模量扭转），如下所示$H$上没有零的模形式$\Delta$的存在，以及这就是为什么$y{0,0}$在本例中没有显式显示的原因。然而，在其他情况下，$y_{0,0}$通常为非零；参见示例5.4。$y_{0,0}$的消失似乎与Koecher有界性原理。比较定理4.5和[G-K-Z]中的定理C雅可比形式而非向量值模形式的项回想一下，根据[E-Z，定理5.1]，空间$J_{k，N}$权重$k$和索引$N$的Jacobi形式与空间同构重量$k-1/2$和类型$\rho_M^*$的模块形式。根据[E-Z定理9.3]雅可比形式$J_{2，N}$的空间具有以下的基用有理系数形式，所以用定理4.5后的注释系列$$\sum_{n，\gamma}y_{-n，\gama}q^ne_\gamma$$是重量$3/2$并键入$\rho_M^*$。这几乎暗示了主要结果[G-K-Z]的定理C，（假设Gross-Zagier定理[G-Z]）是本质上是第页猜想的定理C的“理想陈述”[G-K-Z]第503页。（但请注意，存在一个小的技术差异在我们的定义和[G-Z]的定义之间，因为我们允许定义中有限阶的非平凡酉特征主Heegner因子。这没什么区别，因为有些具有有限性质的自守形式的有限正幂秩序具有琐碎性，因此，我们的定义与[G-Z]的定义等效。）我们已经用尖点的除数隐式地进行了商运算。我们可以问如果我们把它们留在里面会发生什么归根结底是看其系数的幂级数由Heegner因子的度数给出。这些学位是由各种类别编号给出（例如中的Hurwitz类别编号1级案例）和Zagier展示（[Z]，[H-Z第2章]）这些是某些权重为3/2的非全纯模形式的系数。{\bf示例5.2.}我们可以询问Heegner之间的所有关系除数由定理4.5给出。答案似乎通常是这样的它们是，但也有一些例外，在那里有额外的关系。（备注补充道，2000年：这主要由J.Bruinier[Br]证明。）例如，根据Gross-Zagier定理[G-Z]，每当有一条奇秩至少为3的模椭圆曲线，因为对于这样的椭圆曲线，所有的Heegner点都消失了。对于$b^->2$，它可能有可能证明Heegner指出如下。对于每个Heegner点，我们可以构造一个具有对数奇点的实解析函数通过将奇异θ对应应用于可能是非全纯模形式。对于Heegner除数我们得到一个具有对数奇点的函数沿着这些除数，这是自守形式的对数当Heegner除数之间存在关系时定理4.5。当没有关系时，应该可以证明没有自形形式给出这种关系，否则这种形式的日志与我们的函数的差异构造的将是一个非零调和函数，在无限，这是不可能的。这场争论以b美元告终^-=$1或2，因为试图构造非全纯模顶点处具有给定奇点的形式格林函数在临界带上有极点。这些电极是可能与$s=1$时$L$函数的导数有关，并且它也许可以证明Gross-Zagier定理的弱版本沿着这些线，表示Heegner跨越的某些空间点的秩为0当且仅当某些$L$级数的导数在$s=1$时消失。｛\bf示例5.3.｝我们可以使用上与四元数代数相关的Shimura曲线理性。假设$K$是一个非分裂的四维中心在无穷大和$R处分裂的有理数上的简单代数$是$K$的订单。我们让$M$是$R的元素的格$与1正交，内积减去$R$。那么$M$是$\R^{2,1}$中的一个格，并且$R$的单元组动作以百万美元为单位。Grassmannian$G（M）$与上半平面$H$和组$\Gamma$使用商是紧致黎曼曲面（或更精确地说是orbifold）称为Shimura曲线。Shimura曲线上的点与$M$向量相关的称为CM点。所以定理4.5意味着与CM点相关的某些除数是系数重量为$3/2$的模块形式。$\Gamma_0（N）$的模曲线的情况实际上是一个特例我们将$K$作为分割中心简单代数$M_2（\Q）$。{\bf示例5.4.}在Gross-Kohnen-Zagier定理的情况下我们得到的模块形式是尖点形式，$y{00}=0$。我们举一个例子表明在更高的维度中，我们得到的模块形式不是必然尖点形式和$y_{00}$可以是非零的。我们取$M=M'$是格子$II{25,1}$。然后，对于每个正整数$n$，我们有Heegner除数$y_{-n，0}$（当且仅当$n$是平方自由的）。表示$\rho_M$很简单，因此$\rho_M^*$类型的向量值模形式与模形式相同1级表格，特别是我们可以找到一个具有有理系数。根据定理4.5，和$\sumq^ny_{-n，0}$是然后是模块化形式重量为14，因此必须是$E_{14}=1-24\sum_n\sigma_{13}（n）q^n$。因此$y_{-n，0}=-24\sigma{13}（n）y{0,0}$。Koecher有界性原理意味着任何$y{-n，0}$对于任何正整数$n$为零。此示例还显示了$y_{0,0}$不一定在Heegner生成的积分格中除数。给出关系$y_{-1,0}=-24的自守形式y{0,0}$是不寻常的，因为它是奇异的全纯形式重量，也是假怪物谎言的分母函数代数。{\bf示例5.5.}Hirzebruch和Zagier在[H-Z]中表示Hilbert模上由模曲线给出系数的级数表面是重量2的模块化形式。我们将展示类似的结果可以从定理4.5推导出来。（似乎这些结果暗示了赫泽布鲁克和扎吉尔的结果，但我没有检查详细说明。）有关Hilbert模块曲面的背景，请参见[G]或[H-Z]。我们修复判别元$D>0$的实二次域$K$和的环整数$R$。我们用K$表示$\lambda的共轭$\lambda'$。我们将讨论水平的希尔伯特模曲面1与平凡理想类相关；应该很清楚如何选择$M$将此扩展到更高级别和其他理想类。我们让$M$是$v=\pmatrix形式的矩阵的偶数格{C&-B\cr-B'&A\cr}$与$A、C\in\Z$、$B\inR$、标准由$-2\det（v）$给出。组$SL_2（K）$作用于厄米矩阵的向量空间$M\otimes\Q$按$v\rightarrow XvX'^t$表示$X\inSL_2（K）$和$v\in M\otimes\Q$。组$SL_2（R）$映射$M$在本次行动中。格子$M$是格$II_{1,1}$和行列式$D$的格。我们确定上半平面$H$的两个副本的乘积通过将H^2$中的$（\tau_1，\tau_2）映射到范数0向量的实部和虚部所跨越的空间$\pmatrix{\tau_1\tau_2和\tau_1\cr\tau_2&1\cr}$。这个诱导$SL_2（K）$在$H^2$上的常规动作$${ab\选择cd}（（\tau_1，\tau_2））=\左（{a\tau_1+b\在c\tau_1+d}上，{a'\tau_2+b'\在c'\tau_2+d'}\右）$$如果$v$是$M'$的负范数向量，则定义模曲线$T_v$是Grassmannian中$v$的正交补码共百万美元。我们可以如下明确地描述$T_v$。如果$v$是矩阵$\pmatrix{C&-B\cr-B'&A\cr}$则$T_v$是集合H^2$中点$（\tau_1，\tau_2）的$$A\tau_1\tau_2+B'\tau_1+B\tau_2+C=0.$$如果$0>n在\Q$中，$\gamma在M'/M$中，然后$y_{n，\gamma}$为范数$2n$vectors$v\in的所有曲线$T_v$的并集M+\伽马$。那么定理4.5意味着对于$y_{0,0}的某些选择$幂级数$$\sum_{n，\gamma}y_{-n，\gama}q^ne_\gamma$$是重量2的模块化形式。在[H-Z中，定理1]Hirzebruch和Zagier表明$N>0$的除数$T_N$幂级数$\sum_N T^c_Nq^N$是模重量形式2。（这里$T^c_N$是同源类希尔伯特模曲面的投影$T_N$的同调类到子空间的正交补由尖点分辨率曲线的同源循环生成。）这个结果与因为除数$T_N$是除数的并集$y_{-N，\gamma}$表示M'/M$中的所有$\gamma\。结果之间有几个小差异这里和[H-Z]中的结果如下。为了简单起见，HirzebruchZagier只处理$K$具有判别式$D$素数的情况$p$与1 mod 4一致，但他们的方法可能被延长对所有积极的鉴别力。[H-Z]使用的晶格为$pM'$判别$p^3$而不是判别$p$的$M$。这里的主Heegner除数的定义稍微有点不同，因为我们允许非平凡的单一字符（尽管所有这些字符可能都有有限的顺序，在这种情况下没有本质区别）。有还有一些其他符号的小变化；例如，我们使用hermitian矩阵而不是歪曲hermitian-矩阵来强调与示例5.1的相似性。该示例与5.1中的模块曲线密切相关；事实上，在[Z84]中，Zagier展示了如何推导关于模的结果在许多特殊情况下，Hilbert模曲面上结果的曲线。{\bf示例5.6.}如果我们将$M$设为5维晶格，那么$M$的对称空间与Siegel上半部分同构属2的平面。Siegel上半平面上的除数与$M$的向量相关（或者更确切地说，它们在商中的图像）就是所谓的亨伯特曲面。定理4.5暗示功率系数由某些亨伯特因子给出的级数为向量值模重量为5/2的形式。[G，p.213]中提到了类似的结果。{\bf示例5.7.}如果我们将$M$设为6维晶格则$M$的对称空间同构于复维4的厄米特上半空间。除数与$M$向量相关的是Siegel的商复维上半空间3。赫尔曼[他]发现了一个与此案例相关的权重$1+b^-/2=3$的模块形式的示例。注意，[He]中使用的群$Sp_4（\R）$和$SU（2,2）$是局部同构的对于本文中使用的组$O_{2,3}（\R）$和$O_，尤其是He的Hermitian半空间与$\R^{2,4}$的Grassmannian同构。\宣布参考文献。\项目{[B]}R.E.Borcherds，Grassmannian上具有奇点的自守形式，alg-geom/9609022。发明接受。数学。\项目{[Br]}J.H.Bruinier，Borcherds产品和Chern类Hirzebruch-Zagier除数。发明。数学。138（1999），第1期，第51--83页。O（2，l）上的Borcherds积和Heegner因子的Chern类，1999年预印本，可从{\t获得http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/\hbox{\~{}}t91/}\项目{[E-Z]}{M.Eichler，D.B.Zagier，``雅可比形式理论“，进步数学第55卷，Birkh“auser，波士顿，巴塞尔，斯图加特，1985年。}\项目{[F]}J.D.Fay，紫红色溶液的傅里叶系数组。J.Reine Angew。数学。293/294 (1977), 143--203.\项目{[G]}G.van der Geer，“希尔伯特模曲面”，Springer Verlag 1987年。\项目{[G-K-Z]}B.H.Gross、W.Kohnen、D.B.Zagier、Heegner points和$L$-系列的衍生品。二、。数学。年278（1987），编号1-4497-562。\项目{[G-Z]}B.H.Gross，D.B.Zagier，Heegner点和导数$L$-系列。发明。数学。84（1986），第2期，225-320。\项目{[H]}Y.Hayashi，Rankin的$L$-函数和Heegner指出了一般判别式。程序。日本科学院。序列号。数学。科学。71（1995），第2期，第30--32页。%添加了参考\项目{[He]}C.F.Hermann，与$P^4$相关的一些模块化变体。在Barth、Hulek和Lange编辑的“阿贝尔变种”中，Walter de Gruyter Verlag，柏林-纽约，（1995年）。\项目{[H-Z]}F.Hirzebruch，D.B.Zagier，Hilbert模曲面和模曲面上曲线的相交数Nebentypus的形态。发明。数学。36 (1976), 57--113.\项目{[K]}S.S.Kudla，Shimura变种上的代数圈正交型，杜克数学。《期刊》第86卷第1期（1997年），第39-78页。\项目{[M]}G.A.Margulis，半单李的离散子群组。Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete（3），17.施普林格·弗拉格，柏林，1991年。国际标准图书编号：3-540-12179-X\项目{[S]}G.Shimura，自守算术理论导论功能，普林斯顿大学出版社，1970年。\项目{[Z]}D.B.Zagier，类的名称和形式模块化点$3/2$，C.R.学院。科学。巴黎S\'er.A-B 281（1975），第21号，艾，A883--A886。\项目{[Z84]}D.B.Zagier，模块点、模块曲线、模块曲面和模块形式。1984年波恩研讨会（波恩，1984），225--248，数学课堂笔记。，纽约柏林斯普林格1111号，1985年。\再见